矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第三章条件平差-2521

1、矿业大学矿业大学环境与测环境与测绘学院测绘学院测绘工程绘工程测量平测量平差差第三第三章条件平章条件平差差 由于由于r n，从（，从（3-1-1）式不能计算出）式不能计算出的唯一的唯一解，但可按最小二乘原理解，但可按最小二乘原理( )，求出，求出的的最或然值最或然值V，从而进一步计算观测量，从而进一步计算观测量 的最或然的最或然值值 （又称平差值）。（又称平差值）。minPVVTLLVLL (3-1-4)将（将（3-1-1）式中的）式中的改写成其估值（最或然值）改写成其估值（最或然值）V，条件方程变为条件方程变为0WAV (3-1-5) 条件平差就是在满足条件平差就是在满足r个条件方程条件下，求

2、解满个条件方程条件下，求解满足最小二乘法（足最小二乘法（ ）的）的V值，在数学中就值，在数学中就是求函数的条件极值问题。是求函数的条件极值问题。minPVVT一、条件平差原理一、条件平差原理 设在某个测量作业中，有设在某个测量作业中，有n个观测值个观测值 ，均含有，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为相互独立的偶然误差，相应的权阵为 ，改正数，改正数为为 ，平差值为，平差值为 ，表示为，表示为1 ,nLnnP,1 ,nV1 ,nLnnLLLL211 ,nnvvvV211 ,nnnpppP21,nnLLLL211 ,其中其中: 为对角阵；为对角阵；nnP,1 ,1 ,1 ,nnnVLLnnnv

3、LvLvLLLL221121即即 （3-1-6） 在这在这n个观测值中，有个观测值中，有t个必要观测数，多余观测个必要观测数，多余观测数为数为r。可以列出。可以列出r个平差值线性条件方程个平差值线性条件方程000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn(3-1-7) 式中，式中， （i = 1,2,n）为各平差值条件）为各平差值条件方程式中的系数，方程式中的系数， 为各平差值条件方程式为各平差值条件方程式中的常数项。中的常数项。 将（将（3-1-6）式代入）式代入(3-1-7)式，得相应的改正数式，得相应的改正数条件方程式条件方程式iiirba,00

4、0,rba（3-1-8）000221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava 式中式中 称为改正数条件方程的闭合差称为改正数条件方程的闭合差（或不符值），即（或不符值），即rbawww,)()()(022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnrnnbnna(3-1-9)若取若取nnnnrrrrbbbaaaA212121,0001 ,0rbaArrbarwwwW1 , (3-1-7)、（、（3-1-8）和（）和（3-1-9）式可分别表达）式可分别表达成矩阵形式如下成矩阵形式如下00 ALA0WAV)(0AALW (3-1

5、-10) (3-1-11) (3-1-12) 按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数TrbarkkkK1 ,（又称为联系数向量）（又称为联系数向量）,构成函数：构成函数：)(2WAVKPVVTT (3-1-13)为引入最小二乘法为引入最小二乘法,将将对对V求一阶导数求一阶导数,并令其为零并令其为零022)(2)(AKPVVAVKVPVVdVdTTTT得得AKPVTT上式两端转置，得上式两端转置，得KAVPTT由于由于P是主对角线阵，则是主对角线阵，则 ，得，得 KAPVT将上式两边左乘权逆阵将上式两边左乘权逆阵 ，得，得TPP 1PKAPVT1 (3-

6、1-14)此式称为改正数方程，其纯量形式为此式称为改正数方程，其纯量形式为)(1ribiaiiikrkbkapv), 2 , 1(ni(3-1-15) 将（将（3-1-14）式代入（）式代入（3-1-11）式，得）式，得01WKAAPT 此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量形式为形式为(3-1-16)000rrbabrbaarbawkprrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa(3-1-17) 取法方程的系数阵取法方程的系数阵 ，由上式易知，由上式易知N阵阵关于主对角线对称，得法方程表达式关于主对角线对称，得法方程表

7、达式NAAPT10WNK(3-1-18) 上式两边左乘法方程系数阵上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵的逆阵 ，得联系，得联系数数K的唯一解：的唯一解：1NWNK1 (3-1-19)rAAPRNRT)()(1 即，即，N是一个是一个r阶的满秩方阵，且可逆。将（阶的满秩方阵，且可逆。将（3-1-18）式移项，得式移项，得WNK 法方程数阵法方程数阵N的秩的秩 将（将（3-1-19）式代入（）式代入（3-1-14）或（）或（3-1-15）式，可计算出式，可计算出V，再将，再将V代入（代入（3-1-6）,即可计算出即可计算出所求的观测值的最或然值所求的观测值的最或然值 。VLL 通过观测值的平差值通过观

8、测值的平差值 ，可以进一步计算一，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。L 由上述推导可看出，由上述推导可看出，K、V及及 都是由（都是由（3-1-11）和（）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把（）式解算出的，因此我们把（3-1-11）和）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础方程。式合称为条件平差的基础方程。L二、精度评定二、精度评定 在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值的原理和公式，下面来论述测量平

9、差的第二个任务的原理和公式，下面来论述测量平差的第二个任务,即评定测量成果的精度。精度评定包括单位权方差即评定测量成果的精度。精度评定包括单位权方差 和单位权中误差和单位权中误差 的计算、平差值函数的计算、平差值函数( )的的协因数协因数 及其中误差及其中误差 的计算等。的计算等。200)(LfF FFFQ 在第二章中已经介绍过，当已知单位权方差在第二章中已经介绍过，当已知单位权方差 时，时，如果知道某量的权为如果知道某量的权为p，则该量的方差为，则该量的方差为 在实际工作中，由于观测值的个数在实际工作中，由于观测值的个数n是有限值，因此，是有限值，因此，只能求出只能求出 的估值的估值 和和

10、的估值的估值 。则有。则有 20FFp120220202F2F 根据协因数的定义，有了单位权方差根据协因数的定义，有了单位权方差 和某平和某平差值函数的验后协因数阵差值函数的验后协因数阵 ，也可按下式计算该，也可按下式计算该平差值向量的协方差阵。平差值向量的协方差阵。FFQ20FFFFQD20(3-1-22)FFp1202估值形式为估值形式为FFp1202(3-1-20)(3-1-21)例如，已知观测值的平差值例如，已知观测值的平差值 的协因数阵的协因数阵 ，则则 的协方差阵为的协方差阵为 LLLLQD20LLLLQ 下面，我们分别讨论单位权中误差下面，我们分别讨论单位权中误差 和平差值和平差

11、值函数协因数阵函数协因数阵 的计算方法。的计算方法。0FFQ 1.计算单位权方差和中误差的估值计算单位权方差和中误差的估值 根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为计算公式为rp0 在一般情况下，观测值的真误差在一般情况下，观测值的真误差是不知道的，是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权来计算单位权方差和中误差：方差和中误差：rPVVT20(3-1-23)（2）由（）由（3-1-14）和（）和（3-1-11

12、）式导出）式导出KWKAVKAVKAPPVPVVTTTTTTT)()(1rPVVT0 式中式中r为多余观测值个数，为多余观测值个数，r = n t。 在（在（3-1-24）中，须先算出）中，须先算出VTPV的值，才能计算的值，才能计算单位权中误差。单位权中误差。VTPV可用下列几种方法计算：可用下列几种方法计算： （1）直接利用定义式（）直接利用定义式（3-1-23）计算。）计算。 纯量形式为纯量形式为nnTvpvpvppvvPVV2211(3-1-25)(3-1-24)即即KWPVVTT (3-1-26) 其纯量形式为其纯量形式为rrbbaaTkwkwkwPVV (3-1-27) 2、协因数

13、阵、协因数阵条件平差的基本向量条件平差的基本向量L、W、K、V、 都可以表都可以表达成随机向量达成随机向量L的函数的函数LL 0AALW011011)(ANALNAALNWNKL0111101111)(ANAPALNAPANALNAPKAPVTTTT0111101111)()(ANAPLANAPEANAPALNAPLVLLTTTT将向量将向量L、K、V、 组成列向量，并以组成列向量，并以Z表示之表示之 L011011010111110ANAPANAPANALANAPEANAPANAELVKWLZTTTT(3-1-28) 式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按式中等号右端第二项是与观测值

14、无关的常数项阵，按协因数传播律，得协因数传播律，得Z的协因数阵为的协因数阵为LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLZZQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ111111111111111111111NAQANAPNEQAAQANAPEQAAQENAPEQENAQANAPAQANAPAQENAPNAQANAQANAQENNAQAAQAAQENEQAEQAEQETTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTANAPEQANAPEAPNAQANAPAPNEQAAPNAQANAPAQE

15、NAPAPNAQANAPAPNAQANAQENAPNAQANAPNAQAAQEAPNAQAAPNEQAEQEAPNEQA)()(11111111111111111111111111111111111AQNAPQAQNAPQAPNAPNAPAPAQNAPAPNNEAQNAPENAQAPNQAQAPNQANQAQAQTTTTTTTTTT1111111111111111111111000000整理后得整理后得LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQAQNQAQAQNQAQAQNQANQAQA

16、AQNQAAQNNEAQNAQENAQAQNQAQAQNQANQAQAQTTTTTTTTTT11111111111000000(3-1-29) 由上式可见，平差值由上式可见，平差值 与闭合差与闭合差W、联系数、联系数K、改、改正数正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服从正态是不相关的统计量，又由于它们都是服从正态分布的向量，所以分布的向量，所以 与与W、K、V也是相互独立的向也是相互独立的向量。量。LL 3平差值函数的协因数平差值函数的协因数 在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的观测量的平差值。例如，

17、水准网中的高差观测值的平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平差值的函数。平差值的函数。 设有平差值函数设有平差值函数),(21nLLLfF (3-1-30)对上式全微分得对上式全微分得nLLnLL

18、LLLdLfLdLfLdLfFd2211(3-1-31) 取全微分式的系数阵为取全微分式的系数阵为LLnLLLLnTLfLfLfffff2121,由协因数传播律得由协因数传播律得fQfQLLTFF(3-1-32) (3-1-33) 根据（根据（3-1-29）式，知）式，知AQNQAQQTLL1代入（代入（3-1-33）式得）式得fAQNQAQffQfQTTLLTFF)(1 将（将（3-1-34）式代入（）式代入（3-1-22）式，可求得该平）式，可求得该平差值函数的方差差值函数的方差FFFFQD20(3-1-35) 即即AQfNQAfQffQTTTFF1(3-1-34) 此式即为平差值函数式（

19、此式即为平差值函数式（3-1-30）的协因数表达式。）的协因数表达式。三、条件平差的计算步骤三、条件平差的计算步骤 综合以上所述，按条件平差的计算步骤可归结为综合以上所述，按条件平差的计算步骤可归结为以下几步：以下几步： （1）根据实际问题，确定出总观测值的个数）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必、必要观测值的个数要观测值的个数t及多余观测个数及多余观测个数r = n - t，进一步列，进一步列出最或是值条件方程出最或是值条件方程(3-1-10)或改正数条件方程（或改正数条件方程（3-1-11）；）； （2）根据（）根据（3-1-16）式，组成法方程式；）式，组成法方程式； （3）依据（

20、）依据（3-1-19）式计算出联系数）式计算出联系数K； （4）由（）由（3-1-14）式计算出观测值改正数）式计算出观测值改正数V；并依；并依据（据（3-1-6）式计算出观测值的平差值；）式计算出观测值的平差值； （5）根据（）根据（3-1-23）和（）和（3-1-24）计算单位权方）计算单位权方差差 和单位权中误差和单位权中误差 ； （6）列出平差值函数关系式（）列出平差值函数关系式（3-1-30），并对其），并对其全微分，求出其线性函数的系数阵全微分，求出其线性函数的系数阵f，利用（，利用（3-1-34）式计算出平差值函数的协因数式计算出平差值函数的协因数 ，代入（，代入（3-1-22）

21、计算出平差值函数的协方差计算出平差值函数的协方差 。 为了检查平差计算的正确性，可以将平差值为了检查平差计算的正确性，可以将平差值 代代入平差值条件方程式（入平差值条件方程式（3-1-10），看是否满足方程），看是否满足方程关系。关系。200FFQFFDL例例3-1 如图如图3-1所示，所示，A和和P点为等级三角点，点为等级三角点，PA方方向的方位角已知，在测站向的方位角已知，在测站P上等精度测得的各方向的上等精度测得的各方向的夹角观测值如下：夹角观测值如下：T PA = 482436L 1 = 573216L 2 = 730308L 3 = 1265128L 4 = 1043320试用条件平

22、差法，计算各观测值的平差值、试用条件平差法，计算各观测值的平差值、PC方方向的方位角向的方位角TPC ，及，及TPC的精度的精度 。pcT解：本题中解：本题中n = 4，t = 3，则条件方程个数为，则条件方程个数为 r = n t =1 。因为是等精度观测，取因为是等精度观测，取观测值权阵观测值权阵11114321,ppppPnn由由 ，列出平差值条件方程的纯量形式，列出平差值条件方程的纯量形式00 ALA03604321LLLL其矩阵形式为其矩阵形式为036011114321LLLL由，由， 计算闭合差计算闭合差)(0AALW21)36002331048215126803073612357

23、 1111()(0 AALW由由 ，写出改正数条件方程式，写出改正数条件方程式0WAV02111114321 vvvv其纯量形式为其纯量形式为0214321 vvvv根据根据 ，写出法方程，写出法方程4 ka - 12 = 0纯量形式为纯量形式为4 ka + 12= 001WKAAPT由由 ，计算联系数，计算联系数WNK1 k a =- 0.25 12 = - 3其纯量形式为其纯量形式为k a = - 3由由 ，计算各改正数，计算各改正数KAPVT1 33333111111111KAPVT由由 = + ，计算观测值平差值，计算观测值平差值1 ,nL1 , nL1 ,nV 71331045215

24、126503073332357443322114321vLvLvLvLLLLL由由(3-1-24)式，计算单位权中误差式，计算单位权中误差36333311113333PVVT61360 rPVVT其矩阵式为其矩阵式为6342480011 4321 LLLLTPC其中系数阵为其中系数阵为 0011TfPC边的方位角边的方位角21LLTTPAPC=482436+573213+ 730305=1785954计算计算PC边的协因数边的协因数AQfNQAfQffQTTTTPC1100111111 111125. 0111111110011001111110011则则PC边方位角的中误差为边方位角的中误差

25、为 60 PCPCTTQ3-2 高程网条件平差高程网条件平差v一、高程网条件方程的个数及条件方程式一、高程网条件方程的个数及条件方程式 高程网包括水准网和三角高程网。对高程网进行高程网包括水准网和三角高程网。对高程网进行条件平差时，一般以已知高程点的高程值作为起算条件平差时，一般以已知高程点的高程值作为起算数据，以各测段的观测高差值作为独立观测值，写数据，以各测段的观测高差值作为独立观测值，写出其满足的条件关系式，按照条件平差的原理解算出其满足的条件关系式，按照条件平差的原理解算各高差值的改正数和平差值，然后再计算出各待求各高差值的改正数和平差值，然后再计算出各待求点的高程平差值，并进行精度评

26、定。点的高程平差值，并进行精度评定。 进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式的个从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式的个数与多余观测的个数数与多余观测的个数r相符。而要确定多余观测个数相符。而要确定多余观测个数就必须先确定必要观测个数就必须先确定必要观测个数t。 高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主要目的是确定未知点的高程值。如图要目的是确定未知点的高程值。如图3-2所示高程网所示高程网中，有中，有2个已知高程点个已知高程点A、B，3个未知高程点个未知高

27、程点C、D、E和和8个高差观测值。从图中可以看出，要确定个高差观测值。从图中可以看出，要确定3个未个未知点的高程值，至少需要知道其中的知点的高程值，至少需要知道其中的3个高差观测值个高差观测值（如（如h1、h2、h3，或，或h6 、h7 、h8 ，或，或h2、h4 、h5 等多种选择），即必要观测个数等多种选择），即必要观测个数t = 3 则多余观测个数则多余观测个数r = n t = 8 - 3 = 5，可，可以写出这以写出这5个条件方个条件方程式程式00 00 072875764532421BAHHhhhhhhhhhhhhhh相对应的改正数条件方程式形式相对应的改正数条件方程式形式 00

28、00 05724875376425321421wvvwvvvwvvvwvvvwvvv其中其中)() ()( )()(7258754764353224211BAHHhhwhhhwhhhwhhhwhhhw 这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方程式中上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方程式；其二是前四个条件方程式，可称为闭合条件方程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中第五个，反应的是从附合路线情况，如条件方程式中第五个，反应的是从A点出发后测得的点出发后测得的B点的高

29、程值是否与点的高程值是否与B点的已知高程点的已知高程值相等的问题，可称为附合条件方程式。值相等的问题，可称为附合条件方程式。 再如图再如图3-3所示高程网中，有所示高程网中，有4个已知高程点、个已知高程点、4个个未知高程点和未知高程点和8个高差观测值，即个高差观测值，即n = 8。则必要观测。则必要观测个数为个数为t = 4，多余观测个数为，多余观测个数为r = n t = 4。可以写出。可以写出4个最或是值条件方程式或个最或是值条件方程式或4个改正数条件方程式，其个改正数条件方程式，其中有中有1个闭合条件方程式和个闭合条件方程式和3个附合条件方程式。个附合条件方程式。 00005431852

30、17643CADCBAHHhhhhHHhhHHhhhhhh对应的改正数条件方程式为对应的改正数条件方程式为00004543138522117643wvvvvwvvwvvwvvvv其中其中)()()()(5431485321276431CADCBAHHhhhhwHHhhwHHhhwhhhhw 如果高程网中没有必要的起算数据（即没有已知如果高程网中没有必要的起算数据（即没有已知高程点，如图高程点，如图3-4所示），就不存在某点高程值的已所示），就不存在某点高程值的已知值与计算值的矛盾，也就不存在附合条件方程式，知值与计算值的矛盾，也就不存在附合条件方程式，只能写出有关的闭合条件方程式。为确定条件方

31、程式只能写出有关的闭合条件方程式。为确定条件方程式个数或者多余观测个数，可将高程网中一个点的高程个数或者多余观测个数，可将高程网中一个点的高程值假定为已知值，再按上文中所述方法操作。由此不值假定为已知值，再按上文中所述方法操作。由此不难判断图难判断图3-4所示的高程网中有所示的高程网中有4个必要观测值，个必要观测值，4个个多余观测值，可写出多余观测值，可写出4个闭合条件方程式个闭合条件方程式0 00 0875764532421hhhhhhhhhhhh相对应的改正数条件方程式形式相对应的改正数条件方程式形式 0 00 04875376425321421wvvvwvvvwvvvwvvv其中其中 )

32、 ()( )()(8754764353224211hhhwhhhwhhhwhhhw二、高程网平差举例二、高程网平差举例 图图3-5为一水准网，为一水准网，A、B为两个高程已知点，为两个高程已知点，C、D、E、F分别为待定点。已知高程值和高差观测值如分别为待定点。已知高程值和高差观测值如表表3-1中所示，计算各待定点的高程平差值。中所示，计算各待定点的高程平差值。解：水准网中总观测个数解：水准网中总观测个数n = 8，必要观测，必要观测数数t = 4，多余观测，多余观测r = n t = 4。平差值条件方程式平差值条件方程式 为为00 AhA000 0831743632542BAHHhhhhhh

33、hhhhhh改正数条件方程式改正数条件方程式 为为00004831374326321542wvvvwvvvwvvvwvvv0WAV由条件方程得：由条件方程得：10000101010011000010011000011010A令令C=1，观测值的权倒数：，观测值的权倒数：5 .25 .22212211P0422)(8317436325420BAHHhhhhhhhhhhhhAAhW5 . 522025 . 521226201251TAAPN3254. 00010. 11061. 06426. 01WNKTTKAPV8 . 05 . 22 . 03 . 14 . 01 . 11 . 13 . 01T

34、Vhh001. 0562. 0060. 0503. 0500. 0063. 1000. 1001. 13-3 导线网条件平差计算导线网条件平差计算v一单一附合导线条件平差一单一附合导线条件平差 导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式之点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式之一，其观测值有长度观测值和角度观测值。在本节一，其观测值有长度观测值和角度观测值。在本节中我们主要讨论单一导线的平差计算，先讨论单一中我们主要讨论单一导线的平差计算，先讨论单一附合导线问题。附合导线问题。 如图如图3-6所示，在这个导

35、线中有四个已知点、所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个未知点、个未知点、n+1个水平角观测值和个水平角观测值和n条边长观测值，条边长观测值，总观测值数为总观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；即需要两个观测值； 要确定全部要确定全部n -1个未知点，则需观测个未知点，则需观测n -1个导线边和个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测；则多余观测个数个数r = (2n +1) t = 3。也就是

36、说，在单一附合导线。也就是说，在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改中，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。正数条件方程式的写法。 设设AB边方位角已知值为边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已边方位角已知值为知值为TCD、计算值为、计算值为Tn+1,B点坐标的已知值为点坐标的已知值为( , )或者或者(x1, y1)，C点坐标的已知值为点坐标的已知值为( , )、计算值为、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有一个方位角附合条件、。三个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。两个坐标附合条件。BxByCxCy 方位

37、角附合条件：从起始方位角推算至终边方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其已知值，即的方位角平差值应等于其已知值，即01CDnTT(3-3-1) 纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即01Cnxx01Cnyy(3-3-2)(3-3-3)1.方位角附合条件式方位角附合条件式180) 1(180) 1(1101101nvTnTTninini则则(3-3-1)式可写为式可写为0180) 1(1101CDniCDnTnvTTTi整理得整理得011Tnwvi(

38、3-3-4) 其中其中)180) 1(110CDniTTnTw2.纵坐标附合条件式纵坐标附合条件式终点终点C坐标平差值表示为坐标平差值表示为niBnxxx11(3-3-5) 而第而第i边的坐标增量为边的坐标增量为iiiTSxcos (3-3-6) 式中式中iSiivSSiiijiijijiTviTvivTiTTjjj10111010180180180其中其中Ti是第是第i边的近似坐标方位角边的近似坐标方位角18001iTTiji(3-3-7) 则（则（3-3-6）式可表示为）式可表示为)cos()(1iiSiiTvvSxji上式按泰勒级数展开，取至一次项，得上式按泰勒级数展开，取至一次项，得i

39、iSiiijivyvTxx1cos (3-3-8) 其中其中 , 为由观测值计算出的近似坐标增量。为由观测值计算出的近似坐标增量。(3-3-8)式代入式代入(3-3-5)式，并按式，并按v i合并同类项得合并同类项得iiiTSxcosninnSinniiSiiBCiijivyyvTxvyvTxxx111111)(1coscos 上式代入（上式代入（3-3-2）式，整理得）式，整理得0)(1cos1111 CnninnSixxvyyvTii(3-3-9)上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统一形式：上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统一形式： 0)(1cos111 xninnSiwvyyvTii(

40、3-3-10) )(1Cnxxxw3.横坐标附合条件式横坐标附合条件式可以仿照纵坐标条件推导过程（请同学们自己具体可以仿照纵坐标条件推导过程（请同学们自己具体推导一下），写出横坐标条件式推导一下），写出横坐标条件式0)(1sin111 yninnSiwvxxvTii (3-3-11) )(1Cnyyyw(3-3-12) 为使计算方便，保证精度，在实际运算中，为使计算方便，保证精度，在实际运算中，S、x、y常以米为单位，常以米为单位，w、vS、v以厘米为单位，则（以厘米为单位，则（3-3-9）和（）和（3-3-11）写为）写为0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(

41、65.20621sin111yninnSiwvxxvTii(3-3-14)(3-3-13) 综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是：综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是： (1)计算各边近似方位角计算各边近似方位角Ti和各点的近似坐标增量值和各点的近似坐标增量值xi、yi； (2)参照（参照（3-3-4）写出方位角条件式，参照（）写出方位角条件式，参照（3-3-9）、（）、（3-3-10）、（）、（3-3-11）、（）、（3-3-12）或者（）或者（3-3-13）、（）、（3-3-14）写出纵横坐标条件方程式；）写出纵横坐标条件方程式； (3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或

42、是值并按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。进行精度评定。二单一闭合导线条件平差二单一闭合导线条件平差 单一闭合导线是单一附合导线的特殊情况，只要单一闭合导线是单一附合导线的特殊情况，只要将图将图3-6中的中的B和和C、A和和D分别重合，就可得到图分别重合，就可得到图3-7所示的闭合导线。所示的闭合导线。 图中有一个已知点和图中有一个已知点和n-1个待定点，观测了个待定点，观测了n个转个转折角和折角和n+1条导线边。为了定向，还观测了一个连条导线边。为了定向，还观测了一个连接角接角1。不难分析，闭合导线中也只有三个多余观。不难分析，闭合导线中也只有三个多余观测值，产生三个条件

43、式。由于没有多余起算数据，测值，产生三个条件式。由于没有多余起算数据，因此没有附合条件，只有闭合条件，这一点是与单因此没有附合条件，只有闭合条件，这一点是与单一附合导线不同的。一附合导线不同的。 1.多边形内角和闭合条件多边形内角和闭合条件 由于导线网构成了多边形，其由于导线网构成了多边形，其n+1个转折角的个转折角的平差值应满足多边形内角和条件平差值应满足多边形内角和条件0180)2(12nni (3-3-15)写成转折角改正数条件方程形式写成转折角改正数条件方程形式012wvni (3-3-16) 其中其中180)2(12nwni(3-3-17) 2.坐标增量闭合条件坐标增量闭合条件 从从

44、B点开始，依次计算每一条边的纵横坐标增量点开始，依次计算每一条边的纵横坐标增量的平差值，其总和应分别满足如下关系：的平差值，其总和应分别满足如下关系：01nix01niy(3-3-18)(3-3-19) 参照单一附合导线纵横坐标附合条件推导方法，参照单一附合导线纵横坐标附合条件推导方法，可以得出坐标闭合条件的改正数条件方程式可以得出坐标闭合条件的改正数条件方程式 0)(1cos1111 xniinniSiwvyyvT(3-3-20) 如果如果S、x、y以米为单位，以米为单位，w、vS、v以厘米为以厘米为单位，则（单位，则（3-3-20）和（）和（3-3-21）两式可写为）两式可写为 0)(1s

45、in1111 yniinniSiwvxxvT)(1Bnxxxw)(1Bnyyyw (3-3-21)(3-3-22)(3-3-23)0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(65.20621sin111yninnSiwvxxvTii (3-3-24) (3-3-25)三边角权的确定及单位权中误差三边角权的确定及单位权中误差 导线网中，既有角度又有边长，两者的量纲不同，导线网中，既有角度又有边长，两者的量纲不同，观测精度一般情况下也不相等。在依据最小二乘法观测精度一般情况下也不相等。在依据最小二乘法进行平差时，应合理地确定边角权之间的关系。为进行平差时，应合理地确定边角

46、权之间的关系。为统一确定角度和边长观测值的权，可以采用以下方统一确定角度和边长观测值的权，可以采用以下方法。法。 取角度观测值的权及中误差为：取角度观测值的权及中误差为：p、 ；取边长观；取边长观测值的权及中误差为：测值的权及中误差为：pS、 ；取常数；取常数 ，则角度，则角度及边长观测值的权为及边长观测值的权为s0220p220SSp 一般情况下，可以认为同一导线网中测角精度一般情况下，可以认为同一导线网中测角精度相等，但是由于导线边长变化较大使得测边精度相等，但是由于导线边长变化较大使得测边精度不等。可以取不等。可以取 ，则有，则有0, 1p22SSp(3-3-26) 2秒 式中式中 以秒

47、为单位，以秒为单位，p无量纲。在实际计算边长的无量纲。在实际计算边长的权时，为使边长观测值的权与角度观测值的权相差不权时，为使边长观测值的权与角度观测值的权相差不至于过大，应合理选取测边中误差的单位，如果至于过大，应合理选取测边中误差的单位，如果 的的单位取为厘米，则单位取为厘米，则pS的量纲为的量纲为 / ；而在平差；而在平差计算中，计算中， 的单位与改正数的单位与改正数vS的单位要一致，均以厘的单位要一致，均以厘米为单位。米为单位。ss2厘米 由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按下式计算：差应按下式计算： 按此方法确定的权，在平差之后还

48、应进行统计按此方法确定的权，在平差之后还应进行统计假设检验。检验通过后才能说明其合理性，否则，假设检验。检验通过后才能说明其合理性，否则，应作修正再进行平差和统计假设检验。应作修正再进行平差和统计假设检验。rvvpvvprpvvSSS0(3-3-27) 如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差（即误差作为单位权中误差（即m0 = m），所以在按），所以在按（3-3-27）式算出的单位权中误差的同时，实际上）式算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计算：

49、算：iiSSp10 (3-3-28)四例题四例题 如图如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差所示，为一四等附合导线，测角中误差 = 2.5，测边所用测距仪的标称精度公式，测边所用测距仪的标称精度公式 = 5mm+5ppmD 。已知数据和观测值见表。已知数据和观测值见表3-2。试按。试按条件平差法对此导线进行平差，并评定条件平差法对此导线进行平差，并评定2号点的点位号点的点位精度。精度。s已知坐标已知坐标(m)已知方位角已知方位角B (187396.252 , 29505530.009)C (184817.605 , 29509341.482)TAB = 1614407.2TCD = 24

50、93027.9导线边长观测值导线边长观测值(m) 转折角度观测值转折角度观测值S1 = 1474.444S2 = 1424.717S3 = 1749.322S4 = 1950.4121 = 8530 21.12 = 25432 32.23 = 13104 33.34 = 27220 20.25 = 24418 30.0表表3-2解：解：未知导线点个数未知导线点个数n 1 = 3，导线边数，导线边数n = 4，观测角，观测角个数个数n + 1 = 5近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表3-2中中近似坐标近似坐标(m)近似方位角近似方位角2

51、(187966.645 , 29506889.655)3 (186847.276 , 29507771.035)4 (186760.011 , 29509518.179)5 (184817.621 , 29509341.465)T1 = 67 14 28.3T2= 141 47 00.5T3 = 92 51 33.8T4= 185 11 54.0T5 = 249 30 24.0表表3-3 (1)组成改正数条件方程及第组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式点平差后坐标函数式改正数条件方程闭合差项：改正数条件方程闭合差项：)(51CDTTw)(52Cxxw)(53Cyyw= 3.9 = -1.

52、6 cm = 1.7 cm 改正数条件方程改正数条件方程0151 wvi0)(65.20621cos241541wvyyvTiiiSi0)(65.20621sin341541wvxxvTiiiSi即即v1 + v2 + v3 + v4 + v5 3.9 = 00.3868VS1 - 0.7857VS 2 - 0.0499VS 3 0.9959VS 4 1.8479V1 1.1887V2 - 0.7614V3 + 0.0857V4 + 1.6 = 00.9221VS1 +0.6186VS 2 + 0.9988VS 3 - 0.0906VS 4 1.2502V1 1.5267V2 0.9840V3

53、 0.9417V4 1.7 = 009417. 09840. 05267. 12502. 10906. 09988. 06186. 09221. 000857. 07614. 01887. 18479. 19959. 00499. 07857. 03868. 0111110000A W= 3.9 -1.6 1.7 T第第3点平差后坐标函数式点平差后坐标函数式 221112113coscosTsTsxxxxx221112113sinsinTsTsyyyyy全微分得全微分得 213213)(1cosiiiidyysdTxd 213213)(1siniiiidxxsdTyd fx3 = 0.3868

54、 0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 fy3 = 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 (2)确定边角观测值的权确定边角观测值的权设单位权中误差设单位权中误差 5 . 20TT 根据提供的标称精度公式根据提供的标称精度公式 = 5 mm + 5ppmD计算测边中误差计算测边中误差S 根据根据(3-3-26)式，测角观测值的权为式，测角观测值的权为 P = 1；为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正在计算测边观测值权时，取测边中误差

55、和边长改正值的单位均为厘米（值的单位均为厘米（cm）。）。220SSP22cmS( )则可得观测值的权阵为则可得观测值的权阵为1111P (3)组成法方程，计算联系数、改正数及观测组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得值平差值，得TTWAAPWNK4951. 30599. 12440. 3)(111TTKAPV2440. 30425. 06118. 08321. 08328. 02463. 00739. 16965. 06861. 01 5.36812445.20022726.34401317.30232544.220385417.1950342.1749731

56、.1424460.1474543214321SSSS进一步计算各导线点的坐标平差值，得进一步计算各导线点的坐标平差值，得1 (187966.644 , 29506889.663)；2 (186847.270 , 29507771.048)；3(186760.000, 29509518.201)(4)精度评定精度评定1）单位权中误差）单位权中误差6 . 20 rPVVT2）点位中误差）点位中误差权倒数：权倒数：6154. 0311133133xTTxxTxxfAPNAPffPfQ2788. 0311133133yTTyyTyyfAPNAPffPfQ点位中误差：点位中误差：cmQxx16. 430

57、3cmQyy88. 130323233yx= 2.46 cm3-4 三角网条件平差计算三角网条件平差计算 三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。三角网的类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。三角网的种类比较多，网的布设形

58、式也比较复杂。根据观测内容种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。余的已知数据。 如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已

59、知点为起的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。多

60、边形组合而成的。 在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。方程的形式问题。一、网中条件方程的个数一、网中条件方程的个数 三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如图系中的坐标最或然值。如图3-9所示，根据前面学到所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或