一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现

1、一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现尹 玮 宏1,王 丽 丹1, 段 书 凯11西南大学 物理科学与技术学院 电子信息工程学院 重庆 中国 400715摘摘 要要 忆阻器被认为是第四个基本电路元件， 它除了是下一代非易失性存储中有竞争力的候选器件外，由于拥有超越其它元件的超级性能，还能构建具有复杂动力学的非线性电路。特别地， 新的基于忆阻器的混沌振荡器的实现已成为非线性电路设计的范例。 本文首先推导两个基于磁控忆阻器模型的串联忆阻器的特性及磁通电荷关系。 然后通过使用这个忆阻系统获得一个新颖的四维超混沌系统，它有两个正的李雅普诺夫指数。通过观察各

2、种混沌吸引子、功率谱和分岔图可看到丰富的动力学现象。最后，建立了模拟该系统的 SPICE 电路。SPICE仿真结果与数值分析一致，这进一步显示了该超混沌系统的混沌产生能力。关键词关键词:忆阻器,超混沌系统,混沌吸引子,电路实现1 1 引引言言忆阻器（Memristor）是一种非线性无源元件，具有非线性和非易失性。几年来的研究工作取得了可喜的进展，各种基于忆阻器的应用成为了研究的热点。 2008 年，惠普实验室的科学家在Nature上发表论文宣称，成功制成了第一个物理实现的忆阻器1，证实了 37年前加州大学蔡少棠（Leon O. Chua）教授的推测2。此后，忆阻器受到了广泛的关注和研究。忆阻器

3、的体积小，功耗低，因此忆阻器是混沌中非线性电路部分的理想选择3， 各种基于忆阻器的混沌系统得到了研究人员的密切关注4-7。基于忆阻器的混沌系统应当具有以下四个方面的优势:（1）忆阻器有着纳米级的尺寸,其作为混沌系统的非线性部分，系统的物本项目受到新世纪优秀人才支持计划 （教技函 2013 47 号） , 国家自然科学基金(61372139, 61101233,60972155)，教育部“春晖计划”科研项目（z2011148）,留学人员科技活动项目择优资助经费（国家级, 优秀类, 渝人社办2012186 号）, 重庆市高等学校优秀人才支持计划（渝教人201165 号）,重庆市高等学校青年骨干教师

4、资助计划（渝教人201165 号）,中央高校基本科研业务费专项资金(XDJK2014A009,XDJK2013B011）的资助。作者简介：尹玮宏（1987-） ，男，湖南邵阳人，研究生，主要从事非线性电路与系统的研究。通信作者: 王丽丹，教授，硕士生导师，现任电子信息工程学院副院长，重庆市高等学校青年骨干教师资助计划获得者。主要从事智能信息处理、智能控制器、非线性电路与系统、忆阻器件及忆阻系统等领域研究，先后主持主研国家自然科学基金、中国博士后基金特别资助项目等项目 20 余项，发表SCI/EI 检索论文 40 余篇，联系邮箱：。理尺寸可以大大减小； （2）忆阻器的阻值能随着磁通或电荷的变化而

5、变化，其伏安特性曲线能够通过零点，可以得到各种丰富的非线性曲线,提高混沌系统的复杂度和信号的随机性；（3）大多忆阻材料与 CMOS 工艺兼容，可以将忆阻器和传统电路紧密结合，通过简单封装就可提供丰富的随机信号，能量的消耗必然会减小； （4）忆阻器是模拟电路元器件，其混沌系统可以产生真正的混沌模拟信号，从而用于混沌保密系统的设计和应用中。混沌系统被普遍认为在信息加密领域具有广阔的应用前景。 在军事科技领域， 混沌不仅可以用于保密通信还可以用于雷达波型的设计等8。近些年，研究人员对各种混沌做出了研究9-14。超混沌概念由 Rossler 提出，并给出了超混沌 Rossler 系统15。超混沌系统有

6、两个或两个以上正的 Lyapunov 指数，其吸引子具有难以识别的拓扑结构，动力学行为要比一般的混沌系统更加复杂难以预测，其在通信加密及信息安全领域具有更高的实用价值。 高维混沌系统具有更复杂的动力学行为以及更好的随机性，一般低维的破译方法，如相空间重构、回归映像和非线性预测等很难破译超混沌加密的信息。不同于有源磁控忆阻混沌电路16，本文基于有着真实的物理模型的 HP 忆阻器17，在L系统基础上，构建了一个全新的超混沌系统。此混沌系统依赖于忆阻器的初始状态，有着复杂的特殊的动力学现象， 如状态转移等非线性物理现象。 本文先分析了忆阻器的基本模型，然后构建新的混沌系统，对该系统进行了数值分析。建

7、立了磁控忆阻器的 SPICE 模型，通过 SPICE 软件设计混沌电路，对前面数值进行分析验证。2 2HPHP 忆阻器基本模型忆阻器基本模型HP 忆阻器是由两层二氧化钛薄膜夹在两个铂片（Pt）电极之间构成的：一层是绝缘的二氧化钛层（TiO2） ，钛氧元素比是 1:2。另一层是有导电能力的缺失了部分氧原子的二氧化钛层（TiO2-X） 。当有外加偏压时,缺氧原子的那层会在电场的作用下发生离子漂移，从而引起绝缘层和导电层中厚度的变换，也从而改变了忆阻器的有效阻值。图图 1 1 HP 实验室的忆阻器物理模型实验室的忆阻器物理模型HP 忆阻器的数学模型有电荷控制模型和磁通控制模型14，其中电荷控制模型可

8、表示为2211)(,)(),()0()(,)(atqRatqatkqMatqRtMONOFF(1)其中,q (t)表示的是电荷的值，a1,a2,a3,a4和 K 的表达式如下：22222314221222256(0)(0),22C(0),C(0),22(0)(0),)22.OFFONOFFONOFFOONOFFVONNRMRMakkkkaMRaMRRaRMRMaaRu RkDkk (2)此外，磁通控制的忆阻器模型可以表示为66525)(,)(, )0()(2)(,)(atRataMtkatRtMONOFF(3)其中，(t)表示磁通的值，电荷和磁通的关系如下：6465253)(,)()(,)0(

9、)0()(2)(,)()(atRatatakMMtkatRattqONOFF(4)从（1）到（4） ，其中 M (t)表示忆阻器的值，RON和 ROFF分别表示忆阻器的极限值，M(0)表示初始值，W(t)是依时间而变化的 TiO2-X厚度，而 D 是薄膜的厚度。RON是当 W (t)等于 0 时候的值，ROFF是当 W(t)等于 D 时候的值，Uv表示氧空缺的平均移动量。(a)(b)图图 2 2 两个串联忆阻器电路模型两个串联忆阻器电路模型-1-0.500.51x 10-400.511.52x 104q,CM1, Ohm-1-0.500.51x 10-400.511.52x 104q,CM2,

10、 Ohm(a)(b)-1-0.500.51x 10-401234x 104q,CM1+M2, Ohm-1-0.500.51x 10-411.522.53x 104q,CM1-M2, Ohm(c)(d)图图 3 3 忆阻器阻值随电荷变化的关系曲线忆阻器阻值随电荷变化的关系曲线3 3 基于忆阻器的超混沌系统基于忆阻器的超混沌系统L系统18的状态方程为x(),a yxybyxzzxycz(5)式中a=36, b=20, c=3,系统有一个正的Lyapunov指数。 在L系统的状态方程上做些变换，并加入忆阻器的磁通变量， 得到一个新的四维超混沌系统。 基于忆阻器的超混沌系统的状态方程为(0.5 ),(

11、 |),xa yxwybxxzyzxyczwyqx(6)该系统由于忆阻器的加入， 加剧了各个变量间的相互影响， 平衡点要受到初始条件的影响，而且有着较大的混沌范围，动力学特性变得更复杂。其中，x， y， z 和 w 是系统的状态变量， a，b, c 是参数。表示的是输入忆阻器的磁通， 从文献14可知忆阻器的电荷和磁通有（7）式所示关系。35256462(0)(0)( )OFFONxaxaRkxMMq xaakxaaRxx(7)其中,222256(0)(0)22OFFONRMRMaakk，。当 a=15, b=5,c=0.9，忆阻器的初始状态为 ROFF=20K， RON=100，M = 16K

12、，D =10nm，uv=10-14m2s-1v-1，并选择初始状态（x,y, z, w）=(0,1,0,0)，得到的混沌吸引子如图 4 所示，图中表示各状态变量之间在平面上的投影，呈现出两个涡卷混沌吸引子。-20-1001020-15-10-5051015xy-20-1001020-10-505101520 xz(a) x-y(b) x-z-20-1001020-30-20-100102030 xw-20020-20020-50050 xyw(c) x-w(d) x-y-w图图 4 4 图图(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)分别表示分别表示 x-yx-y，x-zx-z 和和 x-wx-w

13、 在相平面上的投影，在相平面上的投影，图图(d)(d)表示状态变量表示状态变量 x-y-wx-y-w 在相空间的投影。在相空间的投影。对混沌系统进行动力学分析是研究混沌的重要方法，该部分分析了系统的 Lyapunov 指数，功率谱和分岔图。ALyapunov 指数及时域波形Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。 对于系统是否存在动力学行为， 可以从最大 Lyapunov指数是否大于零，非常直观的判断出来，指数越大，混沌特性越明显，混沌程度越高。该系统的 Lyapunov 指数谱如图 5 所示。05001000150

14、02000-16-14-12-10-8-6-4-2024Lyapunov exponentst L1 = 2.0223 L2 = 0.4404 L3 = -2.6747 L4 = -14.6848图图 5 5 混沌系统混沌系统 LyapunovLyapunov 指数指数在（6）式的混沌系统中,利用 Jacobi 方法计算出 Lyapunov 指数。这种方法的基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解， 然后对系统的 Jacobi 矩阵进行 QR 分解，计算 Jacobi 矩阵特征值的乘积，最后计算出 Lyapunov 指数和分数维。取 t=2000，得 L1= 2.0223，L2= 0.4

15、404，L3= -2.6747， L4= -14.6848，Lyapunov 维数 DL=2.9856。其中有两个正的 Lyapunov 指数，从相轨迹图、实域波形、以及 Lyapunov 指数和维数可以看出该系统是超混沌系统。0100200300400500-20020 x0100200300400500-20020y0100200300400500-20020z0100200300400500-50050wt/s图图 6 6 各状态变量在时域的波形各状态变量在时域的波形得四个状态变量的时域波形如图 6 所示，它们都是非周期性的，而且有状态转移行为。这种跳变行为增加了混沌的复杂度，状态转移行

16、为也是超混沌系统一种特有的现象。B功率谱功率谱分析也是一个重要的观察分叉和混沌的方法。一个混沌系统是非周期的，它的功率谱是连续的，还带有一系列的峰值。图 7 显示了该忆阻混沌系统的功率谱。010002000300040005000-4-2024Power Spectrum dBFrequency Hz图图 7 7 混沌系统（混沌系统（6 6）的功率谱）的功率谱C分岔图分岔图表示非线性系统一个差数变化时的系统动力学特性， 系统的状态随着参数状态的变化而变化，例如双周期混沌变化。让参数 b= 0.5， c = 5 and d= 1 不变，改变参数 a。对应参数 a 变化的状态变量 x 如图 8 所

17、示。 图中可以看出系统的混沌行为随着参数 a 的变化而变化。24681012141618-15-10-505101520ax图图 8 8 混沌系统（混沌系统（6 6）的分岔图）的分岔图4 4 混沌系统的电路设计与实现混沌系统的电路设计与实现为了验证系统（6）的混沌行为，本部分设计了各状态变量的混沌电路。该电路由四路模拟运算电路所组成，分别实现系统（6）中的状态 x，y，z，w 的运算。用到的元器件有LM348 运放、忆阻器、二极管、乘法器、电容、电阻等。加入电路中的电源 VCC=+30V，VEE= - 30V。图图 9 9 实现状态变量实现状态变量 x x 的第一通道电路的第一通道电路由电路中

18、 U1和 U2可以得到47445136211xxywR RRRVVVVdtR CR RRR （8）从而得到47443561251151xxywR RRRVVVVR R R CR R CR R C (9)比较系统（6） ，取 R1= 20k， R4=15k， R2= R3= R5= R6= R7= 10K 和 C1=10uF，可以满足15(0.5)xyxwVVVV(10)图图 1010 实现状态变量实现状态变量 y y 的第二通道电路的第二通道电路通过 U4和 U5列电路方程可以得到1071010112869102111221yxxzyRR RRVVV VV dtR CRR R R CR R C

19、 (11)求导变换得1071010y81126911211122RR RRVxxzyR R CR R R CR R C(12)在（12）式中，R8= R10= R11= 20K， R9= R12= 100 k and C2= 10uF 可以得到5yxxzyVVV VV(13)图图 1111 实现状态变量实现状态变量 z z 的第三通道电路的第三通道电路由 U6和 U7得1417141531315161831zxyzR RRVV VV dtR CRR R R C (14)所以141417131531516183zxyzRR RVV VVR R CR R R C(15)图图 1212 实现绝对值的

20、电路实现绝对值的电路为了得到yxyzVV VV，可以取 R14= R15= R16= 20K，R13=R18=100 K和 C3=10uF。运放 U9和 U10可以实现绝对值电路，二极管使用的是 D10D2，电路可以得到 U10的输出为192121242620102120()00 xxUxxR RRVVR RRVRVVR当 R19= R20= R21= R24= 20K，R26= 10K时，可得10UxVV。另外 R25= R19/R24=10K，R27= R20/R21/R26= 5K。 运放 U11的电压输出231122UxRVVR ， 取 R22= R23=1 K，得11UxVV 。图图

21、 1313 实现状态变量实现状态变量 w w 的第四通道电路的第四通道电路运放 U11的输出作为磁控忆阻器 FLUX 端的输入，忆阻器 CHARGE 端作为运放 U12的输入。忆阻器满足（7）式电荷磁通光系，还有着斜“8”字形的伏安特性曲线，比一般非线性电路更易产生混沌信号。 这样省去了构建非线性电路的麻烦， 混沌系统电路结构更加简单。设忆阻器初始值 ROFF= 20K， RON=100，M =16K，D = 10nm 和 uv = 10-14m2s-1v-1。由运放 U12和 U13得292930431281( )wyRRVVq xdtR CRR (16)从而29293031428304(|

22、)wyRRVVqxR R CR R C(17)比较系统（6）最后我们取 R29= R30= 20K， R28= R31= 100K和 C4= 10uF，可以得到( |)wyVVqx(18)在 SPICE 仿真中,设置仿真的时间从 0 到 2000 seconds 和仿真的最大步长 0.001seconds。得到的四阶混沌系统的部分变量的相图如图 15 所示，图中横纵坐标表示的是运放 U3、U5和 U8的输出电压 Vx、 Vy 和 Vz，该仿真和数值仿真的结果相似，表明基于忆阻器的混沌系统可以在模拟电路中实现，再次说明了该系统的正确性。图 14 为状态变量 y 在时域中的波形，纵坐标 V（Vy:

23、OUT）表示的是运放 U5输出的电压，横坐标表示的是时间 Time。由于忆阻器的加入， 该系统时域信号出现了状态转移行为。 产生的这些时域混沌信号可以作为保密通信的混沌信号源，也可以运用在图像加密或者随机比特发生器。图图 1414 状态变量状态变量 Vy 在时域中的波形在时域中的波形(a)(b)图图 1515 SPICESPICE 仿真中部分状态变量在平面的相图仿真中部分状态变量在平面的相图5 5 结论结论本文先对忆阻器的基本模型进行了分析，然后在 L系统的基础上加入忆阻器，构建一个新的四维超混沌系统，该混沌系统呈现着复杂的动力学行为。此外，通过 SPICE 电路实现了该混沌系统。论文前面对该

24、系统进行了数值分析，后面用 SPICE 设计电路进行了验证，前后的结果一致,实验表明该系统是超混沌的。忆阻器是个最新的元器件，体积小，功耗低，更有着一般元件没有的特性，在混沌电路中有着很高的应用价值。参考文献参考文献1D. B. Strukov, G. S. Snider, D. R. Stewart, R. S. Williams. The missing memristor found.Nature,2008, 453(7191):8083.2L. O. Chua. Memristor - the missing circuit element. IEEE Trans. Circuit T

25、heory, 1971, 18(5):507519.3M. Itoh, L. O. Chua. Memristor oscillators. International Journal of Bifurcation and Chaos,2008, 18(11): 3183-3206.4B. Muthuswamy, P. P. Kokate. Memristor-based chaotic circuits. IETE Technical Review,2009, 26(6): 417.5B. C. Bao, J. P. Xu, Z. Liu. Initial state dependent d

26、ynamical behaviors in a memristor basedchaotic circuit. Chinese Physics Letters, 2010, 27(7): 070504.6B. Muthuswamy. Implementing memristor based chaotic circuits. International Journal ofBifurcation and Chaos, 2010, 20(05): 1335-1350.7B. C. Bao, Z. Liu, J. P. Xu. Steady periodic memristor oscillato

27、r with transient chaoticbehaviours. Electronics letters, 2010, 46(3): 228-230.8李春来.禹思敏.一个新的超混沌系统及其自适应追踪控制.物理学报.2012,61(4): 04 0504.9G. Q. Zhong, K. F. Man, G. Chen. A systematic approach to generating n-scroll attractors.International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(12): 2907-2915.10 S. D

28、uan, X. Liao. An electronic implementation for Liaos chaotic delayed neuron modelwith non-monotonous activation function. Physics Letters A, 2007, 369(1): 37-43.11 J. L, G. Chen. Generating multiscroll chaotic attractors: theories, methods and applications.International Journal of Bifurcation and Ch

29、aos, 2006, 16(04): 775-858.12 L. Wang, X. Yang. Generation of multi-scroll delayed chaotic oscillator. Electronics Letters,2006, 42(25): 1439-1441.13 L. Wang, S. Duan. A chaotic attractor in delayed memristive system. Abstract and AppliedAnalysis. Hindawi Publishing Corporation, 2012, 2012.14 L. Wan

30、g, E. Drakakis, S. Duan, et al. Memristor model and its application for chaosgeneration. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, 22(08).15 O. E. Rossler. An equation for hyperchaos. Physics Letters A, 1979, 71(2): 155-157.16 B. C. Bao, G. D. Shi, J. P. Xu, et al. Dynamics analysis of c

31、haotic circuit with two memristors.Science China Technological Sciences, 2011, 54(8): 2180-2187.17 X. Hu, S. Duan, L. Wang. A novel chaotic neural network using memristive synapse withapplications in associative memory. Abstract and Applied Analysis. Hindawi PublishingCorporation, 2012, 2012.18 J. H

32、. L, G. R. Chen. A new chaotic attactor cointor. International Journal of Bifurcation andChaos, 2002, 12(3):659-661.A New Memristor-based Hyperchaotic Oscillatorwith Circuit ImplementationWeihong Yin1,Lidan Wang1,Shukai Duan11School of Electronic and information engineering, Southwest University, Chongqing, 400715, ChinaAbstract In addition to be a competitive candidate for next-generation nonvolatile memory, ananometer memri