2020年高考文数(人教版)教学案第46讲直接证明与间接证明

1、第 46 讲直接证明与间接证明I at习目标“1 理解综合法和分析法的概念及区别，能熟练地运用它们证题.2 理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤._知识梳理1 综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等 证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.综合法是由已知推导出未知的证明方法， 又叫顺推证法或由因导果法.可用框图表示 为：2.分析法从要 证明的结论 出发，逐步寻求使它成立的充分条件 ，直至最后，要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）这种证明的方法叫做分析法分析法又叫逆推法或执果索因法.用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框

2、图表示为:3.反证法一般地，假设原命题的结论不成立，经过 正确的推理，最后得出矛盾 ，因此说明 假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.热身练习1.下面的两个不等式：2 2 21a + b + c ab+ bc+ ca;2.3 + 2 22ab, b2+ c2 2bc, c2+ a2 2ca,三式相加除 2 即得;2成立用分析法证明：要证3 + 2 ,22 + . 7,只需证(，3+2 2)2(2+ .7)2,即证 11 + 4611 + 4.7,即证,6、：.；7,即证 67,而 60用分析法证明不等式，每一步都是寻找结论成立的充分条件件)，上述 A , B , C 都是结

3、论成立的必要条件，不是充分条件，D 是充要条件.故选 D.3 .如果 a0, b0，则有(B)2 2bbA.二 2b a B_ 2b aab2匕”Dw2ba ab2要比较一与 2b a 的大小，因为ab22ab，所以 b22ab a2,b2从而2b a. a4.用反证法证明命题“设a, b 为实数，则方程 x3+ ax + b= 0 至少有一个实根”时，要作的反设是(A)A .方程 x3+ ax+ b = 0 没有实根B .方程 x3+ ax+ b = 0 至多有一个实根C .方程 x3+ ax+ b = 0 至多有两个实根D .方程 x3+ ax+ b = 0 恰好有两个实根 “方程 x3+

4、 ax+ b= 0 至少有一个实根”？“方程 x3+ ax+ b = 0 的实根个数大于或等于 1”，因此，要作的反设是方程X3+ ax+ b = 0 没有实根.5.已知函数 f(x)在(-m,+m)上是减函数，则方程 f(x) = 0 的根的情况为(A)a2+ b2 1 a4+ b42(当然也可是充要条 a-b2C.0，即比较 b 与 2ab a 的大小，因为A .至多有一个实根B .至少有一个实根C 有且只有一个实根D 无实根CZ3假设方程有两个实根 Xi, X2,不妨设 X1f(X2)，矛盾，故假设不成立，所以方程至多有一个实根.I 高频 _兰-综合法画在厶 ABC 中，三个内角 A,

5、B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数 列，a，b，c成等比数列，求证： ABC 为等边三角形.EO 由 A, B, C 成等差数列，有 2B= A + C.因为 A, B, C 为ABC 的内角，所以 A+ B+ C =冗n由，得B=n由 a, b, c 成等比数列，有 b2= ac,由余弦定理，可得 b2= a2+ c2 2accos B= a2+ c2 ac.22再由，得 a + c ac= ac.2即(a c) = 0，因此 a= c,从而有 A= C.n所以 A = B = C = 3.所以ABC 为等边三角形.综合法又叫顺推法，或者由因导果法，是数学中

6、最常用的证明方法.W KsSui&V1. (2018 山东聊城模拟)当定义域为0,1的函数 f(x)同时满足以下三个条件时，称f(x)为“友谊函数”：(1) 对任意的 x 0,1，总有 f(x)0;(2) f(1) = 1；(3) 若 X10 , X20 且 X1+ x2 f(X1)+ f(x2)成立.则下列判断正确的是(填序号)1若 f(x)为“友谊函数”，贝 y f(0) = 0；2函数 g(x) = x 在区间0,1上是“友谊函数”；3若 f(x)为“友谊函数”，且 0WX1X2 1,则 f(X1) f(0) + f(0)，即 f(0)w0,又 f(0) 0,所以 f(0) =

7、0，故正确.函数 g(x) = x 在区间0,1上满足：g(x) 0; g(1)= 1.若 X1 0 , X2 0 且 Xi+ X2 1 ,则有 g(X1+ X2) g(X1)+ g(X2) =(X1+ X2)(X1+ X2)= 0,满足条件(3).故 g(X) = X 满足条件(1),，(3),所以 g(X)= X 在区间0,1上是“友谊函数”，故正确.3因为 f(X)为“友谊函数”，0wX1X2 1，则 0X2 X1 f(X2 X1)+ f(X1) f(X1).故有 f(X1)wf(X2)，故正确.S0 设 a, b, c 均为正数，且 a+ b + c= 1,求证：，a+ b + _ c

8、w3.要证 a + ,b+ cw3,只需证 a + b + c+ 2 . ab+ 2,bc + 2 , caw3,因为 a+ b+ c= 1,只需证.ab+ . bc+ caw1.一 a+b b + c 一 a+ c 而，abw2,bcw2，一 caw,上述三式相加得 ab + . bc+ caw2a+2b+c= 1 成立,故原不等式成立.分析法是从命题的结论出发，逐步分析使结论成立的充分条件，因此，要特别注分析法意分析法的书写格式.常采用“要证一一只需证一一而XXX成立，故原命题成立”这样的书写格式.2.已知 a, b R, abe(其中 e 是自然对数的底数ES3 因为 ba0, ab0,

9、所以要证 baab,只需证 aln bbln a，)，求证：baab.只需证In b In a、r In x记 f(x) = -,1 In x 因为f(x)=厂,所以当 xe 时，f (x)be 时，有 f(b)f(a),即 罟罟故原不等式成立.反证法设an是公比为 q 的等比数列.(1)推导an的前 n 项和公式;设 q 工 1，证明数列an+ 1不是等比数列.(1)设an的前 n 项和为 S ,当 q = 1时，Sn=na1；n 1当 q丰1 时，Sn= a1+a1q+所以 Sn=* na11 qq= 1,所以 Sn= aifl qnx,q丰1.1 q证明：假设an+ 1是等比数列，则对任

10、意的k N*,2(ak+1+1) =(ak+ 1)(ak+ 2+1),2ak+1+ 2ak+1+ 1 = akak+ 2+ ak+ ak+ 2+1,2 2k c kk1k+1k1k+1a1q + 2a1q = agag+ ag+ ag+,因为 a1* 0，所以 2qk= qk-1+ qk+1,又 q丰0,所以 q2 2q+ 1 = 0,所以 q = 1这与已知矛盾.故假设不成立，故an+ 1不是等比数列. (1)当遇到“否定性”“唯一性” “无限性”“至多” “至少时，常用反证法.(2)用反证法的一般步骤：反设否定结论；归谬推导矛盾；结论结论成立.3.已知数列an的前 n 项的和为 Sn,且满

11、足 an+ Sn= 2.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.底霜(1)当 n= 1 时，a1+ Si = 2a1= 2，所以 a1= 1,又 an+ Sn= 2，所以 an +1+ Sn+ 1= 2 ,1两式相减，得 an + 1= ?an,1所以an是首项为 1,公比为 2 的等比数列，nai,等类型的命题1所以 an=n2(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap +1, aq+ ii(pqP+1，所以 2 2r-q= 2r-p+ 1.(*)又因为 pqr, p, q, r R，所以 r- q, r p N ,所以(*)式左边是偶函数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，故原命题成立.i 鯉_,1 数学证明常用的方法有直接法和间接法综合法和分析法是直接证明的常用方法， 也是解决数学问题的常用思维方式当数学问题直接证明比较困难或直接证明无法进行 时，可以采用间接证明，间接证明最主要的方法是反证法.2解决数学问题时常将分析法和综合法联合使用，即“由已知看可知，由所求看需