第四章-3-稳态导热

1、1二、导热微分方程和定解条件二、导热微分方程和定解条件 即求解导热物体内的温度分布即求解导热物体内的温度分布温度场温度场 t=f(x,y,z, )导热微分方程导热微分方程描述一类导热问题共性的数学表达式。描述一类导热问题共性的数学表达式。定解条件定解条件使微分方程得到定解的条件使微分方程得到定解的条件2v1、写出导热微分方程。、写出导热微分方程。v根据实际导热问题的特点，简化导热微分方程。根据实际导热问题的特点，简化导热微分方程。v2、写出定解条件、写出定解条件v必须根据题目所给已知条件判断后写出。必须根据题目所给已知条件判断后写出。v这一步比较重要，尤其是非稳态导热问题。这一步比较重要，尤其

2、是非稳态导热问题。v3、求解数学模型，得到温度分布规律。、求解数学模型，得到温度分布规律。v应用高等数学知识，对数学模型进行积分求解。应用高等数学知识，对数学模型进行积分求解。v对于多维导热问题，还可借助计算机来近似求解。对于多维导热问题，还可借助计算机来近似求解。v4、根据傅里叶定律，求解热流密度。、根据傅里叶定律，求解热流密度。v5、分析讨论所得结果。、分析讨论所得结果。3导热的理论基础导热的理论基础v导热基本定律导热基本定律v导热微分方程导热微分方程v工程中的许多问题，直接利用工程中的许多问题，直接利用三维非稳态三维非稳态的导热微分方程进行的导热微分方程进行求解是没有必要的，可以进行求解

3、是没有必要的，可以进行适当的简化和假设！适当的简化和假设！v对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所造成的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热。v稳态导热是最重要也是最常用的简化之一稳态导热是最重要也是最常用的简化之一v物体在物体在稳定运行时稳定运行时，可看作处于稳定导热状态。，可看作处于稳定导热状态。v稳态的特征：稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间变化物体内各位置处的温度不随时间变化v根据导热物体的根据导热物体的几何特点和物理过程几何特点和物理过程从空间上做进一步简化。从空间上做进一步简化。v主要阐述工程上主要阐述工程上常见的典型几何形状物体的一维稳态导热。常见的典型几何形状物体的一维

4、稳态导热。4v典型几何形状：典型几何形状：v 无限大平壁、无限长圆筒壁、等截面直肋等无限大平壁、无限长圆筒壁、等截面直肋等v分析目的：分析目的：v 确定物体内的温度分布；确定物体内的温度分布；v 计算导热量。计算导热量。 v分析方法：分析方法：v 理论分析方法理论分析方法三、一维稳态导热的计算5v不是几何意义上的，而是物理意义上的！不是几何意义上的，而是物理意义上的！v对实际物体的一种抽象和简化处理。对实际物体的一种抽象和简化处理。v传热特征：传热特征：v（1 1）壁面两侧表面分别维持均匀的温度）壁面两侧表面分别维持均匀的温度v温度梯度为零，无热量传递；温度梯度为零，无热量传递；v（2 2）温

5、度仅在厚度方向上变化）温度仅在厚度方向上变化v热量仅沿厚度方向传递。热量仅沿厚度方向传递。v工程计算中：工程计算中：v 平壁：平壁：其长度和宽度远比厚度大（其长度和宽度远比厚度大（1010倍以上），或倍以上），或有限大小的平壁其厚度四周绝热良好；有限大小的平壁其厚度四周绝热良好；v 圆筒壁：圆筒壁：其长度远大于直径时，或有限长的圆筒壁其长度远大于直径时，或有限长的圆筒壁两端绝热良好。两端绝热良好。一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算一维导热问题一维导热问题忽略边缘与四周环境的热量交换忽略边缘与四周环境的热量交换6 工程实例：工程实例： 锅炉炉墙和保温层、锅炉炉墙和保温层、 冷库墙壁和隔热层、冷

6、库墙壁和隔热层、 房屋墙壁等。房屋墙壁等。一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算7v厚度为厚度为 、侧表面积为、侧表面积为A的单层大平壁；的单层大平壁；v没有内热源，材料热导率没有内热源，材料热导率 为常数；为常数；v平壁两侧分别维持均匀恒定的温度平壁两侧分别维持均匀恒定的温度tw1和和tw2。v假设假设tw1tw2，一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算A 8v导热问题的数学描述：导热问题的数学描述： 0dd22xt边界条件：边界条件： w10ttxw2ttx积分两次，得到积分两次，得到通解通解： 21cxct代入边界条件，得到平壁内代入边界条件，得到平壁内温度分布：温度分布：w1w12wtxt

7、tt 常物性、无内热源时，常物性、无内热源时，平壁内温度呈线性分布。平壁内温度呈线性分布。一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算9根据傅里叶定律，通过平壁的根据傅里叶定律，通过平壁的热流密度：热流密度： ttAAqA热流量:w1w2ddtqxttt2 K/W mK/WARr导热热阻：tr一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算等效热阻网络图等效热阻网络图tR10常物性、无内热源时：常物性、无内热源时： w1w2tttARw1w2tttqr 一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算11d: dtqconstx 利用傅里叶定律求解分离变量积分：分离变量积分： ddqxtx从从0 积分，得热流密度积分，得热流

8、密度:在在0 x 积分，得温度分布积分，得温度分布:21120 d wwxtwtwttxdttqq10 d?wxttxtqxdtt 一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算1213v能量转移过程：能量转移过程：在某势差作用下进行在某势差作用下进行v 电量转移电量转移电势差电势差v 质量转移质量转移浓度差浓度差v 热量传递热量传递温温 差差v遵循的共同规律：遵循的共同规律： 过过程程的的阻阻力力过过程程的的动动力力过过程程中中的的转转移移量量电阻电阻电压电压欧姆定律：电流欧姆定律：电流 热阻的概念热阻的概念14v热量传递过程：热量传递过程：v 动力动力温差温差v 转移量转移量热流量或热流密度热流量或

9、热流密度v 阻力阻力热阻。热阻。 tR温度差热流量热阻补充：热阻的概念补充：热阻的概念15大平壁的导热大平壁的导热rtttq tttARA K/W AR导热热阻：导热热阻：单位面积的导热热阻单位面积的导热热阻K)/W(m 2r补充：热阻的概念补充：热阻的概念16hrthtthq11htthA tRhA 1 hRhA对流换热热阻：1 hrh补充：热阻的概念补充：热阻的概念单位面积上的对流换热热阻单位面积上的对流换热热阻17Rt补充：热阻的概念补充：热阻的概念tqrqr18热阻网络图分析法热阻网络图分析法v传热学的传热学的一种基本的方法，有利于分析复合传热过程。一种基本的方法，有利于分析复合传热过

10、程。v画出等效热阻网络图，借助直流电路图知识求解。画出等效热阻网络图，借助直流电路图知识求解。v能够正确地分析传热过程的组成，并画出热路图；能够正确地分析传热过程的组成，并画出热路图；v能够记住热阻表达式。能够记住热阻表达式。v（1 1）串联热路串联热路的总热阻等于各串联环节的热阻之和。的总热阻等于各串联环节的热阻之和。v在热流方向上，在热流方向上，各热阻引起的温降与热阻成正比各热阻引起的温降与热阻成正比。v（2 2）并联热路的并联热路的总热阻的倒数等于各并联支路热阻的总热阻的倒数等于各并联支路热阻的倒数之和。倒数之和。各支路的热流与其热阻成反比。各支路的热流与其热阻成反比。v具体应用：具体应

11、用：习题习题4-1（并联）（并联）补充：热阻的概念补充：热阻的概念1920v工程中经常会遇到工程中经常会遇到由几层不同材由几层不同材料叠在一起组成的复合平壁。料叠在一起组成的复合平壁。v例：例：采用耐火砖、保温层和普通采用耐火砖、保温层和普通砖层叠而成的锅炉炉墙。砖层叠而成的锅炉炉墙。v更关心通过平壁的热流密度。更关心通过平壁的热流密度。v三层平壁为例：三层平壁为例：v热量由高温侧向低温侧依次热量由高温侧向低温侧依次以导热方式通过各平壁。以导热方式通过各平壁。v共有共有三个导热环节三个导热环节串联串联第二节第二节/ /三、一维稳态导热的计算三、一维稳态导热的计算常物性、无内热源常物性、无内热源

12、q 1 2 321v根据根据等效热阻网络图，利用串联热等效热阻网络图，利用串联热阻叠加原则阻叠加原则直接写出热流密度：直接写出热流密度： 3322114w1wttqv求各层间分界面上的温度：求各层间分界面上的温度： w2w3w1w4112233w2w3ttttttq 一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算22v温度分布曲线为折线温度分布曲线为折线v各层温度分布为直线段，各层温度分布为直线段，其斜率取决于材料的导热系其斜率取决于材料的导热系数值。数值。v每层温降与其热阻有关每层温降与其热阻有关v热阻越大，温降就越大。热阻越大，温降就越大。 122334112233wwwwwwttttttq =常数

13、常物性、无内热源常物性、无内热源常数dxdtq一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算23vn层平壁层平壁:11w1ww1w11nnnniiiiittttqr,111 iw iwiittqr一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算2425v工程背景工程背景v由于制造和加工方便，圆形通道在工程中应由于制造和加工方便，圆形通道在工程中应用更广泛。用更广泛。v 如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液气输送管道、供暖热水管道等；气输送管道、供暖热水管道等；v 如石油工程中的输油管道、注水管道、输如石油工程中的输油管道、注水管道、输气管线、油管、套管等。气管线、油管、套管等。v

14、当圆形通道内、外壁存在温差时，热量当圆形通道内、外壁存在温差时，热量以导以导热的方式热的方式通过管壁。通过管壁。一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算26一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算常物性、无内热源、一维径向稳态导热常物性、无内热源、一维径向稳态导热1 dd0ddtrrrr柱坐标系柱坐标系需要需要2个边界条件个边界条件27112lntcdtdrrcrc 数学模型：数学模型： dd0ddtrrr圆筒壁内、外壁面分圆筒壁内、外壁面分别维持均匀的温度别维持均匀的温度tw1和和tw2，且，且tw1tw2。1rr w1tt2rr w2tt圆筒壁的温度分布圆筒壁的温度分布： 1w1w1w221lnl

15、nr rttttr r对数曲线！对数曲线！非直线段非直线段一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算代入边界条件，求出积分常数代入边界条件，求出积分常数c1和和c2。28利用傅里叶定律利用傅里叶定律，求得通过圆筒壁的热流量：，求得通过圆筒壁的热流量： w1w221dd2ddl2nttttlrrAr rrl w1w2211ln2tttdRld 211ln2dRld整个圆筒壁的导热热阻整个圆筒壁的导热热阻 一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算29 w1w2212ln( )ttqArlrdfdrw1w2212lnttldd 常数一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算30v工程上常用工程上常用线热流量线热流量

16、 L单位管长的导热单位管长的导热热流量，热流量，单位是单位是W/m w1w2211ln2lddttl 211ln2LdRd单位管长圆筒壁的导热热阻。单位管长圆筒壁的导热热阻。 一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算w1w2LttR31圆筒壁的导热热阻圆筒壁的导热热阻211ln m K/W2LdRd211ln K/W2dRld一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算3233v工程中的许多管道需要工程中的许多管道需要敷设保温层或隔热层敷设保温层或隔热层以以降低管线的热损失。降低管线的热损失。v锅炉管、注水管线运行一段时间后，会沿管壁锅炉管、注水管线运行一段时间后，会沿管壁在管内形成在管内形成水垢层。水垢

17、层。v采油或输油管线会沿管壁形成采油或输油管线会沿管壁形成蜡沉积层蜡沉积层等。等。v这时的圆筒壁称为这时的圆筒壁称为多层圆筒壁。多层圆筒壁。 多层圆筒壁的稳态导热多层圆筒壁的稳态导热第二节第二节/ /三、一维稳态导热的计算三、一维稳态导热的计算34n层圆筒壁：层圆筒壁： 1n+1111ln2wwniiiittdld 各交界面温度各交界面温度: : 多层圆筒壁的稳态导热多层圆筒壁的稳态导热一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算1,1111ln2ijw iwjjjdttld35多层圆筒壁的稳态导热多层圆筒壁的稳态导热v三层圆筒壁三层圆筒壁:v从内向外各层的半径分别为从内向外各层的半径分别为r1、r2

18、、r3和和r4；导；导热系数热系数1、2和和3为常数；最内层和最外层表面为常数；最内层和最外层表面维持均匀温度维持均匀温度tw1和和tw4（tw1tw4）；）；v各交界面温度分别为各交界面温度分别为tw2和和tw3（通常未知）。（通常未知）。一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算 L热阻串联热阻串联w1w4324112233111lnlnln222Lttdddddd 3637v对于内外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，对于内外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，在球坐标系中是一维稳态导热问题。在球坐标系中是一维稳态导热问题。2211220)(1wwttrrttrrdrdtrdrdr，数学模

19、型：)11(11221212rrrrttttwww温度分布：)(112)(11421212121wwwwttddttrr热流量：)11(21)11(412121ddrrR导热热阻：第二节第二节/ /三、一维稳态导热的计算三、一维稳态导热的计算3839v导热系数随温度变化是更一般、更符合实际的情形。导热系数随温度变化是更一般、更符合实际的情形。0ddddxtx01 bt线性变化2012 2bttc xc一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算 平壁内的平壁内的温度分布是二次曲线温度分布是二次曲线，其，其凹凹凸性主要由温度系数凸性主要由温度系数b的正负决定的正负决定。第一类边界条件下第一类边界条件下无

20、内热源的平壁无内热源的平壁400: dd(1)ddttqbtconstxx 傅立叶定律0d(1)dtbtconstx曲线斜率dd(, )0txxtb曲线斜率下凹时第一类边界条件下第一类边界条件下无内热源的平壁无内热源的平壁dd(, )0txxtb曲线斜率上凸时一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算41v通过平壁的热流密度：通过平壁的热流密度： w1w2tttqv无内热源时，无内热源时，即使热导率即使热导率随温度变化，随温度变化，通过平壁的通过平壁的热流密度仍然为常数！热流密度仍然为常数！v计算公式形式不变！计算公式形式不变！第一类边界条件下第一类边界条件下无内热源的平壁无内热源的平壁012 (

21、)12wwtttfb平均热导率:算术平均温度算术平均温度一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算01bt时，221( )-tt dtt t1t平均热导率42w1w221t-t W/m1ln2dld 第一类边界条件下第一类边界条件下无内热源的圆筒壁无内热源的圆筒壁：一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算01221wwttb平均热率: 导若界面温度未知，则无法计算平均温度，采用试算法！若界面温度未知，则无法计算平均温度，采用试算法！ 例例4-201bt时，4301221wwttb平均热率: 导第一类边界条件下第一类边界条件下无内热源的球壁无内热源的球壁：一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算1212121

22、24 2 ()()1111wwwwttttrrdd 01bt时，44450dd22xt边界条件：边界条件： 1f100d|dxxth ttx22fddxxthttx平壁内的温度分布平壁内的温度分布: : xhhhtttt1211f2f1f111数学模型：数学模型：积分两次，通解积分两次，通解利用边界条件，利用边界条件，求出积分常数求出积分常数c1、c221cxct仍为线性！仍为线性！ 第二节第二节/ /三、一维稳态导热的计算三、一维稳态导热的计算46利用利用傅里叶定律，傅里叶定律，得到得到通过平壁的热流密度：通过平壁的热流密度： 22f11f1dd1tthqhtx w1f11qtthv实际是实

23、际是一个典型的传热过程。一个典型的传热过程。一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算对流换热热阻对流换热热阻针对导热，为第三类针对导热，为第三类边界条件。边界条件。 传热热阻传热热阻22f2whqtt47一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算w1f111ttqhf1w211httq第三类第三类第一类第一类qw12 wttq或4849v变截面物体的变截面物体的无内热源的无内热源的一维稳态导热问题一维稳态导热问题v例题例题4-4v常物性、常物性、具有内热源的具有内热源的一维稳态导热问题一维稳态导热问题v 大平壁大平壁v 边界条件边界条件 (对称性，中心绝热对称性，中心绝热)v例：例：核反应堆中燃料元件散热；核反应堆中燃料元件散热；( )A xdtdx 2211( )xtxtA xdxdt 21221112()( )(ttxxxxdtttdxdxA xA xt 220d tdx1()0ddtrr drdr圆柱体圆柱体边界条件边界条件锆锡合金制成的圆管充满铀燃料；锆锡合金制成的圆管充满铀燃料；二次曲线二次曲线 抛物线抛物线微波加热物体；物体内有电流通过；微波加热物体；物体内有电流通过； 射线对物体的照射加热等等射线对物体的照射加热等等。5051v例题例题4-1：v例题例题4-2：v三层平壁稳态导热，但有两层