北师大版-九年级-数学-上册-第一章-特殊平行四边形-同步练习(含答案解析)

1、第一章 特殊平行四边形 评价检测(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直【解析】选C.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,平行四边形具有的性质就是矩形,菱形,正方形都具有的性质,矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分. 【知识归纳】矩形、菱形、正方形对角线性质的区别(1)矩形的对角线相等但不垂直.(2)菱形的对角线垂直但不相等.(3)正方形的对角线相等而且垂直.2.如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EFEC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则

2、AE的长是() A.3B.4C.5D.7【解题指南】解答本题的三个关键(1)由矩形的性质和EFEC,EF=EC,得出AEFDCE.(2)由全等得AE=CD,再结合矩形的周长,求出AD.(3)用AD减DE得出AE的长.【解析】选A.矩形ABCD中,EFEC,DEC+DCE=90,DEC+AEF=90,AEF=DCE,又EF=EC,AEFDCE,AE=CD,矩形的周长为16,即2CD+2AD=16,CD+AD=8,AD-2+AD=8,AD=5,AE=AD-DE=5-2=3.3.下列说法正确的是()A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边

3、形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形【解析】选D.对角线相互平分且互相垂直的四边形是菱形,A,B选项错误;对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形, C选项错误;D选项正确,故选D.4.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AEBD,垂足为E,BAE=30,那么ECD的面积是() A.2B.C.D.【解析】选C.如图,过点C作CFBD于F.矩形ABCD中,BC=2,AEBD,BAE=30,ABE=CDF=60,AB=CD,AD=BC=2,AEB=CFD=90.ABECDF.AE=CF.ADE=BAE=30,AE=AD=1,DE=,SECD=EDCF=EDAE=.【变式训练】如图,在

4、矩形ABCD中,E是BC的中点,BAE=30,AE=2,则矩形ABCD的面积为.【解析】在RtABE中,AE=2,BAE=30,BE=AE=1,AB=.E是BC的中点,BC=2BE=2,矩形ABCD的面积=ABBC=2.答案:25.如图,已知菱形ABCD与ABE,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,则DE的长度为()A.8B.9C.11D.12【解析】选D.连接AC,设AC交BD于O点,四边形ABCD为菱形,ACBD,且BO=DO=8,在AOD中,AOD=90,AO=15,在AOE中,AOE=90,OE=20,又OD=8,DE=OE-OD=20-8=12.6.如图,在矩形AB

5、CD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,则阴影部分图形的周长为()A.15B.20C.25D.30【解析】选D.根据折叠的性质,A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF;所以阴影部分的周长=矩形的周长=2(10+5)=30. 7.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE.将ADE沿AE对折至AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论: 点G是BC的中点;FG=FC;SFGC=.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选B.正确.理由:正方形ABCD中,AB=3

6、,CD=3DE,ED=CD=1.EC=2.由对折得AFEADE.进而得,AF=AD,EF=ED =1,AFE=D=90.可证ABGAFG.设BG=x,则FG=x,GC=3-x.在RtEGC中,由勾股定理得GC2+ EC2=EG2,即(3-x)2+22=(1+x)2.解得x=,即BG=BC.不正确.理由:GF=,EF=1,点F不是GE的中点.假设FG=FC,则FGC=FCG.由等角的余角相等,得FEC=FCE.EF=FC.FG=EF.这与前面的结论:点F不是GE的中点相矛盾.所以假设不成立. 正确.理由:GFC中,设GC边上的高为h,则h=EC=.SGFC=GCh=. 二、填空题(每小题5分,共

7、25分)8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是. 【解析】等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形;平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形;矩形、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形.答案:矩形和正方形【易错提醒】平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,本题易误认为平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 【知识归纳】特殊平行四边形的对称性(1)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)矩形与菱形有两条对称轴,正方形有四条对称轴.(3)对角线的交点是它们的对称中心,过对称中心的任一条直线均把原图形分成面积相等的两部分.9.如

8、图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件:,使得平行四边形ABCD是菱形. 【解析】添加ACBD,则对角线互相垂直的平行四边形是菱形;添加AD=DC,则一组邻边相等的平行四边形是菱形. 答案:ACBD(或AD=DC,答案不唯一)10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则AEF的周长=.【解析】在RtABC中,AC=10(cm),点E,F分别是AO,AD的中点,EF是AOD的中位线,EF=OD=BD=AC=2.5(cm),AF=AD=BC=4(cm),AE=AO=AC=2.5(cm),A

9、EF的周长=AE+AF+EF=9cm.答案:9cm【变式训练】如图,顺次连接菱形ABCD的各边中点E,F,G,H.若AC=a,BD=b,则四边形EFGH的面积是.【解析】点E,F分别是菱形边AB,BC的中点,EF是ABC的中位线,EF=AC,且EFAC.同理,HG=AC,且HGAC,EF=HG,且EFHG.四边形EFGH是平行四边形,且EHFG,EH=FG=BD.又四边形ABCD是菱形,ACBD,EFEH,四边形EFGH的面积=EFEH=ab=ab.答案:ab11.如图,在矩形ABCD中,AE=AF,过点E作EHEF交DC于点H,过F作FGEF交BC于G,连接GH,当AD,AB满足时,四边形E

10、FGH为矩形.【解析】四边形ABCD是矩形,A=90.AE=AF,AFE=AEF=45.又EHEF,FGEFGFB=HED=45,DHE和BGF都是等腰直角三角形.如果四边形EFGH是矩形,则EH=FG,ED=FB,又AE=AF,AD=AB.答案:AD=AB12.如图,四边形ABCD与AEFG都是菱形,其中点C在AF上,点E,G分别在BC,CD上,若BAD=135,EAG=75,则=.【解析】作EHAB于H,由对称性知,两菱形分别关于AF对称,BAE=DAG=(BAD-EAG)=30,B=180-BAD=45.在RtBHE中,B=BEH=45,设BH=x,则EH=BH=x,在RtEHA中,BA

11、E=30,AE=2HE=2x,AH=x.AB=BH+AH=x+x,故=.答案:三、解答题(共47分)13.(10分)如图,在四边形ABFC中,ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.(1)求证:四边形BECF是菱形.(2)若四边形BECF为正方形,求A的度数.【解析】(1)BC的垂直平分线EF交BC于点D,BF=FC,BE=EC.又ACB=90,EFAC.=.D为BC中点,=,E为AB中点,即BE=AE,CF=AE,CF=BE,CF=FB=BE=CE,四边形BECF是菱形.(2)四边形BECF为正方形,BEC=90.又AE=CE,A=45.【互动探究】四边形

12、BECF的面积与ABC的面积有什么关系?为什么?提示:四边形BECF的面积与ABC的面积相等,理由如下:四边形BECF是菱形,CFAB.CF=AE,SCFB=SAEC,SCFB+SCEB=SAEC+SCEB,即:四边形BECF的面积=ABC的面积.14.(12分)如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接AE,CF.(1)证明:四边形AECF是矩形.(2)若AB=8,求菱形的面积.【解析】(1)四边形ABCD是菱形,AB=BC,又AB=AC,ABC是等边三角形,E是BC的中点,AEBC,AEC=90,E,F分别是BC,AD的中点,AF=AD,EC=BC,四边形ABC

13、D是菱形,ADBC且AD=BC,AFEC且AF=EC,四边形AECF是平行四边形,又AEC=90,四边形AECF是矩形.(2)在RtABE中,AE=4,所以,S菱形=84=32.15.(12分)(2014新民市一模)已知:如图,在四边形ABCD中,点G在边BC的延长线上,CE平分BCD,CF平分GCD,EFBC交CD于点O. (1)求证:OE=OF.(2)若点O为CD的中点,求证:四边形DECF是矩形.【解析】(1)CE平分BCD,CF平分GCD,BCE=DCE,DCF=GCF,EFBC,BCE=FEC,EFC=GCF,DCE=FEC,EFC=DCF,OE=OC,OF=OC,OE=OF.(2)点O为CD的中点,OD=OC,又OE=OF,四边形DECF是平行四边形,CE平分BCD,CF平分GCD,DCE=BCD,DCF=DCG,DCE+DCF=90,即ECF=90,四边形DECF是矩形.16.(13分)(2013青岛中考)已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点 (1)求证:ABMD