高中数学选修内容知识点归纳

1、选修之1常用逻辑用语一、命题及其关系1命题(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做 真命题，判断为假的语句叫做 假命题.(2)对于“若p,则q”形式的例题，p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.2.四种命题原命题：若p,则q .逆命题：若q,则p .你否命题：若F，晅3,四种命题的相互关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真暇性§t »两个命题为互逆命题或互否埼题，它们的真假性没有关系.一、充要条件(如果成立时1g 一定成立，即？=中则称是的充分条件3 *(2)如果q成立时，p 一定成立，即q p,则称p是q的必要条件；(3)

2、如果既有p q,又有q p,则p是q的充分必要条件，简称充要条件三、简单的逻辑联结词1 .联结词及记号逻辑联结词记号意义且pA qp且q或pV qp或q非p非p士真值表.?人蛇pVtfV-p 口真一假”真/磔p真，真#假，真中真/趴假/假假.假一真四、全称量词与存在量词L全称量词*(1)短语"所有的二父任意一个"在思辑中通常叫做全称量词并用符号"V*表示,舍 有全称量词的命题，叫做全称命题.注，常见的全称量祠还有一切、父母一个工“任给 f 所有的“等“(2)全称命题“对 M中任意一个x,有p (x)成立"可用符号简记为x M , p(x),读作“对任意x

3、属于M ,有p (x)成立”.2 .存在量词(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“表布.含有存在量词的命题，叫做 特称命题.注：常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等.(2)特称命题“存在 M中的一个x,使p(x)成立"可用符号简记为x M , p(x),读作“存在一个x属于M ,使p (x)成立”.3 .含有一个量词的命题的否定(1)全称命题 p: x M , p(x).否定 p: x M , p(x).(2)特称命题 p: x M , p(x).否定 p: x M , p(x).选修之2圆锥曲线一、椭圆1 .定义平面内与

4、两个定点 Fi, F2的距离的和等于常数 (大于| FiF2| )的点的轨迹叫做 椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距.2 .标准方程22(1)焦点在x轴上：_x2_ _y2_ 1 .a b(2)焦点在i轴上；二十三=1.+(L- 山说明:注意楠圆中辽是“小，47中的最大数，3 ,描房的简单几何性质性断尸焦息在A,年焦点在J乾范围口a Wn=2 W WM_ B Wt WA+-a Wi W*w =7对称性a.关于H轴、F轴成轴对称，山 关于原点成中心喊寸林修顶点Ai(a t 0), Ai(a t 0)*月1(。, 5% %(0 1 %Ji(O ; B)t ,42(0

5、 f 3)+ 41(-a O)> 52(a , 0)+1离心率尹£gw 科 acf =册 a注二线段上叫做桶图的长轴，线展当史叫做椭封的坦轴.离心率-£(0,1)*二、双曲线1 .定义平面内与两个定点 F1, F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨迹 叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距.2 .标准方程22(1)焦点在x轴上："xy y" 1.a b22(2)焦点在y轴上：为1 1.a b说明：注意双曲线中c为a, b, c中的最大数，c2=a2+b2.3.双曲线的简单几何性质性质焦

6、点在x轴焦点在y轴范围x< a 或 x>ay< a 或 y> a对称性关于x轴、y轴成轴对称， 关于原点成中心对称.顶点Ai(a , 0), A2(a , 0)Ai(0， B), A2(0 , b)渐近线b y -x aay bx离心率c e - ac e - a注:武段指山叫做双曲线的实轴.焦点在工轴上的双曲线1设国”，一协£刈的 茂段明民叫做双曲虢的虚轴*离心率A1N必.b-必青*g的新近桀方程先1'1* V丁丁=O»*J0®的为.小的双曲线的方程腔为今./。)”三.抛物线aL定义4平面内与一个定点下和一条不过F的定直维f距离相

7、等的点的等逾叫做擒物法,定点F 叫做抛物线的焦点，直线，叫做抛物线的准线.工标暹方程(1)开口向右：/=即印卡(-)开口向左工=一/AW(3)开口 向上：x2=2py.(4)开口 向下：x2= 2py.3.抛物线的简单几何性质性质开口向左开口向右开口向上开口向卜范围x> 0x<0y>0y<0对称性x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1焦点弓0)2U，0)(0，f(0，)准线方程P x2x卫2y上 2y卫2四、直线与圆锥曲线的位置关系1 .交点(1)将直线与圆锥曲线的方程联立得到方程组，则方程组的解就是交点的坐标

8、(2)消掉一个未知数后可得关于另一个未知数的一元二次方程，设此方程的判别式为,则有相交 方程有两不同解A>Q相切 方程有两相同解A= 0;相离 方程无实数解A< 0.2 .弦长公式设直线我二士与圆锥曲籍交于上0，甲市 叫黑，善)两点，则|一然| =+1，!巧: nJ七 +'注工解题时可结合韦达定理*五、曲线与方程(理科)。L曲线与方程/在直角坐标系中，如果某曲线看作点.的集合蝇合某种条件的点的轨迹)上的点与 一个二元方程几3力耳的实数解建立了如下的关系：，曲牡点的坐标都是这个方程的解m川以这个方程的解为坐标的息都是曲鞋上的点.，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程

9、的侬I。2,求轨迹方程的步骤(1)建立适当的坐标系】用有序实勰对(U)莪求曲绕上任意一点H的坐标：”(2>写出适合条件p的点-V的患合*P = M | p (M);(3)用坐标表示条件 p(M),列出方程f (x , y)=0;(4)化方程f (x , y)=0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上注：化简前后方程的解集一般是相同的，步骤(5)可省略不写.如果有的点其坐标满足求出的方程，但该点不在方程的曲线上，一定要注意排除.步骤(2)有时也可省略.3.求轨迹方程的常用方法1 1)标准方程法：如圆、椭圆、抛物线等都有标准方程，如能知道轨迹是何种曲线则 可套用标准方程

10、.2 2)待定系数法：有时标准方程中的参数不易直接计算求得，则可用待定系数法，即 列方程(组)求之.3 3)代入法：若一个动点 P与一条已知曲线f (x , y)=0上的点Q有联系，则可先找出x (x, y),P (x , y), Q(xi , yi)的坐标之间的关系然后代入f (xi , yi)=0即可求出P的轨迹yi2(x,y),方程 f (j)i(x,y),(j)2(x,y)=0.(4)参数法：靛除动点坐标M , 丁)外，方程中还有(已知的或自设的)其他变量占则可以解出工，关于，的表ii式b=/"),再消去即可也可以不解M1直接从已知方程 廿=式以中消去工,得到的含有K，F的等

11、式就是所求的轨迹方程选修之3推理与证明一、推理4 .合情推理(1)由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.称为归纳推理(简称归纳).(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).类比推理是由特殊到特征的推理 .5 .演绎推理从一般性的原理出发，推出墓个恃殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理.简言之，演经推理是由一殷到特殊的推理. ,三段选提演绎推理的T模式 r大前提已知的一股原理工严小前提一所研究的特殊情况 ¥r结论一根据一殷原理，

12、又寸特殊情况做出的判断,/二，证明"I综合法小利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2 .分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法.3 .反证法假没原命题不成立， 经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.4 .数学归纳法(理科)证明一个与正整数 n有关的例题，可按下面步骤进行：1。(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；2&

13、#176;(归纳递推)假设n= k(k> n0, kC N*)时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤， 就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n都成立.这种证明方 法叫做数学归纳法.选修之4复数1 .复数的概念(1)虚数单位：i2= 1.(2)形如a+bi的数叫复数，其中 a叫复数的实部，b叫复数的虚部.(3)复数a+bi当且仅当b=0为实数，当且仅当 bwo时为虚数，当且仅当 a=0, bwo时 为纯虚数，当且仅当 a=b=0时为0.2 .复数相等的条件a+bi=c+dia=c, 且 b=d .复数一般不能比较大小，当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小3

14、.复数的模及共扼复数设：=1十*力ER)，二的共扼复数记为工，则二=以一施用/笈，货3-广赳工算数的几何都复数g二近对应靠平面上的煮z (%协 对应的向量是叱=(%母.5 .复数的运管十(.1)运算公式川但斗 iij(=b分一-(目斗白i)(仁+肉)=(4£)伊研卜 ，(旧十加产"1"由)=(加一小曲-gc-力力i,1/&.、， z ac*M be- ad,但一射)2加)=一-T +-一产 16C'十# r十个注：以上公式不需死记，可美比备顶式的运翼，兄要将P换为- 1R呵.除法可通过分母 实数化转化为乘法#(2)复数的运算律/数加法、乘法满足实数

15、运算的所有运算律.实数的整数指数哥的运算性质在复数集中仍然成立.注：在复数集中，分数指数哥的运算性质不再成立；中学阶段不研究复数的开方; 一般地，|a|2沟2选修之5统计案例一、回归分析1 .线性回归分析(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.回归分析是对具 有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报.其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：1 T - 1 ，：其中“士丫 £ 1二 士工山称为蟀本点的中心*rati 理白，I '注：回!B直线一定过回归中心工相关指数

16、及“二( ,丫y v -v1、 乙！匕' ！(1)公式；尺：=1一汇(K T广 .-1 '(2)OWE： <1tp(3)分析：产越大=意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R2越接近于1,表示回归的效果越好.如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个 R2,选择R2大的模型作为这组数据的模型.说明：r只能用于线性模型，R2则可用于任一种模型.对线性回归模型来说，R2 r2.二、独立性检验1.基本概念(1)对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的

17、不 同类别，像这类变量称为 分类变量.(2)假设有两个分类变量 X和Y,它们的值域分别为 x1, y1和y1, y2其样本频数列联表称为2X2列联表：yiy2总计xiaba+ bX2cdc+ d总计a+ cb+ da+ b+c+ d(3)构造随机变量22 a b c d ad bcK2,abcdacbd利用K2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为两个分类变量的独立性检笺.上雳检哈，可以加用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且较精确地给出这种判蜥的可 靠程度 具陞做法是：根据现测数据计反出随机变量*的值范其值越大，说明马丁有 关系却成立的可能性越大.当得

18、到的观测旗据上门d都不小于5时，可以通过查阅下 表来确定结论曜与F有关系"的可信程度.2.70 和3.S415.024(5.635*10其肿0.10口吟0.025*0.010O.OOP如：如果k>7.879,就有99.5%的把握认为“ X与Y有关系”选修之6导数及其应用一、变化率与导数1 .变化率式子f (x2)f (x1)叫做函数f (x)从Xi到X2的平均变化率.记Ax =X2 xi, Ay=f(X2) X2 xif (xi),则平均变化率可表示为国M.2 .导数定义函数y= f (x)在x=xo处的瞬时变化率lim y.称为函数y= f (x)在x = xo处的导数，记作

19、 x 0 xf ' x0)或 y' x| = xo, 即f(x0+ x) f (x0)f'(x) lim 0-.x 0x'导薮的几何意义，导数就是函数尸底点的.，(枇)处的切线的斜率,即匕尸的"二，导数的计算“L求导公式一(CT+(2) (A7J)1-=m7i 1(71 WZ)*'(3) 3) (sin x) ' =cos(4) (cos x) ' = sin x(5) 5) (ax) ' axlna(6) (ex)' ex(7) 1(logax) x In a(8) 1(8) (lnx)' x2 .求导

20、法则(1) f(x)=g(x)' f=:' x)=g，xO(2) f(x) g(x)考 x0g(x)+f(x)g'x)(3) f(x)g(x)'咨 x)g(x)-f(x)g, x) g(x) 2(4) Cf(x) ' Cf'x) (C 为常数)3 .复合函数的导数(理科)(1)复合函数：对于两个函数y= f (uDu= g (x),如果通过变量u , y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y= f (u)和u = g (x)的复合函数，记作 y = f (g(x).(2)复合函数求导法则：yxyu“即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数

21、的乘积.三、导数的应用1 .单调性与导数(1)在某个区间(a, b)内，如果f 'x()>0,且f ' x()=0仅在一些孤立点上成立，那么函 数y=f (x)在(a , b)内单调递增；如果f ' x)< 0,且f ' x)=0仅在一些孤立点上成立，那么函数 y=f (x)在(a , b)内单调递减.(2)用导数单调区间：求 f 'x);解不等式f 'x()>0,可得f (x)的单调递增区间, 解不等式f 'x040,可得f(x)的单调递减区间(注意定义域)工极值与室SU 定沁 如果函数尸/3在照 的函毅值/比它在点支

22、附近苴他点的函数 值都小，则点血叫做函驶j=/co的极小值点j /他叫做函数产/g的根小值 如果函数广小 /在点1=力的函数值/3)比它在点# =3附近其他袅的函数值部大，则点a叫做函数J/ (处的极大值点，/则做函数尸/四的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值./注.极值反映了函数在某一点附近的大小借况，刻画的是函数的局部性质.C)定理：如果函数/(2在区间S")上可导夕且在*=电£(口.由)处取得极值,则必有 /，g)=0"注意：上述定理的逆命题不成立.(3)求函数的极值的方法求函数y= f (x)在区间a , b上的最值的步骤如下

23、：解方程f ' x)=0;当f 'x0)=0时，如果在X0附近的左侧f'x)>0,右侧f 'x0V0,那么f(xo)是极大值； 如果在xo附近的左侧f (x)<0 ,右侧f ' x)>0 ,那么f (xo)是极小值.(4)求函数的最值的方法求函数y= f (x)在(a, b)内的极值;将函数y= f (x)的各极值与端点处的函数值f (a), f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.四、定积分(理科)1 .定积分的概念函数f (x)在区间a , b上连续,用分点a=xo<xi<<xi1<xi

24、V <xn=b将区间a , b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1, xi上任取一点&(i=1, 2,，n), 作和式nf( i)当n-8时，上述和式无限接近某个常数,Jf( i), i 1 n这个常数叫做函数f (x)在区间a , b上的定积b分，记作f(x)dx,即aba f (x)dx.n blim 一n i 1昌()19a , b叫做积分区间,函数 f (x)叫做这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间 被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式.2 .积分的性质口(1) J：制必=KJ：/(a )d田由为常数W(-)士烈K)dx= 1：/(大川二J：仪工)

25、g+1(3)，/XH)dH =/(hW* 其中(!<£<&*寿微象分基本也t如果八用是区间口，如上的连续函数，并且尸心二门力那么4CL.Fa曜-FW-F(a)这怪论叫做微积分基本逐，又叫侬牛顿f布尼拄公式.，1.定积分的应用，(1)求曲边梯形的面积由y=f(x), x=a, x=b和x轴围成的曲边梯形的面积为b S f(x)dx. a注：对于稍复杂些的图形的面积，可通过向x轴作垂线，转化为求几个曲边梯形的面积的和或差.(2)求变速直线运动的路程b位移：s v(t)dt ab,路程：s v(t) dt ,其中v(t)表示速率.(3)变力作功 b W a F(x)dx

26、 ,其中F (x)表示变力.选修之7空间向量与立体几何(理科)一、空间向量及其运算空间向量的有关概念及运算与平面向量形式上完全相同，只是由平面拓展到空间.下面仅列举空间向量特有的内容 .(1)平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 (2)向量共面的条件：如果两个向量a, b不共线，那么向量 p与a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 (x , y),使p=xa+yb.空间向量基本定;理：如果三个向堂口，也c不八面事那么小空间任不向量P，存在惟一的有序买薮组y r手使得十 产寸且斗¥&+.：£. 间叫做空间的T基底，小d都叫做基向量.空间任何三个丕共面的向量部 可

27、构成空间的一个基底.(4)设厂(田？生，阳).&=血，瓦：屈，则aa-b=（ai-b * 图+加工 小a-3=事一h9nbi. o-fa）* n固辿。1-史上-03扣，¥在。=口严Mi, a：=/bii。产3覆,GERH1 gJ_=gAi-比加一©以=U, y4Jji-df = j + +aj ?+jcos a, ba baba1b1a2 b2 a3b3. a12a厂 a21b2b2b3二、立体几何中的向量方法1 .用向量解决立体几何问题的一般步骤(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向

28、量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等 问题；(3)把向量的运算结果 翻译”成相应的几何意义.2 .用向量解决的几类立体几何问题(1)证明平行或垂直线线平行：证明直线的方向向量平行.线线垂直：证明直线的方向向量垂直.线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行面面平行：证明两平面的法向量平行.面面垂直：证明两平面的法向量垂直(2)计算距离点到平面的距离：设 V是平面a的法向量，P为a外一点，A为a内任一点，P到平面ce的距离为a则ilv-4八P异面直线的距离：设直线力是与异面直线由5部垂亘的向量，/8分别是a b

29、7; 任意一点,，出为&,。的距离，则#n-i551d =_!川hl线面距离面面距离：相匕为点面距窗*(3)计尊夹角/异面直线的夹角：先求两直线的方向向重的夹:fi国当&为锐角或直角时，异面直线的夹角为乱否则为股口一 8W直线与平面的宠角，先求直线的方闻向重与平面的法向量的夹角仇若d为锐角或直第时，直线与平面的夹角为9。口一乱当8为触角时夹角为 9匹二面角：求两平面法向量的平角0,二面角的大小可能是以也可能是180°也可结合图形或其他条件确定.选修之8排列组合与二项式定理(理科)一、计数原理1 .加法原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2

30、类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N= m+ n种不同的方法.2 .乘法原理完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事关有*、一丹，斤+J种不同的方法.4注工以上两个原理可以推厂到多美感;多步的情形.两个原理的区别.一个是分类， 一个是分步.分类时，号类中的方法都能完成指定事件，分步时，号一步的方法都不能方成 指定事件，只有母一蝌院成了才能完成指定事件事二、排列与组合一L捧列，(1)从寸上不同元素中取出即加支叫个元素，按照一定的顺序排成一列，口U敞从卦土 不同元素中取出»1个元素的一个拄列.4<号从4企开同元素中取出

31、研期.磷.仕元素的所有不同挥列的小数口 U做以n个不同元 素中取出叫个元素的择列敷,用符号.灯表示.，(3)排列数的计算Amn n 2 L n m 1n!n mAm n! 1 2 3L n .0!= 12.组合(1)从n个不同元素中取出 个元素的一个组合.(2)从n个不同元素中取出m(m <n)个元素合成一组，叫做从 n个不同元素中取出 mm(m<n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号cnm表示.(3)组合数的计算CmnA n n 1 n 2 L n m 1n!m!m! n m !(4)组合数的性质 cnmcn1mc注：排列与的区别：排列有顺

32、序，组合无顺序.一种简便的判定方法是， 任取一种情况, 交换其中两个元素，如果变成了另一种情况， 则是排列，如果仍是同一种情况或变成了一种 不可能的情况，则是组合.三、二项式定理#L二项式定理j产t=c；y +屐小八_中 "工二项展开式的通项T=Cb /支二哽武恭敬的性质J(1)却称性.与首末两端1,等距离时的两个二项式系数相等.“(2)增城性与最大值.二项式系数在前半总分是逐渐嗜大的，在后半部分是逐渐诚小 的.且在中间取得最大值，当口是偶数时，中间的一项取得最大值；当仃是奇数时，中间的 两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和.c°cnLC：Cm2n

33、.注：二项式系数指的是C0, C：, L , Cn,而某一项的系数包含其他常数，要注意者的区别.选修之9随机变量及其分布(理科)一、离散型随机变量及其分布1 .基本概念(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(2)所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2 .分布列(1)若离散型随机变量 X可能取的不同值为X1 , X2,，Xi,，Xn ,X取每一个值Xi (i=1, 2,，n)的概率P (X=Xi)=pi,以表格的形式表示如下:A；1V1+3Xl /我小1P* Q上表称为离散型随机变量牙的粒率分布列.葡称为X的分布列”有时为了表达筒单，也用等式L1. 2,，打安不耳的分布列.J二、二项分布L条件慨彩(I)定