初中数学不等式问题(含答案)

1、2.求证：b* - be+？ e* 一e媪十a*一十设最尻口为正实数,卜六个优美的不等式问题1.设原尻二为正实数，且“岂上之二，求证:ad&、qy + + -ya 口 -1二a -ab-b2 b2 -c+rJ c2 -caa+r 僮 + a2 4a+ab+I5.设三/为正实数，且满足了 +"+"=1 ,求证:x y z y + -bs-走 + * y + 左 z+xy 4冗+产 y +百 工+分 43.若里瓦巨立求证：后J亡二一亡建十口'Ji, 一口B+4.若"户"巨衣+ ,求证:6.设兀尸衣为正实数，且满足工+y+z =1 ,证明:7.

2、设兀厂"为正实数，且满足证明:出T卜+J耐毒+泠12.设兀为正实数，且满足 距=1,求证：k y m x+y+w2 4.8 .已知兀y为正实数，且2工湾及，证明或否定：q9 .已知二小箝为正实数，且n为正整数，证明或否定：标十仔 7）加十（3f）s +（、（3*7）丸r-2 2 r+ 2 出？三设白金/为正实数，且+我+二=1,求证：-以+西 > 4+i+df +3 I a i10 .设"方三（°，求证：1"1一”1一加1-次11 +成11 .设2/为正实数,则有不等式->+W+2中9卜十）13.14.若地+田则（7）.心。一号卷石,地15.

3、设”为正数，n为正整数，求证:1 +(/1+1”1+I十/ ,仁+金16.若凡"，二巨邑，求证：8 r ,17.已知见久1-为正实数，且厘+c = 3 ,求证：h +1已+a + b 218.设孔丁乎为正实数，且满足/+"工=1 ,求证:20.设正实数兀乂二满足关系工+匕9+*+» ,求证:l + x+y l+y+z 1-hz + x21.若巴瓦亡wR ，片32求证:ABC、 t an 13xi tsni 三 2 22219.若“/'。为正数，* +上+亡=3,求证:22.在人中，求证:1 I IT +=z- +ABC cos- cos cos 一 I 2

4、22 J¥1 sin dim £ + Vl sin 5 sin C +/l sin C7sin 4 > i/2.23.在k45c中，求证：工2, T 41 +3 +亡 >-y=25.设月me的三边长为西瓦匚，面积为& ,则有不等式J324.设小的三边分别为a、b、c满足abc=i,求证:一 、+ ? * 1 +1rl ：之下（口 +5+匚）,向® +.耳 耶& +口-8） 水口 +8 匚）26.设人43c的三边长为 公仄白，外接圆和内接圆的半径分别为 民/，求证:e + 必一£a - c二十六个优美不等式问题解答解答人：郑州外

5、国语学校的杨春波以及广州第二中学的程汉波L 设。力工E五一，Ra>b>c,求证 /产F?yJadc + 十 一一 一cT 口b+&ca +在证明本题之前.先看著名的N«biti不等式设a,b,cR' . t iE,二十也十之N.磔盛众多，可直接化筒证明，也可利用防值不等工J Gniulw b+灯 e -白(i + b 2不等式、排序不等式、Jensea不等式等迸彳二正明.下面仅介第一种别致的证法.证明：原不等式等价于"一C-上" 匚一"一 一口0之0,无妨设g之则 b十匚。十口叮十&有一N-Ln一.不面依据分子的正负避

6、汗遂顶放埔，bc e + 41 口 4b2a-b-c 2b-c -u 2c ct-b( i。十 u c + a(i + bla-bc 2b-ca 1c-a-b>十' +e+a "白。+6ft + b - 2c 2c - a-bc+a a+b-0得证.该证法对原不等式进行变形之后，巧妙地发现左端三个分式的分子之和为0.然后 就老紧抓住这一樽征.给字传定序，茯分母排队.透期放.墙.最终在潺原式一其实该泣法的 志想很朴素,我们完全可以写得更加生波、自然一些.还是这种方怯，下面换一种书写形式由于氏c的对称性，不场愤口之匕之匚.于是原不等式等价于*2u-b-c 2b-c-a 2c

7、 -u-b12 0# b+c c-t-a a-b观察左端的三个分式；2a-b-e>Q, 2c-a-b<0, X-e-口的正负性不定，但还有 一个重要特征是它们的和为。，十是考虑将迎二T移到右边，井振项宿.£ + "2a-b -c 2c- a-b 2a-b-c 2c- a b *->+= i?+ctjH-bc+cic- aq 空fs 2(i-bcZu- b c2c a b2cdbB不】.这祥就;清楚了，取1> 和一-> .于是8成红，原b-i-e e + a 口 心力 c+a不等式获证.该证法对原不等式变形后，经过简单的比较即得证，而不需要任何复

8、杂的计算和特殊的 技巧.相对干其他证法而言.起点更低.量程更初等简捷.这样的思路对第一个优美不等式是否同样适用呢？不妨一试.，证明1:考虑到原不等式的结构特征，变形得ca(c-ac2 -ca-aaba-b bc(b-c)ab3 +c3c3 +a'a3 + d3 -ab + b2 b2 - be +c2注意到前两项为正,第三项为员.且(一b)+(b-e) .(0-)= O.千是等价于，ab(a-b) bc(b-c) ca(a- b) ca(b-c)a2 -abb2 tr - be c2 c2 -ca a2 c2-cacfL .-a abcabeca因为“2>2 c >0.谷易

9、验证r>-r . -r>+ c - ca 十 a' b 一 be + c c“-ca + a'放有至A、与丝2,汉空竺式成立，证毕，(T - ab +力 c'-ca + a' b - bd c" -ca¥a注：由于第一个优美k等式关二a。,c是抡换对称的，敬,曼芯中的qnnc不可缺.2. 设 aAcwR", 求证： r+ r + - > a + b + c . /b，- be 十。c* - ca +ca' a' - ab 十 b该不等式与1相比，仅仅是分母作了轮换，其他完全一致，但这一小小的变动就导

10、致了两者木质的区别，为什么在2中没有2c的前提了？因为2关于a,c是对称的，我们可以不妨设！基于1的证明，可以尝试做同样的变形，但问题出现了：右端的a,6,c该如何对称地分配给左端三式呢，似乎都不能这到预期的效聚W!实则不然.“国明2：考虑到访加公式/+/=(匕+。)(_加+/),类似的还有另外两个.于是原不等式可化筒为a'(b+c) b1 (c + a) /(a+b)-4 J + J + -4 J 2 + b 93+c c十。 (r十匕将右端的ab.c分配给左端的三项，整理得.20abar -d2)+ca(a2 -c2) bc(b2 -c2 abbz 一a2) ca(cz -a2bc

11、(c2 -b2w 牌-方|十间1）力-，上从幅3层7-力卜。注意到3c>0,附上式成立，证毕.一注：对分母维族途行能浜，则可得到新的式等式：a,b.ceR a>b>c,求证：-：+ -；r + -;T < + 力 + 请续者 自 证. 。c'-ca+a， T -ab+b， b，-be +c为了巩固上述证题思蹈，再举一例：（W-Janous精想）已知x.;zw2T,则二 2。一Z+X证明：要证不等式是关于r乂z的轮横有称不等式，故可设xNz, y>z,下面分两 种情况进行讨论： Cj，Nz. 3 + =3 -X + ）J + Z z + xy + Z K+J

12、Z + X，），匚三+匚匚2匕二十二！©.舄知二12工1七且三匚之口：，y + z y + z x + y z 十工y+z x + yyz z +x故G）式成立，/ 储 r2 / v2 r2222222/ 、 z yx z y - a 、 a .x - z y x _ y z（2）v>x>z. - + -200+ ->-=-x + yy + zz + xy + zz + xx + y匚二十匚二二2匚二+匚士.易知二二2 三二且匕二2二二二， y±zz 十 xx ± yx± yy±z x± y z-t-xx±

13、 y故式成立.猜想得证. .回期上面的证明过程，艇一一移项一一蒸顼一一前应项比较.如此连贯、巧妙的证 明过程，一气可成，不禁让人标到豁然开朗.当面前下面的分式不等式，读者们也不妨试试 种新思路."YI，23 己知.y.ZE/T, 求证： :H< - 5，2x + y + z x + 2j + z x + y+ 2z 4 设a瓦。都是正数，求证，。a+b 力+c c+2 设a.瓦c为三角形的三边.求证 -十-十 23; / b + c-a c + a-b a + b-c 设a.Ac为三隹形的三边，求证： 十十> a-rb-t-c »，bc-a c+a-b a+b-

14、cl 土 口 ,、+、/ b2 c2、f 设a2.cwR且。十匕+c = 3,不江：+>§ -力+C C+4 4+匕2 设.飞工匕均为正数，求证：二KJ xM .1 Jo；. X + x2x2 + x3x3 + x1BE 设.匕.ceR-, R 0 < Z < min,求证：l bcabc 3+A9 7b+c- c + o 功 ab-Ac 2-A 设a.b.c.wR-, ELO< < niin/ + c _g/十,求证： N a b c Jab。、3+2. / /z（b + c）-/kj /z（c 十 &）一劝 （。+2?）-2c 2/z-/当然

15、2也可用柯西不等式证明，简述如下，由柯达不等式有，求证,2 a + bc证明，不等式的左端很容易让人想到分式型柯西不等式，于是放缩有 a2b2c2yjb: -bc+c2-ca + a1 Jo2-ob + b。（a+0+c/yjb: -bcc2 c2-cacr >Ja: -abb2 欲逅原不等式成立,可将任务转化为证.Jb，- be + c，丁 JJ - ca+*-ab + Ma + b + c>但啧同的是上式是不成立的.如当r->0时,左端趋向于。+巳+二-ab a b，>a4b.而右造虺向于。+5.0父句实在诘，这个不等式不好证.不得已由权方和不等式有一H,b2c2

16、c2a2 卜曲c(a+匕+c)所以只需证明“,2 (/ + 比? +c：a1一曲c("b + c)即为，(/ 2 2(a2b2 + b2c: +c5)-aZ?c("6 + c)(Za)，展开化简即.y 苏（片-（4:-屋） + 2'/（八办 s心c£4（a-b）（a-c）*0" 由Schur不等M知其成立,原不等式卷证.第4个优美不等式问题：设 a,b. c w * ,求证：.a =+,= + , C = 2 yjb2 .bc + r， Jc2 AC4 + d a2 + ab+b，证明：由柯西不等式知,aJb： +bo + c：护 +bc + c

17、> 2(“ + b + c) 9 则.2(a+"c2 >技 +bc + c?又因为，工ajb' + bc + c? = V&Jab2+be+c?) <Ja-t-b-cab2 -t-bc-t-c2).=y/a+b+cja+b + c)(abbc + ca) =(a b + c)«ab+bc+ca)于是，、>吁1=胆产三)、6 ,Jb2 + bc + c， la + b + c)(ab + bc+ca) 、ab+bc + caX v 295. 发x.v,zwR, 且x+y+z = l,求证： 一:十一:十<-. “xyz y + z

18、x zxy 4证明5.本鬟一定要利用题设x + y + z = l青货就不等式做些恰当的变形,于是，x y zHFxyz yzx zxyxyzs，+匕I +，k (> + )' + z). jz y(x + y + z)+zx z (x + y + z)+xy(x + y)(x + z) (x + j)(j + z) (x + z)(y + z).r(y+z) + >(A+z)+z(A+j)(x +y)(y + z)(.x + z) 2(q，+jz-zr)xyyzzx-xyz转化为吼_巴L w 2 ,等价于.g，+ yz + zlv> 9xyz , BP + + -&

19、gt; 9 ,再次利 xy + y2zxxy2 4"x y z用条件x+y+z = l并结合分式型柯西不等式知上式成立.证毕.一星老尝试着用同样的强旌6、7,但是都失败了.从形式上看.5、6、7似乎应该有统 一的渊源和证法，答案娼肯定白，当然这个灵感应归功于x十y十z 二 l.下面书三角代操的 方法连破这三题.“4 b b c C证明 567 ：在 43。中有重要恒等式：tantan + tan tan + tantan4=1.考虑三匈代换，xtan tan . v = tan tan 22,22C4A（2）3 fxv C tan= J , tan =.由三角函数的相关知识容易等律s

20、in=户,2 yx +yzZXcos，= E，2 Ijx - yzC sin =24 E，coS£=.2V)'+2X 2 丫2 十.X.K(3)2jxyz sm A = 2Jxv-z. 2Jxvzsin B = v , sinC=7"，一y+zxz +xyx-yz cos A = -x + yzcosB =-y + zx八 一Q，,cosC =- “z + xy. z= tantan：解之得tan二 222于是第5、6、7题的三个不等式分别等价于，(5)CO+COS&2；222 416)sinJ + sinB+sinC ：，2（7）cos 十 cos 十 c

21、os >其中9 （5）式等价于cos力，cosBacosCW 2 ,该式与（6）式在130中是常见的三角2不等式,其证明很多，兹不螯述.不过（7）式的证明要动些脑筋,下面提供两和思路：/（i ）由 0<4尸得0<，<巳,则卫<cosd（l, l<2cos? < 2 ,则442442sin: I 2cos2 -11>0 1即sin，±>2siii二4 .干是.414 yl24A B C f . 2 43 ?B .2 CA ( j A j B j Ccos+ CCScos = 3-2 sin + sin + sin >3 sm

22、+sm + sin 222(444 J I. 222 J=+ - l + 4sin sia -sin >22 21222 )于在锐角A48。中有sin J sin 5 + sin C > 2 ,注意到恒等式，性指的是/（，）=京/（X）/（2）之3/G+J+Z< -3-=3行才对.这是察易看出的：好工族小时，十将会彳丈大,所以也会很大，怎么会有聂大使3百？矛盾.psin2 -4 + sin2 -5 +sin2 C = 2 + 2cos-4 cos5cosC所以，sin zl + sin .5 + sin C > sin2 + sin2 5 + sin2 C = 2 +

23、2 cos /I cos BcosC > 2,证毕e注：该证法委或息几个优美不等式的渊源及证明（卫增山，中学数学，2012年第5朝），雷要指出的是该文中有一个错误.文中给出了 6的代数证明，原文是这样说的：利用f11函数的GU，泾及Jensen不等式得十 +3父一=30.易见此处的凸U4 Jzlx + y + z在（0J）上的凸凹性，易断/（，）在（0,1）上是凸函数，所以此处应喷是三篇号中的内切匮代换是不等式证明中十分常用且有效的一种代换.第5. 6.1个优美 不等式都是关于正依xj，,z的不等式，不妨反用内切到,七换.他或许可将再绪化为三角电中的三角不等式，轻易证出.F面先给出内切国

24、代换的一些至本结论，这在不等式而明中是极贪有用的,在A45c申，设a = y+z . b = z十工，c = x + y ,其内切圆半径为r,外接图半径为A ,面积为S ,则半周长=4+ b-c=汇+ J+，9于是，r=g=p y X + J + Z于是“C j z(x+y + z) cos = -y ； /2 |(z + x)(z + j)，也会吗二得窑口当然也可由,公式S jcsinH直接得I S =4P(P-a)(p-b)(p-。) = jM-J+z). . (十b+c) 又由S = _1abc .由 S = ab sin C.=知“24R4s4J(x + y+ z)sinS-2sin

25、cos - 2jwz(：y+j),当然也可由面积公式S =casinB直接外22(y+r)(j + z)2sinC = 2sin-coS-= 2'，Ur<V V ,当然也可由面积公式S =L劭sillC直接得；*22(e)(z + >>)22 A x(x+y + z)-yz cosA = 2 cos21 = -2 (x + y)(x + 3)8s8 = 28.尸丁)二2(v + x)(y + z),222,当然也可用余变定定CQSd =' 厂'得 2bc,当然也可用用变定理cos与=c十优一”得8sC = 2cos2Jd(" J：)?2(z

26、+ x)(z+y),当然也可用余莅定弹cos。=L得 2ab于 是 tan4 =sin/ _ 2j°z(x + y-z)cosd x(x+v + z)-VT2Jxyz(xy + z) tanB = 7y(x + y+z)-zx2cag地空士生“z(x4产 z)-xy有了这些基本结论后，我犷再一起看5、6、7,它们有毋同的条件x+丁十,=1.这可简化上而的诸多公式，对比之后亦可得出5、6、7分别等价干，,、2 27 .C 9(5) cos*+ cos* +cos* <- 222 4(6) sin J + sin B +- sinC <?2ABC(7)cos+ cos + c

27、os >2 ,这在前面己证 d2228.谀工.$£夫., 22且 WN',证明或否定：n证明8：根据待江丕等式的形式，或许这样的思路会比较自然.对原不等式稍稍变形即.记1=工0,则需证J-1 二11 ,顺利转化为单芟量的最道问题了,X认1-1)T )(丁一1一 下面我们积究函数；）；）厂】，总么研究呢？这该 是考验一个人现察力的时候了.“对任意的直0,1）,总有一个6嚏（1,+8）使得/&） = /（/），这是显然的，但这 对我们考察函数（。的取值情兄有莫大的帮助，下面我仰聚焦区间（0,1）上的/（，）, 由上面分析，我们计算/（i） = i,到这里间超更清晰了

28、，.理想避明教在区间（oj）上是单调递增的，面时这么复杂的函数，我们不妨尽导数工具.舄求“/0 =（2”-l + t户-二（2”-1 + 厂户（2“一'/）"一（211-产、7 n r 、记2*-1二加之3,至漩/（:）0对任意的痘成立.（2K -i+r1 r-ei.2（2”-1 -。v o（m + r-1） kt2（2"-l + I）r O（“工】厂"'产（阴+ 2）3 0（吁旷心户（阴十尸尸，用二项式定理将其展E开，维版等价于N产二”不"尸ofcjp产1（/, A-04-0*-C左端的符号显然取决于/ 一户t ,然而当k=+1时p 一

29、无£ o,当女一 0,”时都有/-K之0,那么是不是左端的式子就丕是北负，我们的想法就失败了呢？事实井不是这 样.我们将k=0和£=+1国情况放在一起考虑：因（1-k）-（尸-广）=。十广+修 （1-产）20,故£c/（t）0,得证.“ k*0上面的思路自然流啊，但我们却在证了"）20上花费了大量的篇幅与技巧，几欲失败，甚至放弃，却被我们修叵路转，终尝胜利.其实，若能把握全品，从整体上考虑的话，可能 证明会简单一些日聂平均丕菱璇区见殛地证W2THy 只需证1（2"-1）尸五 一12"-_+-_Li.对上式进行去分母移项化简整理, 02

30、卜(一小十工)十./。2力-1 2”一1 十土过程如下，r（2K -l）x + v） <（2R- 1卜十 >）（2"-1）j + x> 十2”一1十1十丫2” 1十三iyx) I<2n-1f2_2+£+yf2w-i Iy x) / O2212Fi £+Z < 22k -2 - y x)x y一 J N 2 , y x由均值不等式，显然成立，故原不等式得证. .9.攻且，W.V",证明或否定：/d- (3"-l> y2 4-(3n-l)zxIE明9：由权方和不等式得.，一8一(31)司N + 3-1)时所以只需

31、证明.(333十】xZ + ji+G 21；+13.4上式左边展开后共有3丁：顶，去掉以3后，还xA y）图-闻“y x）W+（3”-l）v（a 2. 3 y 4L1+Z+1J ”/ + ./ + z，+3（3 Jl）qz/，+3（3”-l辰“剩下3（3”-1）项，这些项的札月均值不等式放缩知其不小于3(3。1闪2.所以上式成立.原木等式律证.一b ab10.设a,be(0,1),求证-a + b .a - b、2 +r 之+() 1-a* 1-3 1-ab 1-ab 1 + ab证明，看到题目的结构形式,你是否想到了的角和一手J正门公工;了呢？基于 Y凝, 我们可得到如下证法. 设a=tau

32、a,。=tan/7,其中a,"£ 0,?,则原不等式即tana tan尸 tana+tan£ tana+tan tana-tan/31-tan: a 1-tail2/7 1 - tan«tany 1-tanotan 队 1-【an a tan £ 亦即.tan 2a + tan 2尸 2 2 tan (a + 尸)1 + tan ? (a - 夕)拆写：2a = (。+ 4)+ (。一/)，2。= (a+£)-(。一万)，于是有N2tan(a+A)l + tan“a-2)tan(a + P) + tan(a- tan(a一夕)- ta

33、u(a-P) l-tan(a + Z?)tan(a-) l + tan(a+£)tan(a-Q) 为便于书写与运算，将记所=【an(a-4)>0 , = tan(a-£), |n| < 1,即，"""+" 2 2M(1 +，Or22i(l + 2)o> 10 < m2n2 < 11 一阳 l + mn'1 - nfrr1一广z 202 a、2左端显然，右端即tanTa + ZJjtanTa-/Jj clu>"£产<1,亦即(tair a-tan2 许 < (I

34、-tan2 a tan2/?)" «*(tan4(z-l)(tan4/7-l)> 0c|a4 -1)(Z?4 -f| >0由w (0,D知该式成立，终于证毕.，=角代本确实有依,顺利解决了该趣,但中间过程显得过于繁琐.如果注意到证明的最 后一步(/一1)(/一1)>0,你该感叹：原来待证不等式就是(,-1)(公-1)>0的等价变 形啊！那么直接进行代数运算会不会比三角换元未得更直趋，更简洁咋，值得一试./原不箓式变形得«：一'，：可1：)2"2八+(W二继城等价于.(l-a2)(l-&2) i-ab ll + ab

35、j J(a 十 b)(l-ab) (a+7777 2 ：。(l-ax )(1-)(1_)(1+时)即上。、-2 "±"心- .化为蛰式，/(1一，)(1一切 (1-而)(1+帅)，(1 + g2?)'(1 ab >(14-a2)(l-»-Z?; )(1 o2 )(1-方).即(1一2/2(1-叫(1”) (a2-)：>0,显然成立.至此发现原不等式并不是很难，于是开始反思起先的正切代换有无必要，面对草上三三 角公式形式类似的代数不等式.我们还是应先试试“最笨的方法“，而不要急着进行代换， 以免舍近求远.因为三角运算的本质仍是代数运算.

36、“16. fljb.ce R",求证:11 .及x,y,zwR" 求证：(/ + 2j)(y： + 2z)(/+2x)29个z(x + y + z). 因证笫11再用到第16的结论,玄武立.16./ ST (>/唐以只肯证明*由河西不等式得2石=£刀之与丁(Zfl即为“(以，+ + /)3 N 3(Mb+b；c-c"a1”由柯西不等式知一3（ab十 b"c+c2a' < 3a2 +b2 4-c,2j（a2Z?2 + b'c2 + c?a1 4 （o2 + b二十c2）,' 碍证.引理：弋ahcs R）有（42

37、.2）（ + 2）（/ + 2）23（4+6+。）.“证明：由（a： - 11伍；一1（/一1；AO 知（/一1）（/一1）, （b2-l）（c3-l）, （c： 一 1）（苏一 1）三老中至少有一个非负，无笏设（一1乂/一1）30 , azb2 >2+62-1, 于是（a? +2）（户 +2）（6： +2）=+202 + 262 + 4）（/ 2）2 3® +b? + 1）（1 + 1+/）2 & 3（a+b + c）2 ,得江,，证11：二而利用该引理和瓮JL忆第IL c泉不等式等价于Z 2+ 2 ）日引理知一+ 2 > 9（x +r + z）于是需证>

38、 9（x + y-zj<=>冰喉+万小（»”小在第164令。=&, b =后“ c = J?,即得上式分立¥.-12 .设My,zw及，且qz = l求证，+-+3»后x y z x+y+z证明，易知当X = l时原不等式取等号.前半部分+x y z33半部分_ « -2 = 1 ,两部分相加显然得不出24的结论 接着考虑利用RN = 1对 x + y + z 3/xyz11133食证不等式进行变形，士 +2十±十一-=xi+"+ZX+ 利用不等式x y z x+y+z "x+y+z(xy yzzxY &

39、gt; 3xyz(x- y + z) = 3(k + y+z)有.1113、9 4 + - +N W J2 + ZX +f JX y z x + j + z” (xyyzzxYa12记，= q，+ >z+zr33 , /(f) =/+ -y , £g3：-oc),贝ij / (i) = l一7> 0 ,故/(r)在3.十k)上时增函数.有最小值/(3)= 4,证毕. ,夏虎邂过程,发现了“)2/(3)= ：>0,感资并入是那么的“巧妙”.并不是那么 的“恰到好处”，那我们能不能编拟一道“恰好”的超目呢？.，在原超设条件下，考察因数g(Ky.z)=2+史+ '

40、+-,俄eg”.同样的 x y z /+丁+2可以知道g«KZ)2M，?,当且仅当x = y = z = l时震等号.记；7(。=刑则力«) = m1,令力«)>0得皿；令力o得r < J,分两种情况讨怆：(1)当耳竺3,即2)9优时，有当吵时，/1 (/)<0;当吧时.h (t)>0,则MO在上单谓递减,二单调递甯.干是当，=时，"（r）有最小值川；*上加mni书H十XV2- >但考虑到两次等号不可同时取得.于是fTT（2）当；<3 ,即2M9,力酎，有"（r）> 0对任意口" 2 3恒成立

41、,则（。在3产8） v w上单调运增，有最小值力（3）=3"，十2,于是有二十里十5十一-一33加十已，当且仅 3x y 2 x+y+z 3当力=y=Z = l时取等号., 综合上面两种情况有F面在2” （ 9）用信迟E!艮萤翦小糜;金加=2 . ” = 9 ,则可得到？ X/rj'ZGR-目2 2 297=1. W-+- + - + -29.该结论同理可证.类似却正可得到很多新颗.但 x y z 工+p+z似乎我们忽略了一个间队 新命题与原命题的关系如何？是加拜了.还是诚弱了？当然,我 们更希望发生前者. 原不等式即3+，一1+一- 21,新不等式即L三三+三- >1

42、, 4（义 y 2 r+ y+zy91十 y z x + y+ z/我们通皇有41x y成立，它等价干1119- + -+->，这由分式型柯西不等式是显然的.x y z x+y+z下面在249用的情况下，讨论何时可以得到加强命题.X- v + z新不等式即？ + ' +四 21.令“ 9m + n x1r11133(加加力 )1+ + + > +b + /y z x + y+z)+ y z x+j + z9( - 3j)-23/+y+z要使上式成立，需有-3加>0, >3川，于是在6优< 2”二9加的情兄卜编拟土的新题均 为原命题的加强，是有意义的.“但仍

43、不能那在2>9加的情况下，(x,y,z) = + + +-是不是就发有最小值了 x y z x + ”z呢？上面的论述只是给出了此种啃况下g(.x).z)的一个下界m排除其有最小值的可能,如L + L , JL+25.显见x=y = z = l时型等号.但上 x y z x+y+z述证法显然已失效，清读者试证.“最后再程俱另外;zM就麴鹿籁.由均倩不等式得(xv-r vz-t-zx)" > 3xyyz + yzzx + zxxy) = 3xyz(.r + v + z) = 3(工十y 十乙).xy yz + zx> 3x2y2z2 -3 <1 所以，11133

44、一十一十一十=XV + VZ + ZX +drv + vz + zx十3X V Z X+V + 2X + V + ZXV + VZ + ZX XV + 12 + zx +33Y 9(x+j'+z)>42 2 29同样地可证加强命即 一十一十一十>9. x y z x+y+z+? = 2(rv+ V2 +zx)+- .Jx y z x + y+zx + y + z= + yz + zx) + (xyyz + zr) +x+v + z2”9(xy+yz + zx) - y x+v+z>9容易检睑,上面证明的等号均可以,取得.一 13.设 a.b.c w R-,且，a

45、9;+ b' + c = 1,求证】ab2ac ，3证明；看到该问题，一艘会有两，3. 一是从条件入手,一是干.从条件入手，容易由 夜二"一c = l于空均形式软想至三角:抖，设。=cos%sin/5 ,则，b=cos'a8s 尸，c = sin2 a.其中。,尸0,£ab-lac 二 cos2 asin/0(cos: a cos 夕+2sin?a)>、cos j0)cos2 a( cos; acos£ + 2sin： a l-bin(2 cos2 a - cos? a cos /?)(cos2 acos 2+ 2sin，a)sin/?- 2

46、 -cos/?2cos: a - cos2 a8s£+cos%cosA+2slm_ sin P 2-cos 万 3当且仅当a - arctan乎，时取等号.证毕.一配读(2-cos/?)堪为上述证法中最精彩的一生，这是面对二元最值回卷时绝处逢生的 智慧，常人不易想到.为此，老者再提供一种代换思路一一柱代换，而上面的代换则不妨称 其为球代换吧！题设条件即/-=( c)2,考虑栏交换：l c = r, a =，C5，d = rsiu,其中 rc(O/)，8c(0,g .于是.，ablac = r就熟了吧！有很多种方法可求8SJ有最大值且.41 - sin 63我们再从结论入手，ab +

47、2ac = a(b + 2c)£(" + ：°)发现分子段(d b? j +2c =- 4应c)与条件、/'+5? +。= 1就差那么一点点,其是可惜.怎么挽蚊呢？且看参数七如何“妙手回春” sincos 9+ 2r(1 -r)cos0- cos0(sin -2)r2 + 2rcos ,这是个二元 函数，将其整理成这样的形式即是先要把它看作歹的二次朗教，记./(r) = cos，(sin 夕一2)产+2/COS9 , r c(0.1) > 它开口向下，对称轴是/=1在区间(0.1)申，故f (力有最大值/'2-sin8cos 62 sin 8

48、做到这里，想必大家就驾轻32. =改-2小丝普+1)(苏 +b + 2c，为了能与题2 份+力+2。J=正"T设条件一致,令y/左-+1 = 2.2=(舍去k = -G.即有b + 2“c 4 配以参数太以不变应万变.此乃解题之至高境界.一本题还可用函数的思想来证.ab-lac= JJa(b + 2c)S 1=(Jt?十/十c) 展开即而十2/3比4/十/十1十2c，？将其整理为c的一元二次不等式，即C，+2(7-JJaJc+o2JJ而20 ,只需验证ASO即可，而,由柯 = 4(也十4： -、5a) 4(a+0 73cib) = 4邪a|用a +d-Zx/a2)再不等式知2加+万

49、= '(3+I),2+/) 忑°十b ,故()，江毕.14.设a,6,c为非负实数，且a + b+c-l,求证：(l-a: I 1-Z;:) -(1-c2 2 7证明，观察发现，待说不等式左处关于aAc对称,而且是变量分离的，但其统一彩式(1-)却有些饕而生畏.由干题设所给的是线构约束条件,于是我包楣把此曲线弄”放缩为直畿形式“px + g”，不妨利用“构给切线法该法能以且与做，化曲为宜.将其他类型住由数时缩为熟知的线性的数，结解题带来莫大的方便.设/(x)-(1一工2'广，x wo,l , RJ f (x)4x(l-x2)< 0 , f y » 易求

50、i42/(x)在.一处的切线方程为g(.x) = -(x-1).下面证明一«0,1都有 327/(4) 4 g(x) f(x) V g(x) O (1 V -言卜一 1) Q(八1)(3：-9(,-1) = 0 ,显然成立.于是“(l-a2)2+(l-b*)2 + (l-c2)x = /()+/()-i-/(c)<-p-'(4-b+e)-3 = .其实，从图像上来者/(x)«g(x)或许会更为直观：由/'(工)=-41(1一/)$0知在0上单调递减再求/(工)=4(3-1),当0<.x<巫时，/(x)<0, f(x)3上为回函数，当且

51、<x<l时，/(x)>0, /(外在3叵,1上为凸函数.于X 是便得下图：£对于TO一也-1 .3/（。在'士.l上为凸函数，且/ 3f (1)= g (1)，也都有/(.v) 4 g 综上便知7.丫«0都有了卜）4 8卜）.“既然提及了函数的凸凹性，就自然联想至I了 Jensen不等式，于是立得新证法不妨设 a<b<c ,下面分两种情形迸行讨论：（1）当44bge4立时，由Jensen不等式有，3(2)时，a<b < »由Jensen不等式有 323/+/(。) 4 2m 2d9I216所以.只需证明27“璘(3

52、c-1)2(27c2+6c-53)<0,4竺，化而得27由于OvcWl,故27c，+6c-53 vO ,该式成立.原不等式存证.一15. a.beR , ncN , 求证* af|+ 匕;，4a + bKa;十b;/ Vie Nl+b”1+/Vl+aR式左能开刀，剥去它唬人的“外衣；显露其本质.,E后-上耳,总一不妨设。匕，则继续等价于4=3 J=, 工S- 班+，小+ 6” 1 +。1 右鸿叶-行中（后 力 上三三上i b ,二.,叫1 + 叫46”（1田血丁 小+ / 1 + b” 1 + a"'）以叵/咐''7）可拒了-/m一 g ,an<.

53、b显然成团/ +夕）,显然成立.证毕.“广）川雄”一如一叫证明,该不等式者似“吓人”，实则容易,不要被它虚假的“ T表”所迷惑.先拿不等（Vi+ J （丫1+” ）小事 b”,a .<-= >. ”（1 + 1三力”（1+力”）小讨如+ a” 1+匕1十。）其实还可以换一个清断明了的书写方式：设。力，并记X： 则X21N J,且g二1 .原不等式即m +与4c + b« + bx . ca + < a±b , （x-l）（av-）< 0 ,只需证 g-D40,即 a; 立«右端即a+bS + bx « （x 1）（次。）20 显然

54、成立. 参阅：d股长在.第十个优美不等式的另一证明UL中学教研（数学）, 袁合才，程安.三个优美不各式猜想的证明1JL数学教学通讯狙，,显然成立.证毕."十优一诂十a" ' 71十.， 是不是明白多了？左端即 ）匕£ V人an<b成 心+优2011, 5. （教师版），2011. 27. “第16个优美不等式间超：设ab.ce一,求证： + + - N J3（a，3 +c） b c a Ncr b+ +b c证明，it柯西不等式有 + b2c - c*a） 2 （/ + /，a:bb2c c2a = aab4- bbc 4-c<a J（a； +b； + ）（a：b： +b：c； c:a2） ”又由（' +护 +"）+ b；c： +c%知.，。% + /。+。，。4 丧（/ +/+。产故有.a2b2c:（a'+ c-）,：-+ + ,二之、3（*丁 + 门 /bcaa'b + bN + cZ、'l k 口 l ，砧。 b c a 4-0 +c17. Ka.o