九年级数学证明的再认识复习课华东师大版知识精讲

1、用心 爱心 专心九年级九年级数学数学证明的再认识复习课证明的再认识复习课华东师大版华东师大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 证明的再认识复习课二. 重点、难点 重点： 1. 让学生能理解图形间的相互转换及图形移动的形成过程； 2. 体会基本图形在几何图形中的灵活运用； 难点： 使学生学会如何建立已知与未知之间的关系，将分散的已知条件转化到同一图形中。三. 教学目标： 1. 让学生能理解图形间的相互转换及图形移动的形成过程； 2. 体会基本图形在几何图形中的灵活运用； 3. 使学生学会如何建立已知与未知之间的关系，将分散的已知条件转化到同一图形中。四. 教学过程（一）知识回顾：

2、 1. 几何中的基本图形： （1）角的特征：是轴对称图形，且它的对称轴为角平分线所在的直线；由它的对称性可以构造全等三角形；及等腰三角形。 （2）线段的特征：是轴对称图形，且它的对称轴为这条线段的中垂线：由它的对称性可以构造全等三角形；及等腰三角形。 2. 三角形中线及中位线在证明题中的作用： （1）可以移动图形的位置； （2）可以建立图形的关系。【典型例题典型例题】 例 1. 已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的动用心 爱心 专心点，则 DNMN 的最小值是多少？ A D M N B C 解：解：连结 BN，在正方形 ABCD 中 B

3、C=CD，AC 平分BCD，CN=CN BCNDCN，则 DN=BN DNMN=BNNM 当 B、N、D 三点共线时，BNNM 有最小值。 连结 BM 交 AC 于 N 点，则 DNMN 的最小值为 10 A D M N B C 例 2. 在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 E，连结 DE 交 AC 于点 P，过 P 作 PFBC，求的值。CBCF A D O P B E F C 解：解：在矩形 ABCD 中 OB=OC，OEBC E 为 BC 中点， 又O 为 BD 中点 OE：CD=1：2 又OECD， OE：CD=PE：PD=EF：FC=

4、1：2 则 FC：EC=2：3 又 2EC=BC， FC：BC=1：3 例 3. 已知：E 为 BC 中点，问与 AD 的关系。AE EDABDC用心 爱心 专心 证明证明 1：延长 AE，使 EM=AE，连结 CM E 为 BC 中点 BE=EC 又，则 12AEEMABEMCEABCM 连结 DM DE AMEAMADDMDCCMDMABDCAD， 为中点又则 D A 1 B E C M 2 证明证明 2：可倍长 DE 证明证明 3：可找到 AD 中点，利用中位线给予证明。 例 4. 已知：ABC=90，DCB=30，BD、AC 分别是ABC 和BCD 的角平分线，试确定 OA 与 OD

5、是否相等。 D A O B C 证明：证明：在 BC 上截 BE=AB，连结 OE ABBEOBOBABOEBO ，12 则 AO=OE 又 BCD30245，用心 爱心 专心 BDCBACBEOOECBDCOECOCOCOECODCOEOD180751059015757510534又则又，则 AOODOE D A O B E C 1 2 3 4 例 5. 在等腰直角三角形 ABC 中，O 是斜边 AC 的中点，P 是斜边 AC 上的一个动点，D 为 BC 上一点，且 PB=PD，DEAC （1）求证：PE=BO （2）设 AC=2a，AP=x，四边形 PBDE 的面积为 y，求 y 与 x

6、之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 证明：证明：（1） ABBCABC，90 ACOACOE ACOBCOBAPBOPBDDPCPDBPBPDPBDPDBPBODPC45454545又 为中点，且则又又， 在 RtPBO 和 RtPDE 中 ，PB=PD PBODPEPDBPED，90 Rt PBORt PDE 则 PE=BO用心 爱心 专心 （2） ABACABCOAC， 为中点90 BOACACaBOaAPxAOaPOaxDEECaxySSSax aaxABCABPDEC1221222121222又，又，则() 即yxaxaxa 121212022 例 6. 等腰梯形 ABC

7、D 中，ABCD，AD=BC，延长 AB 到 E，使 BE=CD，连结 CE （1）求证：CE=CA （2）上述条件下，若 AFCE 于 F，且 AF 平分DAE，求 sinCAF52AECD D C A B E D C F A B E 证明：证明：（1）CDABDCBE/ /， 四边形 BDCE 为平行四边形 则 CE=BD 又 AB/CD，AD=BC 梯形 ABCD 为等腰梯形 则 AC=BD AC=CE （2）延长 AD、CE 于 M CDAEMDCMAEDCAEMCME/ /则25 设MCtCEt25，则 又 AF 平分，DAEAF CE MFFEtCFt5205，.用心 爱心 专心

8、sinCAFCFACCFCEttt12521216 例 7. 已知：等边三角形 ABC 的边长为 6，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE=2，若点 F 从点 B 开始以每秒 1 个单位长的速度沿射线 BC 方向运动，设点 F 运动的时间为 t秒，当 t0 时，直线 FD 与过点 A 且平行于 BC 的直线相交于 G，GE 的延长线相交于H，AB 与 GH 相交于 O。 （1）设EGA 的面积为 S，写出 S 与 t 的函数关系。 （2）当 t 为何值时，ABGH？ （3）请你证明FGH 的面积为定值。 （4）当 t 为何值时，F 和 C 是线段 BH 的三等分点？ G A D O

9、 E B F C H 解：解：（1）GABH/ / AGBFADDBABADBDBFtAGtAGtEEK AGKBCAB又，由，过 作于，62424121260160 则，则又，EAKAEKAEAKKESAGKEtt6030213121212334 （2）连结 DE ADAEBACADEGH ABGEDAEG 26030，为等边三角形若 又AGDEBH/ / / AGEAGAO3022则用心 爱心 专心 12244tttsAB GH，当时， （3）BCFH GEEHAEEC 则GEGHAEAC DEBCDEFHGEGHAEACDEFHAEDEACFHBCACFHhhSSABCHGFGFHABC

10、/ /又，又1263 39 3 （4）BCFHBFCH， 当 F 在线段 BC 上时，若 BF=FC=CH t1263 当 K 在 BC 延长线上时 若 F、C 为 BH 三等分点 BC=CF=FH=6 BF=12，即当 t=12 时，F、C 为三等分点。【模拟试题模拟试题】一. 填空题 1. 已知：在平行四边形 ABCD 中，AB=4cm，AD=7cm，的平分线交 AD 于ABCE，CD 延长线于 F，则 DF=_。 F A E D B C 2. 如图所示，ABC 中有菱形 AMPN，如果那么_。ANNC 2，AMMB用心 爱心 专心 A M N B P C 3. 如图所示在菱形 ABCD

11、中，的中垂线交对角线 AC 于 F，E 连BADAB80，结 DF，则_。CDF D F A C E B 4. 如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使 AB 和 AD 边上的 AF 重合，则四边形 ABEF 就是一个最大的正方形，它的判定方法是_。 A E D B F C 二. 解答题 5. 已知，如图所示：平行四边形 ABCD 中 （1）用直尺和圆规作出的平分线，交 DC 的延长线于点 E，交 BC 于点 F（保BAD留痕迹，不写作法） （2）求证：ADE 为等腰三角形。 （3）在（1）中所得图形中，除ADE 外，请你写出其他的等腰三角形（不要求证明） A D B C 6. 如图所示，在ABC 中，延长 BA 到 D，使，点BAC90ADAB12E、F 分别为边 BC、AC 的中点。 （1）求证：DF=BE； （2）过 A 作，交 DF 于 G，求证：AG=DGAGBC/ /用心 爱心 专心 D A G B E C F 用心 爱心 专心【试题答案试题答案】 1. DFcm 3 2. AMBM12 3. CDF60 4. 一组邻边相等的矩形为正方形或（一条对角线平分一组对角的矩形为正方形） 5. （1）略 （2）在平行四边形 ABCD 中， ABCDE/ / 1 又 AE 平分BA