作加速运动宇宙飞船问题中的瞬时惯性系(高端物理竞赛题)教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上作加速运动飞船问题中的瞬时惯性系（物理竞赛高端题）【问题】宇宙飞船从地球出发沿直线飞向某恒星，恒星距地球（光年）。对每一瞬时都与飞船连接在一起的参照系来讲，前一半路程作匀加速直线运动，加速度，后一半路程以数值相同的加速度作匀减速直线运动。试问：在飞船上测量整个旅程经历了多少时间？计算时只取一级近似。【分析】 问题涉及到两个参照系：与地球相连的惯性系以及与飞船相连的非惯性系；基于飞船相对于速度时刻在变化，因此，不是一个惯性系，但是可以将等价地看作一系列“瞬时惯性系”的组合，也就是说，在每一瞬刻的极短时间内，可看作相对于地球作匀速直线运动，因此，在此极短时间内，可看作惯性

2、系，这种对某一瞬刻的极短时间内的准惯性系称为“瞬时惯性系”，这样，狭义相对论的公式可用。这是“微元法”在相对论中的妙用。 设在“飞船时刻”，飞船相对于地球的速度为，也即相对于的运动速度为，此时飞船相对于的速度。经极短时间后，飞船相对于原来的的速度增量为，相应的加速度为。对地球惯性系而言，与相对应的速度增量为。利用速度变换公式可以找到与之间的关系，进而确定飞船在地球惯性系中加速度与在飞船惯性系中加速度之间的关系，通过积分运算可求得全程所需的地球时间，再利用时间膨胀公式进而求得相应的飞船时间。 综上所述，当动参照系为一非惯性系时，无法直接用仅对两惯性成立的的狭义相对论公式，但是可以将全旅程分割成无

3、限小的单元的组合，在每一无限小单元中，动参照系可以看作惯性系瞬时惯性系，可以应用狭义相对论公式处理，然后再对每一单元进行累加，也就是说积分就可求得全旅程需要的时间了！【解】 设在地球时刻，飞船的速度为，因为系与此时的飞船相连，故动系中飞船的速度为，同时，相对于地球系的速度也是（即速度变换公式中的）。经时间后，的增量为，即在中飞船的速度变为，相应地在系中飞船的速度增量为，因此，其速度变为。由速度变换公式知， 注：速度变换公式：，今，于是得（1）式 或 ，根据题意，只保留一级无穷小量，得 由时间膨胀公式得 由（2）、（3）式得 由加速度的定义知：分别为在系（飞船系）与系（地球系）中的加速度。这样就

4、求得了加速度的变换公式： 值得提醒的是，上式中为一恒量，但却不是一个恒量。为求得全旅程所需的时间，改写（5）式，对（6）式两边积分，并注意到初始条件：，得 为求出上式左边的积分，作变量置换：令，则，提醒一下，为表述简便起见，式中的既是积分变量，又是积分上限，于是 注意到 ，同时，所以， 于是有 由（9）式不难解得 因为，所以（10）可改写为 再次对上式两边积分，并利用初始条件：，得 左边积分=，右边积分为，于是有 由上式可以解出 但飞船完成前半程飞行时，所需的地球时间由（14）式得 由（3）、（9）式知， 再因（10）式：，可将（16）式中替代掉，得 对上式的两边再积分，同时注意到，在中，相应

5、地在中，得 左边积分为，右边积分为，再作变量置换：可令则因此有 上式中分别代表飞船走完半程所需要的地球时间与飞船时间，因为前半程的加速过程雨后半程的减速过程所需要的时间相同，所以，飞船走完全程所需要的时间为 将题给数据： 代入（15）式，得 再求：注意到纯数 【讨论】在中测到的飞船完成全旅程需要的时间，也就是“地球时间”为年；但是，在中测到的飞船完成全旅程需要的时间，也就是“飞船时间”却为年，两者相差甚远！这就是为什么孪生哥哥乘飞船去了某一星球再折回地球，哥哥依然是风度翩翩的英俊少年，而一直耽在地球上的弟弟却已经是步履蹒跚的垂暮老翁了的道理。通常将这种现象称为“孪生子效应”，是相对论中十分热门的话题。注：在求得（19）式的过程中，利