第03章流体运动学ppt课件

1、1第3章 流体运动学用几何的观念来研讨流体的运流体运动学用几何的观念来研讨流体的运动，暂不涉及力。动，暂不涉及力。主要内容：主要内容：4.4.建立延续性方程建立延续性方程第三章第三章 流体运动学流体运动学35:2035:201.引见研讨流体运动的两种方法引见研讨流体运动的两种方法2.用这两种方法来表达流体质点的运动用这两种方法来表达流体质点的运动3.引见流线、迹线、速度环量等根本概念引见流线、迹线、速度环量等根本概念课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？26.6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移用分析的方法将流体运动速度分解为平移变形速度以及旋转角

2、速度；建立旋涡运动与变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无旋运动的概念并引入速度势函数。无旋运动的概念并引入速度势函数。3-1 3-1 研讨流体运动的两种方法研讨流体运动的两种方法流体质点流体质点(particle)(particle)体积很小的流体微团。体积很小的流体微团。5. 引入流函数的概念引入流函数的概念两个根本概念：两个根本概念：流体就是由这种流体微团延续组成的。流体就是由这种流体微团延续组成的。3-1两种研讨方法3同上 流体微团在运动的过程中，在不同的瞬流体微团在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间位置。时，占据不同的空间位置。空间点空间点: : 空间点仅仅是表示空间位置的

3、几何空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实践的流体微团。空间点是不动的，点，并非实践的流体微团。空间点是不动的，而流体微团那么是运动的。同一空间点，在而流体微团那么是运动的。同一空间点，在某一瞬时为某一流体微团所占据，在另一瞬某一瞬时为某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新的流体团所占据。也就是说，时又为另一新的流体团所占据。也就是说，在延续流动过程中，同一空间点先后为不同在延续流动过程中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过。的流体微团所经过。4拉格朗日法研讨流体运动的两种方法研讨流体运动的两种方法一、拉格朗日一、拉格朗日Lagrange)Lagrange)法质点法法质点法 一直跟随每一

4、个流体质点，研讨其一直跟随每一个流体质点，研讨其在运动过程中的位置、有关物理量在运动过程中的位置、有关物理量速度、压力、密度等的变化规律。速度、压力、密度等的变化规律。5同上拉格朗日变量：拉格朗日变量：，2220(, )a b c t1110(, )a b c t 设恣意时辰，恣意一个流体质点的空间坐设恣意时辰，恣意一个流体质点的空间坐标为标为, ,z,z，那么以，那么以a,b,ca,b,c标认的流体质点在标认的流体质点在0 0时辰所对应的位置时辰所对应的位置, x,y,z, x,y,z应该是应该是a,b,ca,b,c和和时间的函数，即时间的函数，即6同上其速度和加速度为：其速度和加速度为：(

5、,)(,)(,)xxyyzzd xvvabctd td yvvabctd td zvvabctd t222222(,)(,)(,)xxyyzzdxaaabctd tdyaaabctd tdzaaabctd t2220(, )a b c t1110(, )a b c t7二、欧拉法二、欧拉法(Euler)(Euler)空间点法空间点法 欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的空间点，空间点在不同的时辰为不同的流体质空间点，空间点在不同的时辰为不同的流体质点所占据。研讨与流动有关的物理量。流动物点所占据。研讨与流动有关的物理量。流动物理量是空间坐标，以及时间的函数。

6、理量是空间坐标，以及时间的函数。 例如流体质点的速度例如流体质点的速度(velocity)(velocity)、压力、压力(pressure)(pressure)和密度和密度(density)(density)可表示成欧拉变可表示成欧拉变量如下量如下: :8同上xx，yy，zz， ， ，A( , , , )V x y z t(,)xyzV xV dt yV dt zV dt tdtB9加速度加速度(accleration)(accleration) ：单位时间内流体质点：单位时间内流体质点 的速度变化率：的速度变化率：0(,)( , , , )limtV xx yy zttV x y z ta

7、t xyzuuVVVVtyzux()DVVaVVDtt加速度的矢量试加速度的矢量试: :VVVVtxdxdydzdtdtdtyzDVDt10同上从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：xxxxxxxyzdvvvvvavvvdttxyzyyyyyyxyzdvvvvvavvvdttxyzzzzzzzxyzdvvvvvavvvdttxyz11部分导数部分导数) :) :变位导数变位导数xxxxyzvvvvvvxyzxvt1 1 : : 部分导数，在固定空间点处，部分导数，在固定空间点处， vx vx随随时时间变化而引起的加速度间变化而引起的加速度, ,又叫又叫

8、“部分加速度。部分加速度。 它是在同一时间，在空间不同点处速度不同它是在同一时间，在空间不同点处速度不同而引起的加速度，又叫而引起的加速度，又叫“对流加速度。对流加速度。讨论问题：讨论问题：1)1)什么情况下只需部分加速度？什么情况下只需部分加速度？部分部分= =当地当地对流对流= =迁移迁移= =位移位移12讨论思索ABAB2.2.什么情况下只需位移加速度？什么情况下只需位移加速度？3.3.什么情况下两部分加速度都有？什么情况下两部分加速度都有？4. :4. :称为流体的质点导数称为流体的质点导数()DDt13同上流体的其它物理量都可以写为质点导数的方式流体的其它物理量都可以写为质点导数的方

9、式: :例如例如: :xyzDVVVDttxxx143-2 3-2 几个根本概念几个根本概念0yxzvvvpttttt一、定常运动与非定常运动一、定常运动与非定常运动1. 1. 定常流动定常流动(steady flow)(steady flow) 在恣意固定空间点处，一切物理量均不随时在恣意固定空间点处，一切物理量均不随时间而变化的流动。即有间而变化的流动。即有2.2.非定常流动非定常流动(non-steady flow)(non-steady flow)在流场某点处有物理量随时间变化在流场某点处有物理量随时间变化. .15定常运动与坐标的选取有关定常运动与坐标的选取有关16 0 0均匀流动与

10、非均匀流动均匀流动与非均匀流动1. 1. 均匀流动均匀流动一切物理量均不随空间位置而变化的流动。即一切物理量均不随空间位置而变化的流动。即有有2.2.非均匀流动非均匀流动在流场中有物理量随空间位置变化在流场中有物理量随空间位置变化. . =0 =0 xxxxyzvvvvvvxyzxxxxyzvvvvvvxyz17二、轨迹线二、轨迹线(path line)(path line)1.1.定义：延续时间内流体质点在空间经过的曲定义：延续时间内流体质点在空间经过的曲线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点，线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点，因此它是与拉格朗日法相联络的。因此它是与拉格朗日法相联络的

11、。2. 2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时辰的速度方向。一流体质点在不同时辰的速度方向。( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzdtv x y z tvx y z tv x y z t18轨迹线的方程式轨迹线的方程式 xyzd xd yd zd tuuu3. 3. 轨迹线的方程式轨迹线的方程式 ： 一条迹线：一个流体质点在一段时间内描一条迹线：一个流体质点在一段时间内描画的途径。画的途径。给定速度分布积分上式可得迹线方程。给定速度分布积分上式可得迹线方程。t3t4AAAAAAt1t2t5ts19

12、三、流线三、流线(stream line)(stream line) 定义：流场中这样一条延续光滑曲线：它上定义：流场中这样一条延续光滑曲线：它上 面每一点的切线方向与该点的速度矢面每一点的切线方向与该点的速度矢 量方向重合。量方向重合。 abcaVbVcV流线流线t1abcaVbVcVaat1+ tt1+ 2t质点质点a的轨迹的轨迹t=t1t=t1的流线的流线20视频：流线视频：流线-平板层流平板层流-begin21视频：流线视频：流线_球球22视频：流线视频：流线_机翼机翼232. 2. 流线特点流线特点 流线上各点的切线方向所表示的是在同一时流线上各点的切线方向所表示的是在同一时 刻流场

13、中这些点上的速度方向，因此流线形刻流场中这些点上的速度方向，因此流线形 状普通都随时间而变。状普通都随时间而变。 定常运动，流线的外形，不随时间变化，流定常运动，流线的外形，不随时间变化，流 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。 流线普通不相交流线普通不相交 流线不转机，为光滑曲线。流线不转机，为光滑曲线。 243. 3. 流线的微分方程流线的微分方程( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzv x y z tvx y z tv x y z t 上述可组成一微分方程组，给定了速度分上述可组成一微分方程组，给定了速度分布。积分可得

14、一族流线，确定积分常数后可布。积分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流线。得一条流线。 留意：积分时时间作为参量。留意：积分时时间作为参量。(3-13)25例例3.13.1试求：试求：时辰流体质点的分布规律；时辰流体质点的分布规律；，时这个质点的运动规律；，时这个质点的运动规律；流体质点的加速度；流体质点的加速度；欧拉变数下的速度与加速度。欧拉变数下的速度与加速度。例例3.13.1知拉格朗日变数下的速度表达式为：知拉格朗日变数下的速度表达式为： vx=(a+1)et-1 vy=(b+1)et-1 vx=(a+1)et-1 vy=(b+1)et-1、为时流体质点所在位置的坐标。、为时流体质点所

15、在位置的坐标。26同上留意到在留意到在t=0t=0时，时，x=ax=a、y=by=b，即有，即有(1 )1txd xvaed t(1 )1tyd yvbed t解解1 11(1)aaC2b = ( b + 1 )CC1=-1 C2=-1C1=-1 C2=-1进一步求得流体质点的普通运动规律为进一步求得流体质点的普通运动规律为: :(1)1txaet (1)1tybet 1(1)txaetC2(1)tybetC27同上t=2t=2时流体质点的分布规律时流体质点的分布规律: :2(1)3xae2(1)3ybe21txet31tyet2 2a=1a=1，b=2b=2的特定流体质点，其运动规律为：的特

16、定流体质点，其运动规律为：质点的加速度为质点的加速度为: :21txet(1)(1)txxytydvaaedtdvabedt28同上4 4由质点普通运动规律由质点普通运动规律(1)1txaet(1)1tybet那么拉格朗日变数与的表达式为那么拉格朗日变数与的表达式为 (1)1tbytet(1)1taxtet 代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，可求得在欧拉变数下的速度表达式为可求得在欧拉变数下的速度表达式为(1)1txvaex t (1)1tyvbey t 29同上1xxxxxxyzvvvvavvvxttxyz 1yyyyyxyzvvvvavvvyttx

17、yz 可进一步求得欧拉变数下的加速度为：可进一步求得欧拉变数下的加速度为：30例3.6例例 3.6 3.6 知流场的速度分布为知流场的速度分布为 x xx+tx+t， y y-y+t-y+t1 1，过点，过点1, 21, 2的加速度。的加速度。解：解：1 1轨迹线微分方程为轨迹线微分方程为: :试求：试求：0 0，过点，过点-1,-1-1,-1的迹线；的迹线；0 0，过点，过点1,21,2的迹线；的迹线；，过点，过点-1-1，-1-1的流线；的流线；d xxtd td yytd t xyzd xd yd zd tuuu31同上将将t t0 0，x=-1x=-1，y=-1y=-1代入上式得代入上

18、式得1 10 0 2 20 0此非齐次常系数线性微分方程组的通解为此非齐次常系数线性微分方程组的通解为1 1t-t- - 2 2-t+-t+- -故经过点故经过点(-1,-1)(-1,-1)的轨迹线方程为的轨迹线方程为: : = -= -1 -1 = =-1-1消去消去t t后得后得: x + y = -: x + y = -为一条过点为一条过点(-1,-1)(-1,-1)的直线。的直线。32同上 将将0 0，代入通解得，代入通解得: : C1 C1 C2 C2故过点故过点1 1，2 2的轨迹线方程为的轨迹线方程为: : 2et-2et- - 3e-t+t-13e-t+t-1流线微分方程为流线

19、微分方程为: :d xd yxtyt积分后得积分后得: ln: lnx+tx+t=-ln=-ln-y+t-y+t+C +C 或为或为 (x+t) (x+t)-y+t-y+t= =代入代入t=0t=0，=-=-，=-1=-1得得=-1 =-1 那么过点那么过点(-1,-(-1,-1)1)的流线方程为的流线方程为 y=1y=133同上yyyyxyvvvavvtxyxxxxxyvvvavvtxy加速度公式为加速度公式为所以所以ax=1+ax=1+x+tx+ty+ty+ts2s2ay=1+ay=1+ x+t x+t y+t y+t 4m4ms2s234例例3.7 3.7 例例3.7 3.7 以以Lag

20、rangeLagrange变数变数a a，b b，c c给出流体的给出流体的运动规律为：运动规律为：ae-2t ae-2t b b1+t1+t2 z=ce2t2 z=ce2t1+t1+t-2 -2 求：求：流体的速度场；流体的速度场；过点过点1,1,11,1,1的流线；的流线；过点过点1,1,11,1,1的迹线；的迹线；流动能否认常？流动能否认常？35同上222txxva ext22(1)1yyyvbttt22122(1)(1)1tzzztvcetttt解解 1 1流体的速度场为流体的速度场为xyzd xd yd zvvv2 2由流线微分方程由流线微分方程: :22211dxdydzyztxt

21、t即即积分时将视为参数，或令代入上式得：积分时将视为参数，或令代入上式得：22d xd yxy36同上积分得积分得 lnx-1=lny+C lnx-1=lny+C 或或 xy=C xy=C当当x=1x=1，y=1y=1时得时得 c=1 c=1xy=1 Z=1便是便是t=0，过点，过点1,1,1的流线方程的流线方程将将t=0t=0和点和点1 1，1 1，1 1代入下式：代入下式：x=e-2t y=x=e-2t y=1+t1+t2 z=e2t2 z=e2t1+t1+t-2-2那么轨迹方程为：那么轨迹方程为：ae-2t ae-2t b b1+t1+t2 z=ce2t2 z=ce2t1+t1+t-2

22、-2 得得 a=1 a=1，b=1b=1，C=1C=137同上( (从所求出的速度场知，速度与时间有从所求出的速度场知，速度与时间有 关，故流场为非定常流动。关，故流场为非定常流动。38四、流管和流量四、流管和流量(flowrate)-end(flowrate)-end1 1流管：设某一瞬时，流场中任封锁曲线流管：设某一瞬时，流场中任封锁曲线C C 不是流线，经过曲线不是流线，经过曲线C C的每一点的每一点 作出该瞬时的流线，这些流线的组作出该瞬时的流线，这些流线的组 合构成一个管状的外表。合构成一个管状的外表。392 2流量流量-begin-beginQdQud2 2流量：流管的垂直截面，叫

23、流量：流管的垂直截面，叫“过流断面过流断面 其面积记为其面积记为，单位时间内经过过，单位时间内经过过 水断面的体积，称为体积流量水断面的体积，称为体积流量 (3-14)403 3平均流速平均流速udQU 这是人为定义的一个速度，实这是人为定义的一个速度，实践流动中过流断面上各点的流速是不践流动中过流断面上各点的流速是不相等的。相等的。(3-15)41五五 条纹线条纹线 条纹线是曾经在不同时辰流过流场中同一条纹线是曾经在不同时辰流过流场中同一点的各流体质点轨迹线的端点的连线。点的各流体质点轨迹线的端点的连线。 42一维，二维与三维流动一维，二维与三维流动1. 1. 流动维数确实定：流动维数确实定

24、：三维流动三维流动: : 速度场必需表示为三个方向坐标的函数速度场必需表示为三个方向坐标的函数 v=v ( x, y, z, t) v=v ( x, y, z, t)或或v=v ( r, , z, t)v=v ( r, , z, t) 二维流动二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) 或或 v=v ( r, z, t) 一维流动一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v( x ) 或或 v=v ( s )432. 2. 常用的流动简化方式：常用的流动简化方式： 二维流动：二维流动： 平面流动

25、平面流动轴对称流动轴对称流动(2) (2) 一维流动：一维流动： 质点沿曲线的流动质点沿曲线的流动 v=v ( s ) v=v ( s )流体沿管道的平均速度流体沿管道的平均速度 v=v ( s )443-3 3-3 延续性方程式延续性方程式- -延续性方程式延续性方程式equation of continuity)equation of continuity)一、一元流动一、一元流动one dimensional flowone dimensional flow的延续的延续性性 方程式方程式对于定常流动对于定常流动111222UU即即.Uconst 对于不可紧缩流体：对于不可紧缩流体：112

26、2.UUUconst或或截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。对于低速气流可视为不可紧缩流体。对于低速气流可视为不可紧缩流体。(3-17)(3-18)(3-19)45二、空间运动的延续性方程式二、空间运动的延续性方程式-end-end()xxxVV dydzVdx dydzx以以 x方向为例方向为例()yyyVV dxdzVdy dxdzy()zzzVV dxdyVdz dxdyz同理同理xV()xxVVdxxyxzdydzdxA(x,y,z)单位时间内密度的变化引起单位时间内密度的变化引起质量的增量质量的增量:dxdydzt()()()0yx

27、zvvvxyzt化简后得化简后得:zyxxVxddd)( (3-21)_ _46同上()()()0yxzvvvxyz定常流动定常流动不可紧缩流体延续性方程为不可紧缩流体延续性方程为0yxzVVVxyz 不可紧缩流体，速度分量沿各自坐标轴的变不可紧缩流体，速度分量沿各自坐标轴的变化率相互约束，不能随意变化。在流动过程中化率相互约束，不能随意变化。在流动过程中外形虽然有变化，但体积却坚持不变体积膨外形虽然有变化，但体积却坚持不变体积膨胀率为零。胀率为零。(3-24)(3-25)47三、平面极坐标系中的延续方程三、平面极坐标系中的延续方程r代入代入(3-21)48三、平面极坐标系中的延续方程三、平面

28、极坐标系中的延续方程()()110rvv rtrrr不可紧缩流体不可紧缩流体=const=const式中为径向速度，式中为径向速度，为圆周切向速度。为圆周切向速度。()110rvvrrrr定常流动定常流动(3-27)()()110rvvrtrrr(3-28)49四、柱面坐标系中的延续方程四、柱面坐标系中的延续方程endend()()()110rzvv rvtrrrz 、是柱坐标，、是柱坐标，轴，轴上的速度分量。上的速度分量。22()( sin)()1110sinsinRvvR vtRRRR五、球面坐标系中的延续方程五、球面坐标系中的延续方程 ，是速度在球坐标，是速度在球坐标，轴上的分量。轴上的

29、分量。(3-29)50六、积分方式的延续性方程六、积分方式的延续性方程流场中取一任不测形的流场中取一任不测形的控制体控制体，其边境面为，其边境面为控制面控制面。单位时间内经过边境单位时间内经过边境流入控制体流入控制体内的净质量为内的净质量为: :()vn d讨论：讨论：1. 1. 上式积分结果假设大于零的含义？上式积分结果假设大于零的含义？2.2.上式积分结果假设小于零、等于零的含义？上式积分结果假设小于零、等于零的含义？净流入质量净流入质量51欧拉型延续方程式的积分式欧拉型延续方程式的积分式d曲面曲面所围体积所围体积内的流体质量为内的流体质量为: : 由于由于内流体既不产生也不消逝，根据质量

30、内流体既不产生也不消逝，根据质量守恒定律，单位时间内流入守恒定律，单位时间内流入 面的净质量与体积面的净质量与体积内的质量变化率应相等，即内的质量变化率应相等，即dt ()vnd将上式移项得将上式移项得()0dv ndt (3-31)(3-31)52物理意义物理意义物理意义：单位时间内控制体内流体质量的增减物理意义：单位时间内控制体内流体质量的增减等于同一时间内进出控制面的流体质量净的通量等于同一时间内进出控制面的流体质量净的通量(3-31)(3-31)左端第项运用高斯定理，将其面积分变左端第项运用高斯定理，将其面积分变为体积分得：为体积分得：()()()()yxzvvvvnddxyzddtt

31、又将左端第一项的微分符号移入积分号内得：又将左端第一项的微分符号移入积分号内得：53欧拉型延续方程的微分式欧拉型延续方程的微分式()()()0yxzvvvdtxyz将上述结果代入得：将上述结果代入得：因积分域因积分域为流场中任取的控制体，故必有：为流场中任取的控制体，故必有：()()()0yxzvvvtxyz流体无论是理想还是粘性流体，定常还是非定流体无论是理想还是粘性流体，定常还是非定常流动常流动, ,均匀还是非流动都适用。均匀还是非流动都适用。(3-21)543-4 3-4 流体微团运动的分析流体微团运动的分析流体微团的运动形状：流体微团的运动形状：平移平移旋转旋转变形变形线变形线变形角变

32、形角变形线变形线变形 平移平移 转动转动角变形角变形55平面流动平面流动平面流动平面流动平移平移 转动转动 线变形线变形 角变形角变形56平行六面体流体微团平行六面体流体微团瞬时边长为瞬时边长为dx,dy,dzdx,dy,dz的平行六面体流体微团的平行六面体流体微团1yVyVyxzdydzdxMxVzV1xV1zVM1yxdydxxxVVdyyyyVVdyyyyyVVVdxdyxyxxxVVVdxdyxyxVyVxxVVdxxyyVVdxx 顶点顶点x xdxdx，y ydydy，z zdzdz处速度处速度分量用泰劳级数展开，略去二阶以上小量得分量用泰劳级数展开，略去二阶以上小量得: :MM1

33、57同上111xxxxxyyyyyzzzzzVVVVVdxdydzxyzVVVVVdxdydzxyzVVVVVdxdydzxyz3-33以第一式为例，方程右边作如下变换：以第一式为例，方程右边作如下变换：1xxxxxVVVVVdxdydzxyzzyVdyxVdzx58同上整理得：整理得：同理第二，三方程作变换得：同理第二，三方程作变换得：111()()2211()()22xxxyxxxxyzzVVVVVdxdzdyxzyVVdydzyVVxVxzVxx1xyzzxxyvvdxdzedydydz1yzxxyyzvvdydxedzdzdx1zxyyzzxvvdzdyedxdxdy3-351xyzz

34、xxyvvdxdzedydydz59各项的物理意义各项的物理意义3-34xxvexyyveyzzvez1()2yzxvvyz1()2xzyvvzx1()2yxzvvxy1()2yzxvvyz1()2xzyvvzx1()2yxzvvxy其中：其中： 1 1x,x,y y、, ,z z的意的意义义 xvdxx：点相对于点在：点相对于点在向的相对速度向的相对速度ByVdxdtxxVdxdtxdydxACDDCB六面体在xoy 平面的投影tyyvydd60同上 上述两项使微团在与方向产生线变形上述两项使微团在与方向产生线变形yvdyy:点相对于点在向的相对速度点相对于点在向的相对速度dtdt内使向右挪

35、动的内使向右挪动的间隔为间隔为xvdxdtxyvdydtydtdt内使内使D D向上挪动的向上挪动的间隔为间隔为1 1 ：代表流体微团沿方向的应变率：代表流体微团沿方向的应变率xxvex即方向单位长度线段的伸长或缩短变形速度即方向单位长度线段的伸长或缩短变形速度yVdxdtxxVdxdtxdydxACDDCB六面体在xoy 平面的投影Btyyvydd61同上同理可知另外两个量的物理意义同理可知另外两个量的物理意义yyvey2 2 : : 方向的应变率方向的应变率zzvez3 3 : : 方向的应变率方向的应变率622)x ,y ,z2)x ,y ,z的物理意义的物理意义-begin-begin

36、xvdyy : :向速度分量在向速度分量在DCDC 和和ABAB层间的速度差。层间的速度差。yvdxx ：向速度分量在：向速度分量在B B C C和和ADAD层间的速度差。层间的速度差。速度差使相邻两层流体产生剪切变形速度差使相邻两层流体产生剪切变形1yyvdxdtvxddtdxxAB在在dt内转动的角度为内转动的角度为:1yvddtx单位时间内单位时间内AB边的转角为边的转角为DxVdxdtxyVdxdtxdydxACDCBBd1d2tyyvxdd63同上同理，同理，ADAD在在dtdt内转角为：内转角为：2xxvdydtvyddtdyy单位时间内单位时间内ADAD边的转角为边的转角为2xd

37、vdty1211()()22yxvddvddtdtdtxy所以所以1()2yxzvvxy : : 流体微团在平面内剪切变形流体微团在平面内剪切变形 的平均角速度，或称剪切应变率。的平均角速度，或称剪切应变率。同理可证另外两个量的物理意义，有：同理可证另外两个量的物理意义，有：64同上1()2yxzvvxy流体微团在流体微团在xyxy平面内剪切变形的平均角速度，平面内剪切变形的平均角速度，或称剪切应变率。或称剪切应变率。1()2yzxvvyzyzyz平面上剪切应变率平面上剪切应变率1()2xzyvvzxxzxz平面上剪切应变率平面上剪切应变率653x、y、z的物理意义的物理意义1211()()2

38、2yxvvdddtxy流体微团的平均旋转角速度流体微团的平均旋转角速度: :单位时间内单位时间内AEAE的旋的旋转角度。转角度。设设dtdt时间内旋转时间内旋转dd0012190()452ddddDxVdxdtxyVdxdtxdydxACDCBBd1d2EEdaAE:AE:流体微团角平分线流体微团角平分线tyyvxdd66同上同上1()2yxvvddtxy微团角分线的旋转角速度为：微团角分线的旋转角速度为：由此可知：由此可知：1()2yxzvvxy 代表流体微团绕过点并平行于轴的轴代表流体微团绕过点并平行于轴的轴线旋转的平均角速度。线旋转的平均角速度。DxVdxdtxyVdxdtxdydxAC

39、DCBBd1d2EEdatyyvxdd67 流体微团绕点并平行于流体微团绕点并平行于轴的轴线旋转的平均角速度。轴的轴线旋转的平均角速度。同上同理得另外两个量的物理意义，三个方向有：同理得另外两个量的物理意义，三个方向有：1()2yxzvvxy1()2yzxvvyz1()2xzyvvzx 流体微团绕点并平行于流体微团绕点并平行于x x轴的轴线旋转的平均角速度。轴的轴线旋转的平均角速度。 流体微团绕点并平行于流体微团绕点并平行于y y轴的轴线旋转的平均角速度。轴的轴线旋转的平均角速度。68同上2Rotv 速度向量的旋度，表示微团旋转的程度。速度向量的旋度，表示微团旋转的程度。69流体微团的运动流体

40、微团的运动流体微团的运动由如下三部分：流体微团的运动由如下三部分： 线变形使六面体微团体积扩展或减少，角变线变形使六面体微团体积扩展或减少，角变形使六面体微团的外形改动。形使六面体微团的外形改动。平移运动：速度为平移运动：速度为vxvx，vyvy，vzvz；旋转运动：角速度为旋转运动：角速度为xx，yy，zz；变形运动：线变形速度变形运动：线变形速度x x、y y、 z z 和和 角变形速度为角变形速度为xx，yy，z z 的剪切变形运动。的剪切变形运动。70同上平面流动平面流动平移平移 转动转动 线变形线变形 角变形角变形71同上2221()2xyzzxye dxe dye dzdxdydy

41、dzdzdx 11122vvRotvdrSdrvRotvdrgrad 将线变形速度将线变形速度x x、y y、z z和角变形速度和角变形速度xx，yy，zz写成一个标量函数：写成一个标量函数：海姆霍兹速度分解定理可写成海姆霍兹速度分解定理可写成723-5 3-5 旋涡运动与无旋运动旋涡运动与无旋运动0旋涡运动有旋运动：流体微团有绕着穿过自旋涡运动有旋运动：流体微团有绕着穿过自身轴的转动，转动角速度。身轴的转动，转动角速度。无旋运动：流体微团除平移和变形以外，本身无旋运动：流体微团除平移和变形以外，本身 没有旋转，这时转动角速度为零，没有旋转，这时转动角速度为零，xyz73例例3.2 3.2 例

42、例3.2 3.2 假设流线均为程度直线的均匀流动，速假设流线均为程度直线的均匀流动，速度分布为度分布为x x0 0，y y。很易验证很易验证xxyyzz，无旋运动，无旋运动. .例例3.3 3.3 平行剪切流动。流场平行剪切流动。流场具有抛物线规律的速度分布具有抛物线规律的速度分布20(2)xvyvyhh容易验证容易验证 x xy=0 y=0 0(1)0zvyh h为有旋运动。为有旋运动。V0012yxVmaxh12y十字架74例例3.4 3.4 sinxyVVryr 例例3.4 3.4 流体像刚体一样转动，流线是同心圆，流体像刚体一样转动，流线是同心圆， 流场各点速度与流场各点速度与r r成

43、正比，成正比，V=r(=const.V=r(=const.切向速度切向速度，在，在,y,y方向的投影为方向的投影为旋转角速度公式即可证得旋转角速度公式即可证得 x xyy1()02yxzvvxy cosyyVVrxr 75同上 运动有旋，每个流体微团作圆周运动的过程运动有旋，每个流体微团作圆周运动的过程中也以角速度中也以角速度自转自转, ,微团的分角线和整个十字微团的分角线和整个十字架固连在一同，以角速度架固连在一同，以角速度绕穿过十字架中心绕穿过十字架中心的轴而转动。的轴而转动。vx0yxU=rr vvy76例例3.5 3.5 22sin22xVVyr ryxy 例例3.5 3.5 流体微团

44、作圆周运动，速度与半径成流体微团作圆周运动，速度与半径成 反比反比, , 如流体中存在旋风中心，会带动如流体中存在旋风中心，会带动 周围流体运动。周围流体运动。2 r流体微团切向速度在轴上投影为：流体微团切向速度在轴上投影为：xvx0yr vvy2Vr77同上可以验证可以验证 同理：同理：22cos22yxxVVr rxy可见这种流动是无旋运动。可见这种流动是无旋运动。1() 02yzxvvyz1() 02xzyvvzx1() 02yxzvvxy78一、速度势函数一、速度势函数无旋运动无旋运动: :1() 02yzxvvyz1() 02xzyvvzx1() 02yxzvvxyxyzdV dxV

45、 dyV dz 正好是微分正好是微分 为某个函数为某个函数的全微分的充分必要条件：的全微分的充分必要条件：xyzV dxV dyV dz称为速度势函数称为速度势函数可得可得: :,yzvvyz,xzvvzx,yxvvxy3-6速度势函数与流函数0579速度势函数与速度之间关系速度势函数与速度之间关系势流：存在速度势函数的流动势流：存在速度势函数的流动, ,也称为势流。也称为势流。对速度势对速度势求偏导数就可得到速度。求偏导数就可得到速度。速度势函数与速度之间关系速度势函数与速度之间关系: :xyzdV dx V dy V dzdxdydzxyz比较两式可得比较两式可得xyzVVVxyz()()

46、()0 xxyyzz代入延续性方程可得代入延续性方程可得: :即即2222220 xyz称为拉普拉斯方程称为拉普拉斯方程80二、流函数二、流函数 求解拉普拉斯方程求解拉普拉斯方程 得到速度势函数得到速度势函数 由速度势函数与速度的关系式求出速度。由速度势函数与速度的关系式求出速度。流函数存在的条件：只需是延续的平面流动，流函数存在的条件：只需是延续的平面流动，不不一定无旋，就存在流函数，还有一些流动也存一定无旋，就存在流函数，还有一些流动也存在在流函数流函数，如可紧缩流体平面运动，不可紧缩，如可紧缩流体平面运动，不可紧缩流体的空间轴对称流等。流体的空间轴对称流等。与速度的关系与速度的关系xvy

47、vyx(3-54)81流函数的性质：流函数的性质：流函数和流线的关系。流函数和流线的关系。constconst的曲线的曲线和流线重合。和流线重合。平面运动的流线方程式为平面运动的流线方程式为xydxdyvv或写成或写成 ydxydxxdy=xdy=即即 积分后便得积分后便得 constconst将将与速度的关系式代入上式得：与速度的关系式代入上式得：0dxdyxy82同上即即constconst为流线方程的解。因此为流线方程的解。因此constconst的的曲线和流线重合。曲线和流线重合。留意：流函数是由延续性方程引入和定义的，而留意：流函数是由延续性方程引入和定义的，而流线是按速度矢量的方向

48、来定义。任何情况下都流线是按速度矢量的方向来定义。任何情况下都存在流线，但流函数只在少数几种情况平面流存在流线，但流函数只在少数几种情况平面流动，空间轴对称流动等才存在。动，空间轴对称流动等才存在。83流函数和流量的关系流函数和流量的关系 经过恣意两条流线之间经过恣意两条流线之间( (流管流管) )的流量等于的流量等于此两流线的流函数之差值。此两流线的流函数之差值。BBBBAAAAQdQVdnd那么那么3-56图3-20a84证明：证明：BB和和A:A:相距为有相距为有限间隔的两条流线限间隔的两条流线 即经过两流线间的流量等于此两流线的流即经过两流线间的流量等于此两流线的流函数之差值。函数之差

49、值。BBBAAAdydxdyx()BBBAAAxyVQdQVdndyxV d85流函数和速度势的关系流函数和速度势的关系 对于平面无旋运动，速度势和流函数就同时存对于平面无旋运动，速度势和流函数就同时存在。它们之间的关系可经过速度投影得到。在。它们之间的关系可经过速度投影得到。此关系式在数学中称为哥西此关系式在数学中称为哥西黎曼条件，假设知道黎曼条件，假设知道和和中之一，就可经过积分求出另一个。中之一，就可经过积分求出另一个。等流函数线：等流函数线：constconst的曲线与流线重合的曲线与流线重合xyVVxyyx 等势线：等势线：constconst曲线曲线等势线和流线相互垂直等势线和流线

50、相互垂直86证明：证明：在在constconst曲线上任取一微元弧长曲线上任取一微元弧长dsdsdxdx，dydy(,) (,)0 xyxyddxdyv dyv dxxyvvdx dyv ds即等势线与速度垂直即等势线与速度垂直 另一方面，流线与速度平行，那么等势另一方面，流线与速度平行，那么等势线与流线相互垂直，即线与流线相互垂直，即112 2，因此因此，即，即=const.=const.vxdx+vydy87()无旋流动，流函数也满足拉普拉斯方程式无旋流动，流函数也满足拉普拉斯方程式end1()02yxzvvxy 假设所研讨的是平面无旋运动，那么假设所研讨的是平面无旋运动，那么()()0 xxyy将速度与流函数之关系代入上式，有：将速度与流函数之关系代入上式，有：22220 xy即：即： 阐明平面势流中流函数和速度势同时满足拉阐明平面势流中流函数和速度势同时满足拉普拉斯方程。普拉斯方程。88例例3.8 22xyvxy22yxvxy例例3.8 知速度场为知速度场为求：求： 流体微团的旋转角速度。流体微团的旋转角速度。 解解 由旋转角度公式得：由旋转角度公式得：222222 222 2102