趣味组合数学和几何

1、第三讲 趣味组合数学和几何选修课：趣味数学1）找次品2）抽屉原理3）斐波那契数列4）黄金分割5）经济包装6）哥德堡七桥问题1)称次球 27只球中有一只次品，这只次品外观上与正品毫无差别，只是略重一些，现有一架天平，要把次球找出来，至少需要称几次？2）检查次钢珠 某店进了十箱钢珠，根据标准，每颗10克。但后来知道，其中一箱为次品。次钢珠的外观与正品毫无差别，只是每颗少了1克。问怎样才能迅速简便把这箱珍珠找出来？ 齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。公孙接和古冶子。 这三名勇士都力大无比，武功超群，为这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过

2、不少功劳。但他们也刚愎自用，齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。评功，按功劳的大小吃桃。 二桃杀三士二桃杀三士 晏子采用借晏子采用借“桃桃”杀人的办法，不费杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝有人在一首诗中曾不无善于运用权谋。汉朝有人在一首诗中曾不无讽刺地写道：讽刺地写

3、道：“一朝被谗言，二桃杀三一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！士。谁能为此谋，相国务晏子！” 在晏子的权谋之中，包含了一个重要的在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理数学原理抽屉原理抽屉原理。 把m个物体放到n个抽屉中(mn)，那么至少有一个抽屉里有不止一个这种物体。形式一：形式一： 设把设把n n1 1个元素分为个元素分为n n个集合个集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个集合里相应个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个的元素个数，证明至少存在某个a ai i大于或等于大于或等于2.2.形式二：形式二

4、： 设把设把n nm m1 1个元素分为个元素分为n n个集个集合合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个个a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。 把把135块饼干分给块饼干分给16个小朋友，如果每个小朋友，如果每个小朋友至少要分到个小朋友至少要分到1块饼干，那么不管怎块饼干，那么不管怎样分，一定会有样分，一定会有2个小朋友得到的饼干数目个小朋友得到的饼干数目相同。为什么？相同。为什么？ 1）分饼干）分饼干 某班共有学生某班共有学生42人，从

5、学校图书室借来人，从学校图书室借来212本书，是否有人能至少借到本书，是否有人能至少借到6本或本或6本以本以上的图书？上的图书？ 2）借书）借书 某校派出学生某校派出学生204204人上山植树人上山植树1530115301株，其株，其中最少一人植树中最少一人植树5050株，最多一人植树株，最多一人植树100100株，株，则至少有则至少有5 5人植树的株数相同人植树的株数相同. . 假设无人或人以上植树的株数相同，假设无人或人以上植树的株数相同，那只有人以下植树的株数相同，而参加植那只有人以下植树的株数相同，而参加植树的人数为树的人数为204人，所以，最多有人，所以，最多有4人植树相人植树相同，

6、故植树的总株数最多有：同，故植树的总株数最多有：4(504(5051519999100)=1530015301,100)=15300 ， 故操作14次就可以录制一盘可以播放一小时的广告节目。黄金分割的应用什么是黄金分割？什么是黄金分割？ 黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。 黄金分割是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为10.618或1.6181。 什么是黄金分割？什么是黄金分割？ 形成任何稳定的粒子总要遵循自然界最佳黄金分割原理。 该原理有一个经典的方程式： （1+

7、X）（1-X）X 从中解出最佳分割解X0.618，1-X=0.382。 其中0.382是最基本的分割，不能再少了。 这就是黄金分割原理的实质这就是黄金分割原理的实质数学中的应用 五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的 日常生活中的应用 黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边 1.618倍 。我们的国旗就是黄金矩形。日常生活中的应用 根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗、火柴盒、标准纸张等，其短边与长边之比大多为0.618。建筑中的应用 世界上最有名的建筑中几乎都包含“黄金分割比”

8、。建筑中的应用 无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的固态建筑还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面都有意无意的运用了黄金分割法则，给人以整体上的和谐与悦目之美。自然中的应用 就连植物界也采用黄金分割，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5这是按照黄金分割的规律排列着的。 很多叶子的主叶脉与整个叶子长度之比约为0.618。自然中的应用 动物界，形体优美的动物形体，如马、骡、狮、虎、豹、犬等，凡是看上去健美的，其身体的长与宽的比例也大体上接近黄金分割。蝴蝶身长与双翅展开后的长度纸币

9、也接近0.618。自然中的应用人体中的应用 人们发现，在人体中包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”、15个“黄金矩形”、6个“黄金指数”、3个“黄金三角”。人体中的应用 人的肚脐位于身长的0.618处 咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处 膝关节位于肚脐与足底长度的0.618 肘关节位于肩关节与指头长度的 0.618处生命中的应用 在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”。它的每个双螺旋构中都是由长34个埃与宽21个埃之比组成的它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.618。艺术中的应用 著名油画蒙娜丽莎中蒙娜丽莎的头和肩在整幅画面中完美的体现

10、了黄金分割，使得整幅油画看起来那么和谐和完美。艺术中的应用 另一些著名油画中也都存在着完美的“黄金矩形”、“黄金三角”、“黄金五角星”，使画面看起来和谐。艺术中的应用 音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618 1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。 小说、戏剧的高潮在整个作品的0.618处较好。武器中的应用 当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。 1 1）经济包装）经济包装1 12 2）经济包装）经济包

11、装2 21 1）蜘蛛抓苍蝇）蜘蛛抓苍蝇2 2）蚂蚁找路径）蚂蚁找路径 有一个铁丝做成的长方体框架的长、宽、高分别为5厘米，3厘米，4厘米，如下图所示。一只蚂蚁从某个顶点出发地沿棱爬行，线路不能重复，它能爬行的最长距离为多少厘米？54+44+3=39厘米哥德堡七桥问题哥德堡七桥问题 在欧洲的普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛，普里格尔河蜿蜒其间，河岸与岛屿间有七座桥相连，在18世纪，有人提出：能否不重复地一次接连通过每座桥？欧拉：欧拉：“一笔画图一笔画图”的规的规律律规律规律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；凡能一笔画的图形必须是一个连通图；规律规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关，凡能一笔画

12、的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关，其个数是与奇点个数有关，其个数是0或或2.让我们先来了解两个新概念让我们先来了解两个新概念1、奇点：有奇数条边相连的点、奇点：有奇数条边相连的点2、偶点：有偶数条边相连的点、偶点：有偶数条边相连的点怎样走才能不重复不遗漏地逛完整个超市？怎样走才能不重复不遗漏地逛完整个超市？家电区家电区蔬菜区蔬菜区水果区水果区零食区零食区日常用品区日常用品区服服装装区区文文具具区区 下面是一公园的平面图，要使游客走下面是一公园的平面图，要使游客走遍每一条路，且不重复，问出入口应设在遍每一条路，且不重复，问出入口应设在哪里？哪里？2）公园出入口）公园出入口 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出点出发，乙从发，乙从B点出发，最后都回到邮局点出发，最后都回到邮局(C点点)。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？如果要选择最短的线路，