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1、知平行截面面积函数的立体体积知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在那么对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 xabxxxd)(xA上延续,xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当思索延续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当思索延续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例1. 一平面经过半径为一平面经过半径为

2、R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,222Ryx解解: 如下图取坐标系如下图取坐标系,那么圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 oRxyxoRxy思索思索: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页

3、 前往 终了 abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例2. 计算由曲面计算由曲面1222222czbyax所围立体(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx机动 目录 上页 下页 前往 终了 的体积.ox1 2yBC3A例例3. 求曲线求曲线132xy与 x 轴围成的封锁图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd)

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