第二讲：模糊聚类分析

1、 定义定义1 设设R = (rij)mn，若，若0rij1，则称，则称R为为模模糊矩阵糊矩阵. 当当rij只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔布尔(Boole)矩阵矩阵. 当模糊方阵当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素的对角线上的元素rii都为都为1时，称时，称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵.定义定义2 设设A=(aij)mn, ,B=(bij)mn都都是模糊矩阵，是模糊矩阵，相等相等：A = B aij = bij；包含包含：AB aijbij；并并：AB = (aijbij)mn；交交：AB = (aijbij)mn；余余：Ac = (1- - aij)mn.例例 设设 1

2、. 05 . 04 . 08 . 09 . 06 . 0,3 . 01 . 08 . 07 . 02 . 01SR 1 . 03 . 05 . 01 . 04 . 08 . 08 . 07 . 09 . 02 . 06 . 01SR,3 . 05 . 08 . 08 . 09 . 01 1 . 03 . 05 . 01 . 04 . 08 . 08 . 07 . 09 . 02 . 06 . 01SR.1 . 01 . 04 . 07 . 02 . 06 . 0 3 . 011 . 018 . 017 . 012 . 0111CR.7 . 09 . 02 . 03 . 08 . 00 模糊矩阵

3、的并、交、余运算律模糊矩阵的并、交、余运算律 幂等律：幂等律：AA = A，AA = A； 交换律：交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：结合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A；分配律：分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)；0-10-1律：律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A；还原律：还原律：(Ac)c = A；对偶律：对偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.1.11.1E 0.00.0O模糊方阵的幂模糊方阵的幂

4、 定义：若定义：若A为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak- -1 A. 设设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定义模糊矩阵，定义模糊矩阵A 与与B 的合成为：的合成为：A B = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks . 7 . 04 . 03 . 01 . 0A例如例如 7 . 04 . 03 . 03 . 0 7 . 04 . 03 . 01 . 07 . 04 . 03 . 01 . 07 . 04 . 03 . 01 . 022A 7 . 04 . 03 . 01 . 07 . 04 . 03

5、. 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 033A 7 . 04 . 03 . 03 . 023AA 性质性质1：(A B) C = A (B C)；性质性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性质性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性质性质4：O A = A O = O，I A=A I =A；性质性质5：AB，CD A C B D.注：合成注：合成( )运算关于运算关于()的分配律不成立，即的分配律不成立，即( AB ) C ( A C )( B C )2 . 03 . 01 .

6、05 . 0,2 . 03 . 01 . 02 . 0,1 . 02 . 03 . 01 . 0CBA2 . 03 . 01 . 05 . 0,2 . 03 . 01 . 02 . 0,1 . 02 . 03 . 01 . 0CBA( AB ) C 1 . 02 . 01 . 01 . 02 . 03 . 01 . 05 . 01 . 02 . 01 . 01 . 0( A C )( B C )1 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 01 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 0( AB ) C ( A C )( B C ) 定义定义 设设A = (aij)m

7、n, 称称AT = (aijT )nm为为A的转的转置矩阵，其中置矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：转置运算的性质：性质性质1：( AT )T = A；性质性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性质性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ；性质性质4：( Ac )T = ( AT )c ；性质性质5：AB AT BT .证明性质证明性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .证明证明：设：设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 记记( A

8、 B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由转置的定义知由转置的定义知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T . 定义定义7 设设A = (aij)mn,对任意的对任意的 0, 1，称，称A = (aij( )mn,为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 - - 截矩阵截矩阵, 其中其中 当当aij 时，时，aij( ) =1；当；当aij 时，时

9、，aij( ) =0. 显然，显然，A的的 - - 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵. 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA对任意的对任意的 0, 1，有，有性质性质1：AB A B ；性质性质2：(AB) = A B ，(AB) = A B ；性质性质3：( A B ) = A B ；性质性质4：( AT ) = ( A )T.下面证明性质下面证明性质1： AB A B 和性质和性质3.性质性质1的证明：的证明： AB aijbij；当当 aijbij时，时， aij(

10、 ) =bij( ) =1；当当aij bij时，时， aij( ) =0, bij( ) =1；当当aijbij 时，时， aij( ) = bij( ) =0；综上所述综上所述aij( )bij( )时，时， 故故A B .性质性质3的证明：的证明：设设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij( ) =1 cij (aikbkj) k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik( ) =bkj( ) =1 (aik( )bkj( )=1cij( ) =0 cij (aikbkj) k, (aikbkj) k, aik 或或 bkj k

11、, aik( ) =0或或bkj( ) =0 (aik( )bkj( )=0所以所以, cij( ) =(aik( )bkj( ).( A B ) = A B . 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广系是普通关系的推广. . 设有论域设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为从为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系. 模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R : X Y 0,1.并称隶属度并称隶属度R (x , y ) 为为 (x , y )关于模糊关系关于模糊关系 R 的的相关程度相关程度. 特

12、别地，当特别地，当 X =Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素之上各元素之间的间的模糊关系模糊关系. 例例1 设设U是所有人的集合，是所有人的集合，表示相象关系，表示相象关系，R。象程度是象程度是说明二人相说明二人相程度。比如，若程度。比如，若的相象的相象与与表示表示，则，则，对对%70, 7 . 0),(),(21212121 xxRxxxxRUxx例例2 表示三个人的集合，表示三个人的集合，设设,321xxxU 表示信任关系，且有表示信任关系，且有R),(9 . 0),(9 . 0),(1131211xxxxxxR ),(5 . 0),(8 . 0),(1332322xxxxxx ，即即

13、不不自自信信。有有自自己己的的信信任任程程度度也也只只不不信信任任，就就连连他他自自己己对对家家对对他他最最，没没有有写写出出来来，说说明明大大信信任任度度为为的的对对，比比较较信信任任。这这里里自自己己在在内内）对对较较大大，说说明明大大家家（连连程程度度。例例如如前前三三项项的的信信任任对对是是表表示示5 . 00,),(),(32111xxxxxrxxrrxxRxxrijjiijijjijiij 例例3 VUVU 为为实实数数集集的的直直积积，规规定定设设为为的的一一个个子子集集 R vuvuvuvuR,)(1001, 0),(12”的的关关系系。远远大大于于表表示示“则则vuR例例4

14、表表示示某某种种原原材材料料设设,21muuuU 函函数数为为表表示示供供求求关关系系，其其隶隶属属表表示示工工厂厂的的集集合合，的的集集合合，RvvvVn,21 njmirvuRijji, 2 , 1;, 2 , 1,),( 的的百百分分比比。分分配配给给工工厂厂表表示示原原料料jivu 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就是X Y 的一个模糊子集，的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质的运算及性质.设设R，R1，R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含包含： R1

15、R2 R1(x, y)R2(x, y)；并并： R1R2 的隶属函数为的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交交： R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余余：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc (x, y) = 1- - R(x, y). (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊关系对模糊关系“R1或者或者R2”的相关程度，的相关程度， (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊对模糊关系关系“R1且且R2”的相关程度，的相关程度，Rc (x, y)表示表示(x, y

16、)对对模糊关系模糊关系“非非R”的相关程度的相关程度.模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论域对于有限论域 X = x1, x2, , xm和和Y = y1, y2, , yn，则，则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用mn 阶模糊阶模糊矩阵表示，即矩阵表示，即R = (rij)mn，其中其中rij = R (xi , yj )0, 1表示表示(xi , yj )关于模糊关系关于模糊关系R 的相关程度的相关程度. . 又若又若R为布尔矩阵时为布尔矩阵时, ,则关系则关系R为普通关系为普通关系, ,即即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij = 1), ,要么没有关系

17、要么没有关系( rij = 0 ). 例例 设身高论域设身高论域X =140, 150, 160, 170, 180 (单位：单位：cm), 体重论域体重论域Y =40, 50, 60, 70, 80(单位：单位：kg), ,下表给出了身高与体重的模糊关系下表给出了身高与体重的模糊关系. .405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系, 则则R1与与 R2的合成的合成 R1 R2是

18、是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系.(R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成矩阵的合成. 设设X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且，且X 到到Y 的的模糊模糊关系关系R1 = (aik)ms，Y 到到Z 的的模糊模糊关系关系R2 = (bkj)sn，则，则X 到到Z 的的模糊模糊关关系可表示为系可表示为模糊模糊矩阵的合成：矩阵的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中其中cij = (ai

19、kbkj) | 1ks.模糊关系合成运算的性质模糊关系合成运算的性质性质性质1：(A B) C = A (B C)； 性质性质2：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性质性质3：( A B )T = BT AT；性质性质4：A B，C D A C B D.注：注：(1) 合成合成( )运算关于运算关于()的分配律不成立的分配律不成立, ,即即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 这些性质在有限论域情况下这些性质在有限论域情况下, ,就是模糊矩就是模糊矩阵合成运算的性质阵合成运算的性质.模糊等价关系模糊等价关

20、系 若模糊关系若模糊关系R是是X上上各元素之间的各元素之间的模糊关系，模糊关系，且满足：且满足： (1)(1)自反性：自反性：R(x, x) =1； (2)(2)对称性：对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)(3)传递性：传递性：R2 R, 则称则称模糊关系模糊关系R是是X上上的一个的一个模糊等价关系模糊等价关系. . 当论域当论域X = x1, x2, , xn为有限时为有限时, X 上的一上的一个个模糊等价关系模糊等价关系R就是模糊等价矩阵就是模糊等价矩阵, 即即R满足：满足：I R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2R.R2R ( (rikrkj) | 1

21、kn rij) . 定理定理1 若若R具有自反性具有自反性(IR)和传递性和传递性(R2R), 则则 R2 = R. 定理定理2 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则则对任意对任意 0, 1，R 是等价的是等价的Boole矩阵矩阵.回顾：回顾： 0,1，ABA B ；(AB) =A B ；( AT ) = ( A )T 证明如下：证明如下： (1)(1)自反性：自反性：IR 0,1，I R 0,1，I R ，即，即R 具有具有自反性；自反性； (2)(2)对称性对称性：RT = R (RT) = R (R )T = R ，即，即R 具有具有对称性；对称性； (3)(3)传递性传递性：R2R(

22、R )2R ，即，即R 具有具有传传递性递性. . 定理定理3 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则对任意的则对任意的0 1, R 所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子类决定的分类中的某个类的子类. 证明：对于论域证明：对于论域 X = x1, x2, , xn，若，若 xi , xj 按按R 分在一类，则有分在一类，则有rij( ) = 1 rij rij rij( ) =1，即若即若 xi , xj 按按R 也分在一类也分在一类. 所以，所以，R 所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子类决定的分类中的某

23、个类的子类. 若模糊关系若模糊关系 R 是是 X 上各元素之间的上各元素之间的模糊关模糊关系，且满足：系，且满足： (1) 自反性：自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 则称则称模糊关系模糊关系 R 是是 X 上的一个上的一个模糊相似关系模糊相似关系. 当论域当论域X = x1, x2, , xn为有限时，为有限时，X 上的一上的一个个模糊相似关系模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即就是模糊相似矩阵，即R满足：满足： (1) 自反性：自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：对称性：RT = R (

24、rij = rji ). 定理定理4 若若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自是模糊相似矩阵，则对任意的自然数然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵也是模糊相似矩阵. 模糊相似矩阵，一般不具有传递性，所以一模糊相似矩阵，一般不具有传递性，所以一般不是等价矩阵。不能用来分类。般不是等价矩阵。不能用来分类。 化模糊相似矩阵为等价矩阵的方法化模糊相似矩阵为等价矩阵的方法 定义定义 上的模糊关系，如果：上的模糊关系，如果：与与为论域为论域设设VUR；是传递关系且是传递关系且RRR )1(。则上任意传递关系且RQRQQ,)2(。的传递闭包，记的传递闭包，记为为则称则称RRtRR)( 的最小传递关系。的最小传递关系

25、。的传递闭包是包含的传递闭包是包含可见，可见，RR 定理定理5 上的模糊关系，总有上的模糊关系，总有是是设设UR.)(1kkRRt 证明证明 下面证明它是传递的。下面证明它是传递的。显然显然.)1(1RRkk )()()(1111kkkkjjkkRRRR )(11jkkkRR )(2jkmjkmR mmR 1RQRQ 的的传传递递关关系系。由由是是任任意意包包含含设设)2(；知知kkRQ ，满满足足传传递递性性，即即而而QQQ 2，故故由由此此可可得得QRQQkk 任意，任意，而而k.1QRkk 从从而而 定理定理6 上的二元上的二元是是个元素，个元素，只有只有设设URnU（证明略）证明略）

26、。模模糊糊关关系系，则则knkRR1 定理定理7 上的二元上的二元是是个元素，个元素，只有只有设设URnU。模模糊糊自自反反关关系系，则则nRR 证证 ，所所以以有有是是自自反反矩矩阵阵，故故由由于于RIR ,2RR 由此推得由此推得,2nRRR 得得，由由定定理理 6。nknkRRR 1定理定理8 若若R 是是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数小自然数 k (kn )，对于一切大于，对于一切大于k 的自然数的自然数 l，恒有恒有Rl = Rk，即，即Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称此时称Rk为为R的传递闭包，记作的传递闭包，记

27、作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵导出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包平方法求传递闭包 t (R)：RR2R4R8R16 设论域设论域X = x1, x2, , xn为被分类对象为被分类对象, ,每个每个对象又由对象又由m个指标表示其形状个指标表示其形状: :xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是于是, ,得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为nmnnmmxxxxxxxxx.212222111211模糊聚类分析的任务就是要根据指标特征对模糊聚类分析的任务就是要根据指标

28、特征对X中的中的所有对象进行分类。所有对象进行分类。模糊聚类分析的步骤如下：模糊聚类分析的步骤如下：第一步：数据标准化第一步：数据标准化1.平移平移 标准差变换标准差变换主要方法有：主要方法有：),.,2 , 1,.,2 , 1(mjnisxxxjjijij其中其中nijijjniijjxxnsxnx121)(1,12.平移平移 极差变换极差变换1|min1|max1|minnixnixnixxxijijijijij第二步：建立模糊相似关系第二步：建立模糊相似关系根据实际情况，选择以下一种方法来求根据实际情况，选择以下一种方法来求xi与与xj之间的相似系数，建立相似矩阵：之间的相似系数，建立相

29、似矩阵：1.夹角余弦法夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(| |其中其中.1,111mkjkjmkikixmxxmx3.最大最小法最大最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11),max(),min(4.算术平均最小法算术平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21),min(rij = 1 c d (xi, xj )其中其中c为适当选取的参数为适当选取的参数.（1）海明距离）海明距离mkjkikjixxxxd1|),(（2）欧氏距离）欧氏距离mkjkikjixxxx

30、d12)(),(（3）切比雪夫距离）切比雪夫距离d (xi, xj ) = | xik- - xjk | , 1km6.绝对值指数法绝对值指数法exp1 mkjkikijxxr在实际中常常采用多种方法，选取分类最符在实际中常常采用多种方法，选取分类最符合实际的结果合实际的结果7.绝对值减数法绝对值减数法 jixxcjirmkjkikij当当当当,1, 11其中，其中，c适当选取，使适当选取，使rij落入区间落入区间0，1）之）之内。内。7.数量积法数量积法 jixxMjirmkjkikij当当当当,1, 11其中，其中，M为适当选取的正数，满足为适当选取的正数，满足. )(max1, mkjk

31、ikjixxM8.线段打分法线段打分法8.线段打分法线段打分法请有经验者在线段上做标记。设有请有经验者在线段上做标记。设有s个人参加个人参加。见见下下图图：程程度度的的把把握握表表示示他他做做标标记记个个线线段段上上做做标标记记；在在第第二二做做标标记记，在在下下列列第第一一个个线线段段上上，就就任任何何两两个个对对象象个个人人评评分分。第第）（）（）（)(),1(kijkijkijjiyayxxskk 很不满意很不满意中常中常很满意很满意00.51满意度满意度）（kijy很无把握很无把握中常中常很有把握很有把握00.51自信度自信度）（kija计计算算相相似似系系数数 skkijkijijy

32、asr1)()(1第三步：改造模糊相似矩阵为模糊等价矩阵第三步：改造模糊相似矩阵为模糊等价矩阵前面得到的矩阵前面得到的矩阵R一般只满足自反性和对称一般只满足自反性和对称性，需将其改造成模糊等价矩阵。为此，性，需将其改造成模糊等价矩阵。为此，采用平方法，求出采用平方法，求出R的闭包，通过该满足等的闭包，通过该满足等价性的闭包再进行分类。价性的闭包再进行分类。例例1 环境单元分类环境单元分类每个环境单元包括空气、水分、土壤和作物四个要每个环境单元包括空气、水分、土壤和作物四个要素。环境单元的污染状况由污染物在四个要素中含素。环境单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度来描述。量的超限度来描述

33、。 现有五个环境单元（如现有五个环境单元（如5个村子），它们的污染个村子），它们的污染数据如下：数据如下： 现有五个环境单元（如现有五个环境单元（如5个村子），设为个村子），设为U=甲，甲，乙，丙，丁，戊乙，丙，丁，戊，它们的污染数据如下：，它们的污染数据如下：甲甲=（5，5，3，2）；乙）；乙=（2，3，4，5）；）；丙丙=（5，5，2，3）；丁）；丁=（1，5，3，1）；）；戊戊=（2，4，5，1）。试对）。试对U进行分类。进行分类。 首先按照方法首先按照方法7建立相似关系，取系数建立相似关系，取系数c=0.1，得模糊相似矩阵为得模糊相似矩阵为 16 . 03 . 04 . 03 . 06

34、 . 015 . 02 . 05 . 03 . 05 . 011 . 08 . 04 . 02 . 01 . 011 . 03 . 05 . 08 . 01 . 01R此矩阵具有自反性和对称性，但不具有传此矩阵具有自反性和对称性，但不具有传递性。递性。 其次，用平方法求传递闭包：其次，用平方法求传递闭包： 16 . 03 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 03 . 05 . 012 . 08 . 04 . 04 . 02 . 013 . 05 . 05 . 08 . 03 . 012RRR 2 故故R确实不具有传递性。确实不具有传递性。 16 . 05 . 04

35、 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 014R 16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 018R4R 等等价价矩矩阵阵。为为闭闭包包，也也就就是是所所求求的的所所以以，4R截截阵阵：的的，考考虑虑，取取 404 . 05 . 06 . 08 . 0R 1000001000001010001

36、00010148 . 0R因因为为所以首先由此可确定甲、丙为一类；所以首先由此可确定甲、丙为一类； 110001100000101000100010146 . 0R所以由此可确定甲与丙为一类，丁与戊为所以由此可确定甲与丙为一类，丁与戊为另一类；另一类； 111011110111101000101110145 . 0R所以由此可确定甲、丙、丁、戊所以由此可确定甲、丙、丁、戊4个单元个单元为一类；为一类； 111111111111111111111111144 . 0R所以由此可确定甲、乙、丙、丁、戊所有所以由此可确定甲、乙、丙、丁、戊所有5个单元为一类。个单元为一类。上述分类可用下图表示：上述分

37、类可用下图表示：甲甲 丙丙 丁丁 戊戊 乙乙 0.80.60.50.40例例2 相貌的模糊分类相貌的模糊分类设设U为由父亲、儿子、女儿、邻居、母亲等为由父亲、儿子、女儿、邻居、母亲等5人组成人组成的一个集合，令的一个集合，令U=父，子，女，邻，母父，子，女，邻，母。请陌生。请陌生人对这五个人按照相貌相像程度进行模糊分类。人对这五个人按照相貌相像程度进行模糊分类。 首先求相似关系。对这首先求相似关系。对这5个人中任意两人按照相个人中任意两人按照相像程度打分，用区间像程度打分，用区间0，1内的数表示，假设得到内的数表示，假设得到模糊矩阵为模糊矩阵为 11 . 09 . 085. 02 . 01 .

38、 0102 . 01 . 09 . 0018 . 06 . 085. 02 . 08 . 018 . 02 . 01 . 06 . 08 . 01RRR 12 . 09 . 085. 08 . 02 . 012 . 02 . 02 . 09 . 02 . 0185. 08 . 085. 02 . 085. 018 . 08 . 02 . 08 . 08 . 0122412 . 09 . 085. 08 . 02 . 012 . 02 . 02 . 09 . 02 . 0185. 08 . 085. 02 . 085. 018 . 08 . 02 . 08 . 08 . 01RR 等等价价矩矩阵

39、阵。为为闭闭包包，也也就就是是所所求求的的所所以以，2R,02 . 08 . 085. 09 . 02截截阵阵的的，考考虑虑，取取 R 得如下聚类图：得如下聚类图：女女 母母 子子 父父 邻邻 0.90.850.80.20直接聚类法直接聚类法 上述方法是应用模糊等价关系将元素进行上述方法是应用模糊等价关系将元素进行聚类。当被分类的元素较多时，显得很麻烦，聚类。当被分类的元素较多时，显得很麻烦，此时可以采用较为简单的直接聚类法。此时可以采用较为简单的直接聚类法。定义定义 在同一论域在同一论域U中的一个元素序列中的一个元素序列siiixxx,21称为称为U中的一条路。其中中的一条路。其中s是有限数

40、，元素可是有限数，元素可以重复出现。以重复出现。叫叫终终点点。叫叫起起点点siixx,1由由如如下下箭箭头头连连接接而而成成：一一条条路路siiixxx,21ssisisiiiiiriiriirixxxxxx1133222211, 的权重为：的权重为：叫做路的权重。路叫做路的权重。路路上最轻的一步权重路上最轻的一步权重为这步路的权重。一条为这步路的权重。一条称称边上标的数边上标的数也叫其长度。每个箭头也叫其长度。每个箭头，步步步，这条路有步，这条路有其中，每个箭头叫做一其中，每个箭头叫做一siiijxxrss,112 ),min(13221ssiiiiiixrr 两条路起点终点相同，称两条路等效。两条路起点终点相同，称两条路等效。对对应应的的图图的的区区别别，仅仅在在对对应应的的图图与与图图。）所所组组成成的的带带权权个个个个箭箭头头（即即有有元元素素和和个个，对对应应着着一一个个由由）（一一个个模模糊糊矩矩阵阵RRrnnnrRijnnij222 步步路路的的权权重重。二二步步路路中中最最重重的的一一条条二二图图中中与与它它等等效效的的在在每每一一个个箭箭头头的的权权重重等等于于图图中中，成成定定义义，在在于于权权重重。由由模模糊糊矩矩阵阵合合RR2例例如如：