浅谈分块矩阵的性质及应用

1、浅谈分块矩阵的性质及应用摘要： 本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换On the nature of block matrix and its applicationAbstract : this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of o

2、ther relative matrix rank and elementary matrix.Key words: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言 ：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。1. 预备知识 ：分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条

3、纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。分块矩阵的运算：1.2.1 分块矩阵的加法：设分块矩阵A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有1.2.2 分块矩阵与数的乘法：A11A= mAm1A1nMAmnB11MBm1B1nMBmn其中 Aij 与 Bij 的行数相同，列数相同，那么列数相同，那么A11A+B=Am1B11MBm1A1nA1nB1nMBmnA11KA1nA=MOMAm1LAmnA11MAm1A1nMAmn1.2.3 设 A 为 ml 矩阵，n 矩阵，分块成A11AMAs1B11 KB MOBt1LB1rMBtr

4、其中Ai1，Ai2At的列数分别等于B1j ，B2jBtj 的行数，那么C11AB MCs1C1rMCsr其中 CijtAik Bik （i=1 s； j=1 ,，r）k11.2.4 设 AA11KMOAs1LA1tM ，则AstATA11MAs1TA1tT M AstT2. 分块矩阵的性质及应用分块矩阵的性质：设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 其余子块都为 零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A 0A= O ,其中A (i=1 , 2，s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵,分块矩阵的行列式一般据有下列性质AAi A2 L As ,由此性质可知，若 A 0( i 1,

5、2L s)则A 0,并有A1 L 0A 1 MOM0 L As15 0 0例：设A= 0 3 1 求A 10 2 15 0 0解：A 0 3 10 2 15，A11:A2，A215002.2将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩阵中具有重要作用现将某个单位矩阵如下进行分块：Em 0对其进行行(列)对换等作0 En用，可得到如下类型一些矩阵：0En P0 Em0 EmPEm0, 0En1 0P, 0EnEmP0用这些矩阵左乘或右乘任En A B一个分块矩阵 A B ,只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的 C D变换，如Em 0 A B A B ,适当选择P可使C PA=0,例如P

6、En C D C PA D PBABA可逆时，选p CA1则C PA 0,于是上式的右端可成为1 ，其0 D CA 1BT1在求逆矩阵方面是非常有用的，例 1： T0， A D 可逆，求D解：由EmCA 10En易知 T 1例2： T1解：由 Em0A10D1A1(A BD0D1EmCA0EnA1D 1CA 10D1T 可逆，D 可逆，试证试证(ABD 1C） 1存在，并求T1 1BDEn1C) 1111D 1C(A BD 1C) 111(A BD 1C) 1EmD 1C(A BD 1C) 1Em2 3 分块矩阵在证明关于矩阵乘积的秩的定理中的作用BDC1C,而又端仍可逆故11(A BD 1C

7、) 1存在0D1Em01BD 1En(A BDD 1C(A BD1C) 1BD 11C)BD 1例：设A是数域P上n m矩阵,B 是数域Pm s上矩阵，于是秩（AB）min 秩(A),证明：只需证明秩，即乘积的秩不超过各因子的秩ABAB秩 A ，分别证明这两个不等式a11a12a1ma21设 A 21Ma22Man1an2a2mMan3b11b21Mbm1令 B1, B2,L,Bm表小B的行向量算可知，Ci 的第 j 个分量和ai 1B1b12b22 Mb1b2（即对B进行分块）ai2 B2Laim BmC1,C2,L ,Cn 表示AB 的行向量，由计j 的分量都等于maikbkj，因而k1C

8、i aMBi ai2B2 L amBm i 1,2,L ,n即矩阵AB的行向量组Ci,C2,L ,Cn可经由B的行向量组线性表示出所以AB 的秩不能超过B 的秩，即秩AB 秩 B同样，令 A,A2,L ,Am表示A的列向量，Di,D2,L ,Ds表示AB的列向量，由计算可知,Di bnA bz4 L bmiAm i 1,2,L ,s这个式子表明，矩阵AB的列向量组可由矩阵 A的列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅可能超过后者的秩，这就是说秩AB 秩 A（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即B1B2B 2 这就是 B 的一种分块，按分块相乘就有Bma11B1a21 B1AB 21 1a12B2 L

9、a22 B2 LMa1mBmaB2 m m 很容易看出AB 的行向量是B 的行向量的线性组合）对于线性方程组an1B1a11BMa12Mam1an2B2 Lanm Bm分块矩阵在线性方程组方面的应用am2成 m 块，则 AXb 可记做行分成 n 块，记作组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷a11 x1a12 x2a21x1a22 x2LLLLLam1x1am1x2a1nMamn1, 2,La1n xna2nxnamn xnb1M , A为系数矩阵,bmAMb 或 BA,b此方程也可记为b2bmX 为未知向量，b 为常数项向量，A1A2Mx1x2Mxnx1b1x22，bb2MMxnbm

10、aij ， XB 为增广矩AX b,把系数矩阵A按行分b1b2把系数矩阵A按列分成n块，则与相乘的X对应按 Mbmb ，即x1 1x2 2 Lxn n b ，其都为线性方程在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于n 个变量 n 个方程线性方程组a12x2a1nxna2iXiL L La22X2L La2nXnbib2如果他的系数行列式D 0 ,则它有唯一解，anlXianlX2annxnbn1 -1 , ,Xj Dj biAjb2 A2jLD DbnAnjj1,2,L ,n证明把方程组改写成矩阵方程 AXb,这里Aaijn 口为n阶矩阵，因AD 0,故 A在，令Xb ,有 AX AA1b表明XA ib是方程组的解向量，由Ax b1A AX Aib11，即 XAb,根据逆矩阵的唯一性,1A 1b是方程的唯一解向量,由逆AAi 1x Aib AbDX2MA1A：%A22MAniAn2MbibiAbAb2 A2i b2 A22L L LXnAnA2nA