有界线性算子和连续线性泛函

1、第八章第八章 有界线性算子和连续线性泛函有界线性算子和连续线性泛函v 1 有界线性算子和连续线性泛函有界线性算子和连续线性泛函 v 2 有界线性算子空间和共轭空间有界线性算子空间和共轭空间v 3 广义函数大意广义函数大意1有界线性算子与连续线性泛涵有界线性算子与连续线性泛涵线性算子与线性泛涵的定义线性算子与线性泛涵的定义 有界线性算子与连续线性泛函有界线性算子与连续线性泛函有界线性算子和连续线性泛涵的例子有界线性算子和连续线性泛涵的例子IIIIIIII教学目标：1 初步掌握线性算子和线性泛函的定义及苏相关的例子 2 掌握有界线性 算子和连续线性泛函的定义和两个充要条件 3 初步掌握有界线性算子

2、的性质及应用教学重点： 有界线性算子和连续线性泛函的定义和两个充要条件教学难点： 有界线性算子和连续线性泛函的两个充要条件的证明过程课型： 新课型教学方法：讲解法线性算子与线性泛涵的定义线性算子与线性泛涵的定义I定义1 XY设 和 是两个同为实（或复）的线性空间， AXTAY是的线性子空间， 为到Ayx,中的映射，如果对任何，及数 ，成立 )()()(yTxTyxT （1） )()(xTxT（2） TAYAT则称 为到 中的线性算子，其中称为 的定义域， 记为)(TA， TA称为 T的值域，记为 )(TR，当 T取值于实（或复）域时，就称T为实（或复）的线性泛函。 如果 T为线性算子， 在（2

3、）中取 0，立即可得 00 T， 即 )(0T，其中 )(T表示算子 T的零空间)(, 0:)(TAxTxxT下面举一些线性算子和线性泛函的例子例1 设 X是线性空间， 是一给定的数，对任何 Xx令 xxT)(显然 T是X到 X中的线性算子，称为相似算子， 特别当 1时，称为恒等算子， 记为 xI或I，当 0时，称为零算子，记为O。例2 设 1 , 0P为 1 . 0区间上的多项式全体，对每个 1 , 0Px定义 )()(txdtdtTx由求导运算的线性性质，立即可知 TT是 1 , 0P到 1 , 0P中的 线性算子， 称为微分算子， 如果任取 1 , 00t，对任 何 1 , 0Px定义

4、)()(0txxf则 f是 1 , 0P上线性泛函。例3对每个 ,baCx，定义 tadxtTx)()(由积分的线性性质，可知 T是 ,baC到,baC中的线性算子，若令dxxfba)()( 则 f是 ,baC上的线性泛函。例4对任何 ,baCx，令 )()(ttxtTx易知 T是线性算子，称为乘法算子， 它在物理及算子普理论中是非常有用的一种算子。例5 设 nR是 n维线性空间，在 nR中取一组基 ,1nee ，则 对任何的 nRx， x可以唯一的表示成 vnvvex1，对每一 个 nn方阵 )(t。作 nR到nR中算子 T如下： 当 vnvvex1时， 令 nuueyTxy1其中 ., 2

5、 , 1,1ntyn显然这样定义的 T是线性算子， 这个算子在 线性 代数中称为线性变换，算子 T显然由方阵 )(t唯一确定，有时 就记为 )(tT 。 反过来， 设 T是 nR到nR中线性算子，令nnetetetTe2211n, 2 , 1则当 vnvvex1时，由 T的线性性可得 nuueyTx1，这里 nty1，即 T是对应于 方阵 )(t的算子。 由此可知，在有限维空间上， 当基选定以后，线性算子与矩阵是相对应的。设 ),(21n是一组数，当 vnvvex1时，定义nxf1)(易知 f为 nR上的线性泛函。反之，如果 f为 nR上的线性 泛函，记 )(efn, 2 , 1 则当 vnv

6、vex1时，由 f的线性， nnefxf11)()(由此可见 ， n维线性空间上线性泛函与数组 ),(21n相对应。II有界线性算子与连续线性泛函定义2 设 X和 Y是两个赋范线性空间。 T是 X的线性子 空间 )(TA到 Y中的 线性算子，如果存在常数 c，使对所 有 )(TAx，有 xcTx （3）则称 T是 )(TA到 Y中的有界线性算子，当 XTA)(时，称 T为 X到 Y中的 有界线性 算子，简称为有界算子，对于不 满足条件（3）的算子，称为无界算子。本书主要 讨论有界算子。定理定理1 设设 T是赋范空间是赋范空间 X到赋范空间到赋范空间 Y中的线性算子，中的线性算子， 则则 T为有

7、界算子的充要条件为为有界算子的充要条件为 T是是 X上连续算子。上连续算子。 证明证明 若 T有界，由 （3）式，当 )(nxxn时，因为 xxcTxTxnn所以 0TxTxn，即 )(nTxTxn，因此 T连续。 反之若 T在 X上连续，但 T无界，这时在 X中必有一列 向量 ,321xxx使 0nx但nnxnTx令 nnnxnxy , 2 , 1n则 )(01nnyn，所以 )(0nyn， 由 T的连续性，得到 )(00nTTyn，但由于 T是线性算 子，又可以 得到 对一切正整数 n，成立1)(nnnnnnnxnxnxnTxxnxTTy这与 )(0nTyn矛盾，所以 T是有界算子，证毕。

8、 对于线性泛涵，我们还有下面的定理定理定理2 设设 X是赋范线性空间，是赋范线性空间， f是是 X上线性泛涵，那上线性泛涵，那 么么 f是是 X上连续泛涵上连续泛涵 的的 充要条件为充要条件为 f的零空间的零空间 )( f是是 X中的闭子空间。中的闭子空间。 证明证明 设 f是连续线性泛涵，当 )( fxn, 2 , 1n并且 )(nxxn时，由 f的连续性，有 0)(lim)(nnxfxf，因此 )( fx，所以 )( f是闭集。反之 若 )( f是闭集，而 f无界，则在 X中存在一 列向量 nx， 0nx, 2 , 1n使得对每个 n，成立 nnxnxf)(令 nnnxxy ，则 1ny，

9、且 nyfn)(，作 )()(11yfyyfyznnn那么 0)(nzf，因此 )( fzn，然而由于 )(01)(1)(nnyfyfynnn所以 )(11yfyzn但是 1)(11yfyf即 )()(11fyfy，这与 )( f是闭集的 条件矛盾，因此 f是线性有界泛涵。证毕。 我们最感兴趣的是使（3）式对一切 )( fx成立的“最 小”的数 c，为此引入 下面的基本概念。 定义定义3 T为赋范线性空间 X的子空间 )(TA到赋范线性 空间 Y中的线性算子，称 xTxTTAxx)(0sup（4） 为算子 T在 )(TA上的范数显然若 T是 )(TA上有界线性算子，则 T是一有限数，反 之，当

10、 T时，由 T的线性，则有 xTTx （5） 引理引理1 设设 T是是 )(TA上有界线性算子，那么成立上有界线性算子，那么成立 TxxTTxTAxxTAx1)(1)(sup)(sup（6） )(TAx证明证明 因为 )(supsupsup0)(0)()(0 xxTxTxxTxTxTAxxTAxTAxx令 xxy ，则 1y且 )(TAy，所以TxxTTxTAxxTAx1)(1)(sup)(sup（7） 反之若 1),(xTAx，则由 （5）式TxTTx所以 TTxxTAx1)(sup（8）由（7）和（8）式，得知（6）式成立，证毕。III有界线性算子和连续线性泛涵的例子有界线性算子和连续线性

11、泛涵的例子 例例6 赋范线性空间 X上的相似算子 xTx是有界线性 算子，且 aT ，特别 1xI0O例例7 设 1 , 0CX ， ),(tK是矩形 1 , 0 1 , 0上的二元连续函 数，对每个 1 , 0Cx定义 dxtKtTx10)(),()(易知 T是 1 , 0C到 1 , 0C中的线性算子，这个算子称为 积分算子，其中函数 ),(tK称为 T的核，又因为xtxtxt)(max)(10所以xdtKdxtKdxtKxTttt*),(max)(),(max)(),(max)(101010101010因此 T是有界算子，如果记 dtKMt1010),(max则由上面的不等式可知 MT

12、，下证 MT ，证明的关键 是设法找一列 1 , 0Cxn使 1nx并且 )(nMTxn因为含参量积分 dtK100),(作为 t的函数在 1 , 0上连续，所以存在 1 , 00t，使得 MdtK100),(设 ),()(0tsignKx，即 ),(0tK的符号函数，则 )(x是 1 , 0上的 可测函数 并且 1)(sup10 xt，由鲁金定理，对任何正整数 n存在 ， 1 , 0Cxn， 1nx，使除去 1 , 0中一测度小于 nL21的集合 nE外都有 )()(xxn，其中),(max1,0tKLt因为对一切 1 , 0t都有 10)(),(dxtKdxtKdxxtKnn)(),()(

13、)(),(1010)()()(),(tTxdxxtKnnEnnTxnLL21*2*Tn1特别当取 t为 0t时有 TndxtKdtKM1)(),(),(10010令 n，得 TM ，因此 MT 。证毕。 例8对任何 ,1baLf ，作 dftTft0)()(，则 T为 ,1baL到 ,1baL中的线性算子， 又因为， dtdfdtdfTfbatabata )()(11)(1*)(fabdtdfbaba所以 abT，另一方面，对任何使 bna1的正整数 n，做函数,1(,01,)(bnatnaatntfn容易知道此时 11f，因为 naatatanbnatndnaatnddf1,1(,1,)(,1(, 11,),(bnatnaatatn因此dtdfTfbatann )(1dt