3.2条件分布及其独立性ppt课件

1、 32 条件分布与随机变量的独立性 一、条件分布与独立性的一般概念 二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性 阐明 一、条件分布与独立性的一般概念 条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率PXx|A为F(x|A) 并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设AYy 且PYy0 则有 )(),(,)|(yFyxFyYPyYxXPyYxFY (320) 一般地 两个随机变量X和Y之间存在着相互联系 因而一个随机变量的取值可能会影响另一随机变量取值的统计规律性 (320)表明联合分布函数包含了X与Y相互联系的内容 一、条件分布与独立性

2、的一般概念 条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率PXx|A为F(x|A) 并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设AYy 且PYy0 则有 )(),(,)|(yFyxFyYPyYxXPyYxFY (320) 对给定的x和y 如果事件Xx与事件Yy独立 则有 FX(x)FY(y) (321)F(x y) PXx Yy PXxPYy 此时 F(x|Yy)FX(x) 一、条件分布与独立性的一般概念 条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率PXx|A为F(x|A) 并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 定义36(随机变量的相互独立性) 设随机

3、变量X Y的联合分布函数为F(x y) 边缘分布函数分别为FX(x) FY(y) 如果对任意实数x和y 恒有 F(x y)FX(x)FY (y) 则称随机变量X和Y相互独立 例35 设X服从0 1上的均匀分布 求在已知X0.5的条件下X的条件分布函数 解 当x0.5时 PXx X0.50 当x0.5时 PXx X0.5 F(x)F(0.5) F(x)0.5 提示要求5 . 05 . 0,) 5 . 0|(XPXxXPXxF 故先求 PXx X0.5 其中F(x)为X的分布函数 我们知道 . 1, 1, 10, 0, 0)(xxxxxF 例35 设X服从0 1上的均匀分布 求在已知X0.5的条件

4、下X的条件分布函数 解 当x0.5时 PXx X0.50 当x0.5时 PXx X0.5 F(x)F(0.5) F(x)0.5 其中F(x)为X的分布函数 我们知道 . 1, 1, 10, 0, 0)(xxxxxF 于是 当X0.5时 . 1, 5 . 0, 15 . 0, 5 . 05 . 0,xxxXxXP 例35 设X服从0 1上的均匀分布 求在已知X0.5的条件下X的条件分布函数 解 当x0.5时 PXx X0.50 当x0.5时 . 1, 5 . 0, 15 . 0, 5 . 05 . 0,xxxXxXP 从而可得 . 1, 1, 15 . 0, 12, 5 . 0, 0) 5 .

5、0|(xxxxXxF 5 . 05 . 0,5 . 05 . 0,) 5 . 0|(XxXPXPXxXPXxF5 . 05 . 0,5 . 05 . 0,) 5 . 0|(XxXPXPXxXPXxF 定理31(独立性的判断) 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立 即 对任意实数集A和B 有 PXA YBPXAPYB (322)定理32 如果随机变量X和Y相互独立 则对任意函数g1(x) g2(y) 均有g1(X)与g2(Y)相互独立 定义37(n个随机变量的相互独立性) 设X1 X2 Xn是n个随机变量 其联合分布函数为F(x1 x2 xn) 边缘分布函数

6、为Fi (xi)(i1 2 n) 如果对任意实数x1 x2 xn恒有 F(x1 x2 xn)F1(x1)F2(x2) Fn(xn) 则称X1 X2 Xn相互独立 (1) pi|j 0 (2)ijip1| 二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性 条件概率分布 设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为 PXxi Yyjpij i j1 2 则由条件概率公式 当PYyj0时 有 YjijjjijippyYPyYxXPyYxXP,| (323) 其中PXxi|Yyj是在事件“Yyj ”发生的条件下 事件“Xxi发生的条件概率 通常记作pi|j 不难验证 数列pi|j(i1 2 )满足概率分布所

7、要求的性质 二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性 条件概率分布 设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为 PXxi Yyjpij i j1 2 则由条件概率公式 当PYyj0时 有 YjijjjijippyYPyYxXPyYxXP,| (323) 其中PXxi|Yyj是在事件“Yyj ”发生的条件下 事件“Xxi发生的条件概率 通常记作pi|j 我们称 PXxi |Yyjpi|j i1 2 为已知Yyj的条件下X的条件概率分布 解 在Y0时 X的条件概率分布为 例36 设X与Y的联合概率分布如下表 求Y0时X的条件概率分布以及X0时Y的条件概率分布 8 . 0005. 02 . 02

8、 . 000, 00| 0YPYXPYXP 2 . 025. 005. 000, 10| 1YPYXPYXP 025. 0000, 20| 2YPYXPYXP8 . 0005. 02 . 02 . 000, 00| 0YPYXPYXP 2 . 025. 005. 000, 10| 1YPYXPYXP 025. 0000, 20| 2YPYXPYXP 例36 设X与Y的联合概率分布如下表 求Y0时X的条件概率分布以及X0时Y的条件概率分布 解 在X0时 Y的条件概率分布为 3102 . 01 . 01 . 000, 10| 1XPXYPXYP 323 . 02 . 000, 00| 0XPXYP

9、XYP 03 . 0000, 20| 2XPXYPXYP3102 . 01 . 01 . 000, 10| 1XPXYPXYP 323 . 02 . 000, 00| 0XPXYPXYP 03 . 0000, 20| 2XPXYPXYP 定理33(独立性的判断) 设X Y是离散型随机变量 其联合概率分布为 PXxi Yyjpij (i j1 2 )边缘概率分布分别为piX和pjY(i j1 2 ) 则X与Y相互独立的充要条件是 pijpiXpjY (i j1 2 ) (327) 例37 设X与Y的联合概率分布如下表 判断X与Y是否相互独立? 由于 PX0010203 PY10103015055

10、 而 PX0 Y101 可见 PX0 Y1PX0PY1 所以X与Y不独立 解 在前一节讨论中 我们得知 由联合概率分布可以确定边缘概率分布 但是由边缘概率分布一般不能确定联合概率分布 比较表32中的两个不同联合概率分布 我们注意到它们具有相同的边缘概率分布 应注意的问题 表32 具有相同边缘概率分布的两个不同的联合概率分布 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性 分析 设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布 由于Yy是一个零概率事件 ,|yYPyYxXPyYxXP (328) 的分子、分母均为0 因而直接根据条

11、件概率定义来考虑X的条件分布行不通 为此 我们通过极限来定义条件分布 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性 分析 设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布 |lim|0yYyyxXPyYxXPy ,lim0yYyyPyYyyxXPy yyyYyyyxyttftutufd)(d d),(lim0 )(d),(yfuyufYx (329) xYYXuyfyufyxFd)(),()|(| (330) )(d),(|yfuyufyYxXPYx (329) 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性 条件密度函数 设(X

12、Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y) 通过极限运算我们得到 对给定的y 如果fY(y)0 则称PXx|Yy为Yy的条件下X的条件分布函数 记作FX|Y (x|y) 类似地 可以讨论在Xx的条件下 Y的条件分布 由(329)知 记)(),()|(|yfyxfyxfYYX 称fX|Y(x|y)为Yy的条件下X的条件密度函数 )(),()|(|yfyxfyxfYYX 称fX|Y(x|y)为Yy的条件下X的条件密度函数 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性 设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y) 如果fX(x)0 fY(y)0 那么 由条件密度函数的定义 我们容易知道 密度函

13、数有下列乘法公式 f(x y)fX(x)fY |X(y|x)fY (y)fX|Y(x|y) (333)条件密度函数 )(),()|(|yfyxfyxfYYX )(),()|(|xfyxfxyfXXY ., 0,1|,121)(),()|(22|其他xyxxfyxfxyfXXY ., 0, 1|,12d),()(2其他xxyyxfxfX , 0, 1,1),(22其他yxyxf 例38(1) 设(X Y)是在D(x y)|x2y21上服从均匀分布的随机向量 求fY|X(y|x) 由于(X Y)的密度函数为 解 于是其边缘密度函数fX(x)为 于是 对一切x(|x|1) 有 ., 0,1|,121

14、)(),()|(22|其他yxyyfyxfyxfYYX ., 0, 1|,12d),()(2其他yyxyxfyfY 例38(2) 设(X Y)是在D(x y)|x2y21上服从均匀分布的随机向量 求fX|Y (x|y) 由于(X Y)的密度函数为 解 于是其边缘密度函数fY(y)为 于是 对一切y(|y|1) 有 , 0, 1,1),(22其他yxyxf 22211221)()1 (21 21e1 21yx 222112)()1 (21 21e1 21yx 222222222121212122)( 2)()(2)()1 (21 221e 21e1 21yyyxx 例 39 设) ; , ; ,

15、(),(222121NYX 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x) 解 由3 1 知 ), ,(211NX), ,(222NY 于是 解 )(),()|(|yfyxfyxfYYX 22211221)()1 (21 21e1 21yx 例 39 设) ; , ; ,(),(222121NYX 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x) 解 由3 1 知 ), ,(211NX), ,(222NY 于是 解 )(),()|(|yfyxfyxfYYX 故 在Yy的条件下 X服从正态分布 X)1 ( ),(2212211yN 对称地 在Xx的条件下 Y服从正态分布 )1 ( ),(222

16、1122xNY xyYXtutfufdd)()( xyYXYXttfuufyFxFyxFd)(d)()()(),( 定理34(独立性的判断) 设连续型随机向量(X Y)的密度函数为f(x y) 边缘密度函数分别为fX(x)和fY(y) 则X与Y相互独立的充要条件是 f(x y)fX(x)fY(y) (334) 必要性 如果X与Y相互独立 则对任意x y 有 证明 于是fX(x)fY(y)是(X Y)的密度函数 即 f(x y)fX(x)fY(y) xyYXttfuufd)(d)( xyYXtutfufyxFdd)()(),( 定理34(独立性的判断) 设连续型随机向量(X Y)的密度函数为f(

17、x y) 边缘密度函数分别为fX(x)和fY(y) 则X与Y相互独立的充要条件是 f(x y)fX(x)fY(y) (334) 证明 充分性 若f(x y)fX(x)fY(y) 那么 )()(yFxFyX 从而X与Y相互独立 例310(1) 设随机向量(X Y)的密度函数为 , 0, 10 , 10,4),(其他yxxyyxf 判断X与Y是否相互独立 解 易知 , 0, 10,2)(其他xxxfX ., 0, 10,2)(其他yyyfY 由于 f(x y)fX(x)fY(y) 故X与Y相互独立 例310(2) 设随机向量(X Y)的密度函数为判断X与Y是否相互独立 , 0, 10,8),(其他yxxyyxg , 0, 10),1 (4)(2其他xxxxgX 解 易知 ., 0, 10,4)(2其他yyygY 对任意满足1x0y00的点(x0 y0) 有g(x0 y0)0 但 0)1 (16)()(3020000yxxy