第二节可测函数收敛

1、第二节可测函数收敛使得且存在如果有关的命题中点是与设 , , 0 . , eEexEE. (2) )( ) 1 (meeE上恒成立；在. 上几乎成立或基本成立在则称E. , :反之不成立上几乎成立在则上几乎处处成立在若注EE如：狄利克雷函数是几乎连续的，但不是几乎处处连续.| )()(|, 0, 0,xfxfNnNExnxx有一致收敛: 记作| )()(|, 0, 0 xfxfExNnNn有注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn 于点点收敛: 记作ffnEeaf

2、fn于.feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于.0 ffnEEffn于0lim, 0|ffnnmE有|0,0,0,nffNn NE 有m|0,0,0,nffNnNE 有m0lim,0|ffnnmE有0, 0|不收敛于使得ffnmE|0,0,0,nffNnNE使得m.) , 2 , 1(, 有限的可测函数上是定义在可测集下面都假设eaEnffn. . , . 1EeaffEuaffnn于则于若：定理

3、注: 定理1表明几乎一致收敛比几乎处处收敛强使得且于是于由于 , , ,. kkneEekEuaff.1 )2 ; ) 1kmefeEfkkn上一致收敛在则令 , 1kkeP) , 2 , 1( 1)()(1kkememmPkkk而的任意性得由 . 0 :mPk111)()()(kkkckckkceEeEeEPEPE),( , , , )(001nffeExkeEPExnkkk从而使得于是. Eeaffn于所以证明： 例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛1-0.20.40.60.810.20.40.

4、60.81fn(x)=xn, mE设Euaffn于则. ,. Eeaffn于若. ,)(, , 0feEEfemEen上一致收敛于在使得可测子集即证明：首先证明一个引理., mE设|. .0,lim()0nnffNn Nff a eEmE若于，则有111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfx引理：111 :( )( ) :|( )( )|nnkkNn Nx fxf xxfxf x不收敛于证明这个引理要用到下面的结论knknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有11( )( ):1,1,|( )( )|nnkkfxf xNnNfxf

5、 x 不收敛使)(|1|*nfnfEEE由于 为零测度集，故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：下面证明引理0)(0.|111knnffNnNkffnEmmEEeaff于)(0)()(0)(|11|11ffNnNkffNnNnknEmEm0)()lim()(lim, 0|1|ffNnNffNnNffNnNnnnEmEmEmmE）（有时，从而当关于N单调减小0)(lim , 0 :| ffNnNnEm有由引理知11|20,0,0,()knkkkkffn NNmE从而有,)( ),(21|1|111kknkknkkffNnkffNnkEmmeEeeEe且可测，则令)(|11knkffNnkc

6、EeEeEE而)()(| )()(|11xfExfxfxfExNnNnknkkk一致收敛到在上即，有，故. Egoroff不可少定理中条件mE定义函数列设 ), , 0( E, 2 , 1 ) , 0) , 0( 1)(nnxnxxfn注：如：1. ),( 1 不是几乎一致收敛于然而易知：fnfn), , 0( , 1)( , 1, 00nenemeEe使得存在时当且因为时当取于是 ) , ,max, ,21 ,) , 00eEnxnNnNeEn1| 1)(|xfn结合定理1和定理2，我们有下面结论结论：则设 , mEEuaffEeaffnn于于. . 注：这个结论也为后面的L积分与极限交换只

7、要求函数列几乎处处收敛提供了理论基础，也进一步说明L积分比R积分优越. , . 3EffEuaffnn于则于若：定理使得且则于由于 , , 0 ,. eEeEuaffn. )2 ; ) 1mefeEfn上一致收敛在恒有时当于是 , , , , 0 eExNnN | )()(|xfxfn从而时即当 , , |eENnffn , |memEffn. Effn于所以证明：注: 定理3表明几乎一致收敛比依测度收敛强. , , nEeaffffEffjjnnn于使得的子序列则存在于若定理4： (黎斯(Riesz)定理)注: 黎斯定理只是说明依测度收敛的函数列存在几乎处处收敛的子函数列，并不能保证整个函数列几乎处处收敛，而且我们完全可以找到一个依测度收敛但不是几乎处处收敛的函数列.如教材P92 Eeaffn于若.Effn于，则 , mE设证明：