计算固体计算力学-第五章接触和碰撞问题

1、计算固体计算力学计算固体计算力学 1计算固体计算力学计算固体计算力学 2授课内容简介授课内容简介第五章第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解接触和碰撞问题及其有限元求解 接触问题的界面条件接触问题的界面条件 接触问题的求解方案接触问题的求解方案 接触问题的有限元方程接触问题的有限元方程 接触问题的有限元求解接触问题的有限元求解 接触分析中的若干问题接触分析中的若干问题计算固体计算力学计算固体计算力学 3引言引言接触现象接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性非永久性连在一起连在一起的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲的部

2、分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲击来传递。击来传递。研究现状：研究现状：简单的弹性接触问题在简单的弹性接触问题在19世纪末世纪末Hertz就已经开始研究，就已经开始研究，但只有在但只有在有限元方法及计算机有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有出现以后，接触问题的研究才有了长足发展，并达到了长足发展，并达到实用化程度实用化程度。接触实例：接触实例：齿轮的齿间啮合；汽（气）轮机及发动机中叶片齿轮的齿间啮合；汽（气）轮机及发动机中叶片与轮盘的榫接；两物体的撞击（动态接触）。与轮盘的榫接；两物体的撞击（动态接触）。 接触问题的特点：接触问题的特点：属属边界非线性问题边界非线性问题，

3、边界条件，边界条件不再是定解条件，而不再是定解条件，而是待求结果是待求结果；两接触体间；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变接触面积与压力随外载的变化而变，并，并与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。计算固体计算力学计算固体计算力学 4引言引言研究内容：研究内容： 对以上四方面内容，不少学者进行了研究，提出了不同的理论与对以上四方面内容，不少学者进行了研究，提出了不同的理论与方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。基于接触基于接触问题的难度、研究的不成熟、加之其

4、实用性，问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性，它一直是固体力学研究它一直是固体力学研究的热点。的热点。l接触模式问题：接触模式问题：描述两接触体间的力的传递、描述不同载荷描述两接触体间的力的传递、描述不同载荷下接触状态的变化；下接触状态的变化；（解决如何描述的问题）（解决如何描述的问题）l几何约束问题：几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件；表示接触面上两物体位移所要满足的条件；（解决到底以什么具体形式来描述、即怎样描述？）（解决到底以什么具体形式来描述、即怎样描述？）l摩擦定律问题：摩擦定律问题：反映接触面上力与位移或压力与切向力之间反映接触面上力与位移或压力与切向力之间的关系

5、；的关系；l求解方法问题：求解方法问题：建立数学方程并加以求解。建立数学方程并加以求解。 计算固体计算力学计算固体计算力学 5引言引言研究内容浅析：研究内容浅析：接触模式问题：接触模式问题：解决接触面上接触力的传递问题。解决接触面上接触力的传递问题。点面（点面（node-to-surface）接触模式：）接触模式：先将两接触体人为地分为先将两接触体人为地分为主动体（主动体（master body）与被动体（）与被动体（slave body），并假定主），并假定主动体网格中的一动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点个结点可与被动体表面上的任意一点（不一（不一定是网格结点）相接触。定是网格

6、结点）相接触。优点优点两接触体可根据自身情况剖两接触体可根据自身情况剖分网格。分网格。缺点缺点方法较复杂、编程难度大。方法较复杂、编程难度大。点点（点点（node-to-node）接触模式：）接触模式：将两接触体的接触面分成同样将两接触体的接触面分成同样的网格，使的网格，使结点组成一一对应的结点对结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传递，假定接触力的传递通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地按结点对来判断。按结点对来判断。优点优点直观、简单、易于编程。直观、简单、易于编程。缺点缺点对对于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到

7、。于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。计算固体计算力学计算固体计算力学 62022-4-276引言引言研究内容浅析研究内容浅析: （续）（续）几何约束问题：几何约束问题：与接触模式密切相关。实际上，在接触模式确定的与接触模式密切相关。实际上，在接触模式确定的同时，接触体边界的约束性也随之确定，即相应地以点对点形同时，接触体边界的约束性也随之确定，即相应地以点对点形式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。摩擦定律问题：摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑（我们都知道已被广泛采用的库仑（Coulomb）摩擦）摩擦定律，其中的摩擦系数

8、为常数。实际上，摩擦系数不仅取决于定律，其中的摩擦系数为常数。实际上，摩擦系数不仅取决于接触体的材料，而且与接触面光滑度、材料的加工过程、接触接触体的材料，而且与接触面光滑度、材料的加工过程、接触面润滑条件、表面压力等多种因素有关。即使是同样的接触物面润滑条件、表面压力等多种因素有关。即使是同样的接触物体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理非常复杂，因此，目前仍然多采用库仑摩擦定律，只是将静、非常复杂，因此，目前仍然多采用库仑摩擦定律，只是将静、动摩擦系数分开处理。动摩擦系数分开处理。计算固体计算力学计算固体计算力学 7引言

9、引言研究内容浅析研究内容浅析: （续）（续）求解方法问题：求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精力。在这方面，许多科学家倾注了大量的精力。数学规划方法：数学规划方法：利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统总势能极值（或驻值）问题，其涉及的命题可表述为：总势能极值（或驻值）问题，其涉及的命题可表述为：经典方法：经典方法：利用有限元方法，通过迭代进行求解利用有限元方法，通过迭代进行求解。l 寻求一组位移矢量寻求一组位移矢量 ；l 使系统总势能使系统总势能 取驻值；取驻值；l 并满足条件并满足条件 。 q 0h q 目前，接触问题分析的方法主要

10、还是经典方法，即从各种变目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法，即从各种变分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问题的控制方程。这是由于大型工程结构分析，大多都采用有限元题的控制方程。这是由于大型工程结构分析，大多都采用有限元方法，而经典方法仍然在此框架之内。方法，而经典方法仍然在此框架之内。二次二次规划规划问题问题线性互补问题线性互补问题引入单边约束条件引入单边约束条件计算固体计算力学计算固体计算力学 8第一节第一节 接触面的连接条件和接触判定条件接触面的连接条件和接触判定条件一、接触面的连接条件一、接触面的连接条件

11、在有限元位移法中，借助于恰当的选择位移模式和形函数可以保证连续体中单元内部的连续性和跨单元的连续性，而无需增加其他条件。但在接触问题中，除了各相互接触物体内部变形的协调性以外，还必须保证各接触物体之间在接触边界上变形的协调性，不可以相互侵入，同时还包括摩擦条件称为接触面的连续条件。 采用有限元法分析接触问题时，需要分别对接触物体进行有限元网格划分，并规定在初始接触面上，两个物体对应结点的坐标位置相同，形成接触对。整体和局部坐标系下，两个物体由于接触载荷引起的等效结点力矢量分别记为计算固体计算力学计算固体计算力学 9利用坐标变换关系可得如果考虑摩擦力，采用载荷增量法分析，离散化后的接触条件如下：

12、计算固体计算力学计算固体计算力学 10分离的结点对粘结结点对滑移结点对计算固体计算力学计算固体计算力学 11第一节第一节 接触面的连接条件和接触判定条件接触面的连接条件和接触判定条件二、接触面判定条件二、接触面判定条件 接触求解的迭代过程首先假定可能接触区内各接触点对的接触状态，根据相应的接触定解条件求解。但是，一般来说，开始假定的接触状态并不符合实际，如何确定三种接触状态的分界点是接触问题处理中最基本的，在有限元中，这一问题可以归结为确定积分界限的问题。而这一问题只有通过迭代过程才能求解，每次迭代必须逐个检查接触点对的接触状态是否需要修改。 接触点对状态判定条件只能用于分析滑动量较小的情况。

13、对于接触间有较大相对滑动的情况，须用点-线，点-面或面-面接触条件。这些判定条件要比点对判定条件复杂得多。计算固体计算力学计算固体计算力学 12接触判定条件接触判定条件计算固体计算力学计算固体计算力学 13第二节第二节 接触问题的罚函数法接触问题的罚函数法 产生接触的两个物体必须满足无穿透的约束条件，数学上施加无穿透约束的方法有拉格朗日乘子法，罚函数法以及直接约束法。用拉格朗日乘子法、罚函数法或增广拉格朗日乘子法将接触约束条件引入到系统的总泛函中，再根据变分原理或虚功原理得到系统的总体平衡方程，求解的迭代过程实际上是一个搜索接触状态的过程。Abaqus/Standard中应用的是罚函数法将约束

14、条件引入势能泛函分析。计算固体计算力学计算固体计算力学 14一、接触点对一、接触点对 将被动接触块上的结点P和主动接触块上与其接触的Q点构成一个接触对。它们在tk+1时刻的坐标的坐标和位移分别是点Q一般不是单元的结点，其坐标和位移可由所在接触块上结点和位移插值得到。假设主动接触块是二维的4结点单元，则有1111,kkkkPPQQxuxu41,QiQQiixNx41,QiQQiiuNu1kkkxxx1kkkuuu 其中： -Q点在接触块的自然坐标。QQ计算固体计算力学计算固体计算力学 153 31234cNINNNN3 3iiNN IccPQuuN d 接触对P和Q间的相对位移为。 其中1234

15、cTTTTTPduuuuu1 2 3 4, , ,i 为方便引入接触条件，引入局部坐标系TTccPQPQuuTuuT N d计算固体计算力学计算固体计算力学 16二、有限元方程二、有限元方程 粘结接触状态 由罚函数法有，局部坐标系下一个接触点对的接触力引起的等效结点力向量1kTccFT N dd 和罚系数有关的矩阵 整体坐标系下接触力等效结点力向量1TTkcTcccFNTT N dNTd 11kckcFK dF -系统的等效结点接触力向量对称阵 代入离散系统的平衡或运动方程1111kkkkcMdKKdFF计算固体计算力学计算固体计算力学 17第三节第三节 接触单元接触单元 应用有限单元法分析接

16、触问题，一种最为直接的方式是在接触面上设立一种特殊形式的单元，一般称为接触单元，也称为界面单元。通过这些单元与接触物体的连接、组装，建立接触系统的整体的平衡方程。常用的接触单元，有两结点单元、岩土力学中的Goodman单元、无厚度的四边形单元、薄层单元及无厚度六面体空间单元等。具体内容参考线性与非线性有限元及其应用，郭乙木等著计算固体计算力学计算固体计算力学 18第四节第四节 Abaqus中的接触问题中的接触问题计算固体计算力学计算固体计算力学 19计算固体计算力学计算固体计算力学 20计算固体计算力学计算固体计算力学 21计算固体计算力学计算固体计算力学 22计算固体计算力学计算固体计算力学 23计算固体计算力学计算固体计算力学 24计算固体计算力学计算固体计算力学 25计算固体计算力学计算固体计算力学 26计算固体计算力学计算