大学概率论复习题

1、百度文库1、设 AB , P(A) 0.4, P(B) 0.3,求 P(A B)()2、袋中有a个白球和b个黑球(I)，有放回；(2)无放回抽取。求 A： “第k 次取得白球的概率”。(,工)a b a b3、用某法诊断肝Ca,记A： “确有病”，B： “被诊断有病”，若P(B|A) 0.95P(B| A) 0.9,又设在人群中 P(A) 0.0004,求:P(A|B)()4、设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25% 35% 40% 各个车间成品中次品率分别为 5% 4% 2%./ (1)从该厂产品中任取一件螺钉是不合格品的概率.(2)已知从这批产品中随机

2、地取出的一件螺钉是不合格品，问这件产品由哪个车间生产的可能性大.(D表示“不合格品" ，P(A|D) 0.362,P(B|D) 0.406 , P(C | D) 0.232所以是B车间的可能大)5、(p36,第 19 题)(1)若 P(A|B) P(A|B),试证 P(B| A) P(B| A) ； (2)设0 P(B) 1,试证事件A与B独立的充要条件是P(A|B) P(A| B) 06.某人有3发子弹，每次命中率是 2/3 ,若命中就停止射击否则一直独立射击 到子弹用尽。求：耗用子弹的数量 X的概率分布(列)。X123Pr.2/3(1/3)(2/3)(1/3)(1/3)(1/3+

3、2/3)7、电灯泡寿命在1000小时以上的概率是，求三个灯泡在使用1000小时后最 多只有一个坏了的概率。(C0(0.2)3 C1(0.81)(0.22)8、盒内有2个旧的3个新的共5个乒乓球，从中任取2个，记 X为取到的新 球的个数.(1)求X的分布律(2)求P(0 X 2)和P(0 X 2).解:012P1C52-1 - 1C3c2CTC32JC52(2)；9、甲乙两人比赛乒乓球，甲赢的概率是，乙赢的概率是，问：三局两胜制还是五局三胜制对甲有利？ (,)_2_1_1_1P(2:0 2:1) 0.6(C2(0.6) (0.4) ) 0.6 0.648_3_2_2_1_2_2_2P(3:0 3

4、:1 3:2) 0.63 (C32(0.6)2(0.4)1) 0.6 (C42(0.6)2(0.4)2) 0.6 0.6821810、射手对目标独立射击5发，单发命中概率为，求(1)恰好命中两发的概率；(2)至少命中一发的概率.(1) 0.2304 11、已知随机变量X的密度函数为f(x)|x|Ae求：(1) A值;P0 x(2) 0.98976x1；F(x)(A 1/2, P011 dx (12F(x)/2,x12、设 p(x) 2 x0'13、地铁每隔5分钟有xelse12,求F(x)(2x0x221 xX10122班车通过，某乘客在他候车时间不超过3分钟的概率。(3/5'

5、14、设X和Y是两个相互独立的随机变量率密度为fY(y)1 y1e 2 y 020 y 0(1) 求X和Y的联合概率密度(2)设含有a的二次方程为a2 2Xa解：(1) f(x,y)fX(x) f，y)Y 01 2e0(2)15、设某种灯泡的寿命(2)任一灯泡寿命超过5分钟内任一时刻到达车站，求X在(0 1)上服从均匀分布Y的概试求a有实根的概率X E(),密度：p(x)1250小时的概率;(3)x 1, y其他x-5000e0三个新灯泡在0。(1)求 j1250小时以后1250)2P(1250)1 )有 P(|z| h) 2 (h) 1恰有一个损坏的概率。( ; e，4; C；P(50001

6、6、.设zN(0,1),求证：对任意 h 0, 17、某汽车加油站的油库每周需油量 X(kg)服从N (500, 502)分布.为使该站无油可售的概率小于，这个站的油库容量起码应多大?/(容量616.5(kg) 18.乘车赶火车，线路一穿过市区，需时_ZXi N(50,100),线路二高架绕行,需时X2 N(60,16) o若分别剩余70或65分钟时间，如何决策？ ( 70分钟高架绕行；65分钟穿过市区）19、.设 X B(3,0.4) , YX(3 X)P(Y 1)()20、设 X fX (x)x/8, 00,其它求Y 2X8的概率密度.(fY(y)(y 8)/32, 8 y160,其它若.

7、1X之密度是p(x)0 x else，求Y eX的概率密度。22.23、y0,1 y eelsez N(0,1),求的概率密度。1ey 20,y万，y 0y 0设随机变量X概率密度是pX（x）的分布函数，求随机变量 Y F（X）y 1 时，FY(y) 1 ； 0 < y < 1 时,24、1_3 x0,的分布函数。FY(y) y)盒内有2个旧的3个新的共5个乒乓球，从中任取球的个数。（1）求X的分布律和分布函数;x 8 , F (x)是 X elsey 0 时，Fy(y) 0;2个，记X为取到的新(2)求 P(0 X 2)和P(0 X 2)。012Pr.1C52c3c2 CTC32

8、C52分布函数:x(,0) y0,1)1,2)2,)F(x)0125、某公共汽车站从上午7点起每15分钟发一趟车，如果乘客到达车站的时问 是在7:007:30之间均匀分布的随机变量，试求乘客在车站等候（1）26.27、28.29、30.31、32、不到5分钟的概率；(2)超过10分钟的概率。(1/3, 1/3 )若连续型随机变量 X的密度函数p(x)是偶函数且连续，F(x)是其分布函数，对任意实数x,计算F(x) F( x)0 ( 1 )c如果一cT (一 , /)是X的分布函数，则p(X 0)=? (1/2)1 e /3y2 / A3 0 x A设X的密度是p(x) 3x /A , 0 x

9、A且P(X 1) 7/8 ,求A 0, elsee (x y) 0 x. y设二维向量(X,Y)的密度是：p(x, y) e ,y 。求：(1)0, else(X,Y)的分布函数；(2) (X,Y)落在区域 G (x,y)|x 0, y 0,xv y 1 内x ye设r.V. (X,Y)的分布律是: X'12311/61/91/1821/3a的概率。(0 x, y 时，F(x,y) o°e(xy)dxdy (1 e x)(1 e y)否则为求：a, B使得随机变量 X 和Y独立。(1/3, 1/9 ) 设随机变量X和Y的分布列分别是：X-101Y01Pr.1/41/21/4P

10、r.1/21/2且 P(X Y 0) 1。(1)求r.V. (X,Y)分布表；(2)问：X 与Y独立 吗？YX X X01Pi?-11/401/4001/21/2 n1 1/401/4P?j1/21/21不独立。设.X与Y独立，密度函数分别是:Px(X)5, 0 x 0.20, elsepY(X)5e5y, y 00, y 0求 P(X 0,0 Y 0.2) (11)e33.设X服从参数1的指数分布，Y服从参数立，求 PX 2Y.2的指数分布，且X与Y独解:) 2ex2y x Qy 0 x, y /0 其它P X 2Yx 2y .dx x2e dy234、设二维随机变量之密度函数为f(x, y

11、)6e(2x3y) x 0,y 00 其它求：(1) 边缘密度fX(x), fY(y);(2) 讨论X,Y之独立性.解：(1)Px(x)2e2xx 0其它Py(y)3e 3y0y 0其它(2)独立35、的分布列分别是:X-101Pr.设随机变量X和YY012Pr.的分布列且X36、设X P( 1), Y P( 2) , X 与 Y 独立，求证：Z X Y P( 12)。37、设X和Y相互独立，概率密度分别如下所示。求Z XY之密度。Px(x)1, 0 x 10, elsePY(y)ey, y 00, y 00z yz解:Pz(z)e dy 1 e0z yz 1e ydy e z(e 1)38、

12、设某种型号的电子元件之寿命近似服从N(160,202),随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180小时概率。(0.1587)4) 39.设X和Y相互独立且都服从 N(0, 2),求随机变量ZJX2 Y2 的/ z2概率自度。(Fe0,40、(1)求 k； (2)求 P(X41、设(X,Y)的概率密度是:(1/8, 3/8, 27/32, 2/3.设(X,Y)的概率密度是:(1)k； (2)p(x, y)k(61,Y 3) ; (3)P(x, y)边际概率密度函数。x y), 0 x 2,2 y0,P(Xkx2y,0,else1.5) ; (4) P(Xy elseY 4)42、(p.(21/4

13、,Px (x)21 2"4、.x (1 x ),180,elsePY(y)7y52,0 y0, else88,11#)设某种商品的周需求量相互独立，概率密度都是P(t)te t t 0, ，求(1)两周；(2)三周的需求量的概率密度。0, t 0P (z)43、表 4-1常见分布的概率分布及其数学期望和方差。44、.设X与Y相互独立，分布律分别如下所示。求X8 910Pr.E(X Y) 84.63Y8910Pr.E(X Y)45.设(X,Y)的分布表如下所示，求 E(X),E(Y) (0.7, 0.4)X、-10Pi?01p?j1kxa 0 x 1(k,a 0)0 其它46班车载有2

14、0人，沿途设有10个车站，乘客在每个车站等可能下车。若到达一个站点时无人下车就不停车，求停车次数X的数学期望。(9 )47.连续型随机变量己的概率密度为(x)又知E± =,求k和a的值。(a=2, k=3)48、已知 E(X)=-1, D(X)=3 ,求 E3(X2-2)49.设X的密度是p(x) 2 x 01 x 2 ,求 E| X EX | ( 1/3 )else50、假定对茶叶的需求量X U 2000,4000,并假定：每售出1单位茶叶可赢利3万，积压1单位则亏损1万。问：如何备货可使收益最大？ ( 3500 )251、设X与Y相互独立且均服从 N(0,1)，求EZ E(Jx2

15、 Y2)() 52、.设C是任意常数，求证：DX E(X C)2 53、由 D(X Y) D(X) D(Y)即可断定(A )A. X与Y不相关 B. (X, Y)的联合分布函数是 F(x,y) Fx(x)Fy(y)C. X与Y相互独立 D.相关系数 x y 154、设 XB(n, p),求 E(2X 1) 2np 155、设X服从二项分布B (n,p)，下面四个式子中正确的是(B )/A. E(2X 1) 2npB. D(2X 31) 4np(1 p)C. E(2X 1) 4npD. D(2X 1) 4np(1 p) 156.设 EX,DX ( 0)均存在，求YEX之期望(0)和方差(1)。1

16、 n右令 X Xi n i 1S21 n _(Xi X)2 ,求 EX, DX, ES2 (n 1 i 11 22、/一，)/n/58.家联营的商店每两周售出的某商品之数量 (公斤)分别是X1,X2,X3,X4,X5 ,独 立且分别服从 N(200,225), N(240,240), N(180,225), N(260,265)和N(320,270)。(1)求5家商店两周的总销量之均值和方差；(2)若商店每两周进货一次，为了使新的供货达到前不会脱销的概率大于，问：商店的仓/库应至少储存多少(公斤)该产品？ ( 1200 ; 352; 1282 ) 59 、.电网向10,000盏灯供电，设晚上每

17、盏灯开灯的概率是， 各个灯独立开关， 试估计同时有68007200盏灯开着的概率。()60 、.设(X,Y)分布律如下所示，求 cov(X,Y) ( -1/8 )y012Pi?04/164/161/169/1614/162/1606/1621/16001/16P?j9/166/161/16161 .设 X 与Y同分布，令 U X Y, V X Y,证明：U与V不相关。62 .设 X, Y, Z 满足 EX EY 1, EZ 1, DX DY DZ 1, XY 0XZ YZ 1/2,求 E(X Y Z), D(X Y Z) ( 1,3 )163 .已知(X,Y)服从二维正态分布，若X N(1,

18、32) ,Y N(0, 42),且xy 2Z X Y,求 E(Z), D(Z).( EZ 1 , DZ 37)64、已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42)”且X与Y的相关系1 X Y 数XY 一,设Z 一，求Z的数学期望E(Z)和万差D(Z); (1/3,3) 23 265. (,4# )游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早上八点的第分钟到达底层候梯处，且在(0, 60)内均匀分布，求该游客等候时间的 数学期望。()66. （, 7#）设某种商品周需求量XU 10,30,经销商店进货数量为区间10 ,

19、30中的某一整数且商店每销售一单位商品可获利500元。当供大于求时削价处理，每处理1单位商品亏损100元，若供不应求则可从外部调剂供应， 此时每1单位商品仅获利300元。为使商店每周所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最小进货量。1 21 ）,0 Y k67. （, 13#）设 YE（1）, Xi1 Y k （八1,2）, （1）求（X1,X2）分布律；(2)求 cov(Xi, X2),、X2 Xi 01Pi?0110P (y)dy 1 e01 e 112, 、，121 P (y)dy e e2 p (y)dy e 21 eP?j1 e22 e12X1X24XiXe 1123e ecov

20、(X1,X2) e2 e 3(e 1 e 2)(e 2 e68.(,15#)(Cauchy-Schwarz不等式)设 E 2, EE()2 E( 2) E( 2)69.(,11#）设 A、BA发生A发生'是两随机事件，定义B发生B发生70.相互独立且都服从Emax(Emax(1, 1)Emin(Emin( 1, J2都存在，证明不相关 A与B独立2),求 Emax(,)和 Emin(,)11 2到40点之间的概率。71.72.独立地掷10颗骰子，求掷出的点数之和在 3073、设一颗螺丝钉的重量是随机变量，期望值是 50克，标准差是5克，求一 盒（100颗）螺丝钉重量超过5100 g的概

21、率。（）一家保险公司有一万人参保，每年每人付 12元保费。在一年内这些死亡 的概率都为，死亡后家属可向保险公司领取 1000元。求：（1）保险公司 一年的利润不少于6万元的概率；（2）保险公司亏本的概率。（，0 ）74、甲、乙两个戏院在竞争1000名观众.假定每个观众随意地选择一个戏院，且观众之间选择是彼此独立的，问每个戏院应设有多少个座位才能保证因缺少 座位而使观众离去的概率小于1%? (537)75 .设总体服从E，求样本Xi,X2,.,Xn之联合密度n /n i 1xi诸 X 0P(Xi,X2,.,Xn)e°else76 .设总体服从B(1, p),求样本X1,X2,.,Xn之

22、联合分布律。xn xp(X1,X2,.,Xn)p (1 p)1 no77.设总体服从 N( ,), X1,X2,., Xn 是样本，(Xi) ?i 11 n22(i ) (n)i 178.设X1,X2,.,Xn (n > 1)为来自标准正态总体的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则有(-31)3Xi2i 1 nXi2i 43Xi2(n3Xi2 i 4F(3,n 3)79、设总体服从X是样本均值,A.产22B.X D.5S22八54s2280、设总体X N N (2,42), (X1,|,Xn)为总体X 一个样本,则4/ nN N(0,1)1 92一 (Xi %)2,2 i 7、

23、,2(丫1 丫2)0),从总体中抽取容量为2n的简单随机样本X1,.,X2n (n 2),其样本均值是X12n2nXii 181、设Xi,X2,.，Xn是取自正态总体的一个样本，X N N(0, 2),若,a(Xl X89.设总体服从E(),其中 0,未知，求 之矩估计量 ?0 (=) X 90.设总体服从U0,b,其中b 0,未知，求b之矩估计量工(2X ) 91. (,4#)设电话总机在某时间段内呼叫次数服从参数为的Poisson分布, 现有42个数据如下所示。求参数的极大似然估计。(40/21)服从 t 分布，则常数a应取何值？( .Xs X2 x182、设Xi,X2,Xs是来自正态总体 N(0, 2)的样本，常数c取何值时统计量c(2X； X2 X3)是方差 2的无偏估计量，X )/io 83. 设 Xi,X2,.,Xio 为 N(0,0.32) 一个样本，求 P( i2 1.44)()184. 求总体 N(20,3)的容量分别为10和15的两个独立样本均值、X 和Y 差的绝对值大于之概率。()(p151,习题 6-4,第 9题)85. (p151, 6#)设总体服从 E( ), X1,X2,., Xn 是样本，求(1) EX 和2111、DX ; (2) E(S ) (一, u)n86. (p151, 9#)设总体服从 N( , 2),