物理第四章波动学基础

1、第四章第四章 波动学基础波动学基础 波动是波动是一种普遍而重要的物质运动形式一种普遍而重要的物质运动形式波波机械波机械波 (mechanical wave): 机械机械振动在介质中的传播过程振动在介质中的传播过程电磁波电磁波 (electromagnetic wave): 变化变化的电场和磁场在空间的传播过程的电场和磁场在空间的传播过程 振动状态的传播就是振动状态的传播就是 波动波动 (wave)，波波(声波声波)水上的涟漪水上的涟漪是一种表面波是一种表面波 发射发射电磁波电磁波装备相控阵雷达的中国导弹驱逐舰装备相控阵雷达的中国导弹驱逐舰 机械波和电磁波虽然机械波和电磁波虽然本质本质上不同，但

2、有上不同，但有相似的数学描述，有波动的相似的数学描述，有波动的共同特征共同特征， 即都具有一定的即都具有一定的传播速度传播速度，都伴随着，都伴随着能能量量的的传播传播，都能产生，都能产生反射反射、折射折射、干涉干涉和和衍衍射射等现象，这些性质称为等现象，这些性质称为波动性波动性（undulatory property） 实验表明，静止质量不为零的实验表明，静止质量不为零的粒子粒子，如，如电子、质子、中子等，至任何实物物质，除电子、质子、中子等，至任何实物物质，除具有具有粒子性粒子性外，也都具有外，也都具有波动性波动性，这种波称为这种波称为物质波物质波（matter wave）4.1 机械波的产

3、生和传播机械波的产生和传播一、机械波的产生条件一、机械波的产生条件 把传播波的把传播波的物质物质称为称为介质介质，由，由弹性力弹性力联系着的联系着的质点质点（或（或质元质元）所）所组成组成的介质，的介质，称为称为弹性介质弹性介质（elastic medium）如如气体气体、液体液体和和固体固体均为弹性介质均为弹性介质1. 产生条件产生条件: 波源波源、介质介质 做机械振动的做机械振动的物体物体称为机械波的称为机械波的波源波源 如果波动中介质如果波动中介质各部分各部分振动的回复力是振动的回复力是弹性力弹性力，则称为，则称为弹性波弹性波（elastic wave）机械波机械波不一定不一定都是弹性波

4、都是弹性波2. 波源和介质波源和介质波速波速如如:水的表面波不是弹性波水的表面波不是弹性波,因为回复力是因为回复力是重力重力和和表面表面张力张力,水波中的质元是做圆水波中的质元是做圆（或椭圆）运动的。（或椭圆）运动的。 在机械波中，在机械波中，横波横波只能在只能在固体固体中出现；中出现；纵波纵波可在可在气体气体、液体液体和和固固体体中出现。有些波既不是中出现。有些波既不是横波也不是纵波。液体表横波也不是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。是单纯的纵波或横波。软绳软绳软弹簧软弹簧波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向波的传播方向波的传播方向质点振

5、动方向质点振动方向二、横波和纵波二、横波和纵波横波横波 (transversal wave): 质点的振动方向和波动质点的振动方向和波动方向相方向相垂直垂直纵波纵波 (longitudinal wave): 质点的振动方向和波质点的振动方向和波的传播方向相的传播方向相平行平行横波横波（仅在固体中传播（仅在固体中传播 ）t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = T t = 3T/4 纵波纵波（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播） 介质中一个质点的振动引起介质中一个质点的振动引起邻近邻近质点的质点的振动，邻近质点的振动又引起振动，邻近质点的振动又

6、引起较远较远的质点的振的质点的振动，于是振动就以一定的速度动，于是振动就以一定的速度由近及远由近及远地向各地向各个方向传播出去，形成波动。个方向传播出去，形成波动。 (1) (1)波的传播不是介质质波的传播不是介质质点点的的 传播，介质本身并不随波迁移传播，介质本身并不随波迁移,各质点只以周期性变化的振动速度在各质点只以周期性变化的振动速度在各自各自的平衡位置附近振动。的平衡位置附近振动。 (2)“ (2)“上游上游”的质的质点点依次带动依次带动“下游下游”的质的质点点振动，振动，某时刻某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于某质点的振动状态将在较晚时刻于“下游下游”某处出现，某处出现，波是相位的

7、传播波是相位的传播。 (3) (3)波是振动波是振动状态的传播状态的传播，波向外传播的只是运动形式波向外传播的只是运动形式。(4)(4)同相点同相点：质：质点点的振动状态相同；的振动状态相同；相邻相邻 - 波长波长 - 相位差相位差2 说明说明 理论和实验表明，各种理论和实验表明，各种复杂复杂的波都可的波都可分解分解为横波和纵波来研究为横波和纵波来研究波形曲线波形曲线( (波形图波形图) )o xut 不同不同时刻时刻对应有不同的波形曲线对应有不同的波形曲线 y ab xxu传播方向传播方向 波形曲线能反映横波、纵波的波形曲线能反映横波、纵波的位移位移情况情况图中图中b点比点比a点点的相位的相

8、位落后落后 沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质元的相位依各质元的相位依次次落后落后波动的波动的基本特征基本特征 波速与质点的振动速度波速与质点的振动速度不同不同，质点的振动，质点的振动方向与波的传播方向并方向与波的传播方向并不一定不一定相同。相同。波前波前波面波面波线波线波面波面 (wave surface):某某一时刻波场中一时刻波场中相位相相位相同同的各点组成的曲面的各点组成的曲面三、波面和波线三、波面和波线 波场波场 (wave field):波传播到的空间波传播到的空间波线波线(波射线波射线) (wave ray): :波传播方向的射线波传播方向的射线波前波前(波阵面波阵面) (w

9、ave front):某一时刻波源某一时刻波源最初最初振动振动状态传到的波面状态传到的波面各向各向同性同性介介质中质中, 波线波线与波面与波面垂直垂直平面波平面波球面波球面波(plane wave) 波面为平面波面为平面(spherical wave)波面为球面波面为球面三、波的传播速度、波长、周期和频率三、波的传播速度、波长、周期和频率 波长波长 (wave length):同一波线上同一波线上两个相邻两个相邻的的同相点同相点之间的距离之间的距离o xuty 周期周期 T (period): 波传过波传过一个波长一个波长所需时间所需时间 频率频率 (frequency): 周期的周期的倒数倒

10、数，介质介质质点质点(质元质元) 的振动频率，即单位时间传过的振动频率，即单位时间传过介质中某点的波的介质中某点的波的个数个数 波速波速 u (wave velocity): : 单位时间内，一定的振动单位时间内，一定的振动状态状态在空间传播的在空间传播的距离距离 Tu又称又称相速度相速度 (phase velocity): (相位传播的速度相位传播的速度) (1) 波的频率波的频率等于等于波源振动频率波源振动频率, ,与与介质介质无关无关, ,介质是连续的介质是连续的, , (2)波速波速取决取决于于介质的介质的弹性弹性和和惯性性质惯性性质, 即介质的即介质的弹性模量弹性模量和和密度密度.

11、弹性大、密度小弹性大、密度小, 则波速大。则波速大。(4)弹性波在给定介质中的弹性波在给定介质中的传播传播, ,存在一个存在一个频率上限频率上限如如: :高度高度真空真空中分子中分子间的距离间的距离极大极大, ,不能不能传播声波传播声波(3)在在液体液体和和气体气体只能只能传播传播纵波纵波, ,其波速为：其波速为：Ku K为介质的为介质的容变容变弹性弹性模量模量; ; 为质量密度为质量密度如如: :各向各向同性同性均匀均匀固体固体介介质质横波横波波波速：速：Gu 在同一种在同一种固体固体介质中介质中, ,由于固体材料切变由于固体材料切变弹性模量弹性模量G小于杨氏小于杨氏弹性模量弹性模量Y, ,

12、所以所以横波横波波速比波速比纵波纵波波速波速小小G为介质的切变弹性模量为介质的切变弹性模量 为质量密度为质量密度注意注意4.2平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 波的能量波的能量西班牙画家、雕塑家毕加索的作品西班牙画家、雕塑家毕加索的作品 波函数波函数 (wave function): 用用数学数学函数式来描述函数式来描述介质中各质点相对其平衡位置的介质中各质点相对其平衡位置的位移位移随随时间时间变化变化的函数的函数, 又称又称波动方程波动方程 (wave equation)一、平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数 简谐波简谐波 (simple harmonic wave): 当波源做简

13、当波源做简谐振动时谐振动时, 介质介质中各中各质点质点也做简谐振动也做简谐振动 简谐波又称简谐波又称余弦波余弦波或或正弦波正弦波, 是最简单、是最简单、最基本的波最基本的波. 可证明可证明: 任何任何复杂的波可以由复杂的波可以由若若干干个频率不同的个频率不同的简谐波简谐波叠加而叠加而合成合成 平面简谐波平面简谐波 (plane simple harmonic wave):波面是波面是平面平面的简谐波的简谐波 设有一平面简谐波在设有一平面简谐波在均匀无限大均匀无限大、无吸收无吸收的介质中传播的介质中传播, 波速为波速为u, 设原点设原点 x = o 处的处的质点的振动方程质点的振动方程 设设B为

14、为x 轴上任一点轴上任一点, 离开原点离开原点o的距离为的距离为x，则则B 点在点在t 时刻的位移为时刻的位移为)cos(00tAyoxyBxut质点质点o在在t 时刻离开时刻离开平衡位置的位移平衡位置的位移 在任取一条在任取一条波线波线上上,任取一点任取一点o为坐标原点建为坐标原点建 x 轴轴, 正方向与波速正方向与波速u相同相同, y为为x 处质点偏离平衡位置的处质点偏离平衡位置的位移位移0cosuxtAyuTT,2202cosxTtAy 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数: 简谐振动沿简谐振动沿x 轴方向轴方向传播的数学表达式传播的数学表达式02cosxtAy02cosxtAy0cos

15、kxtAy K = 2 / ，为，为波数波数 (wave number). (角波数角波数): 表示表示在在2 的长度内所包含完整波的的长度内所包含完整波的数目数目位移位移y 是是x、t 的二元函数的二元函数 ,其其物理物理含义：含义： ),(txy )cos(2cos01tAxtAy012x(1) 若若x为某一定值为某一定值x1时时,将将x = x1代入波函数代入波函数,得得 y 是是t 的函数的函数,上式转为上式转为x1处的质点的处的质点的振动方程振动方程得同一时刻距离原点得同一时刻距离原点x1 , x2 两振点的两振点的相位差相位差)(21212xx 表明表明: 具有具有不同不同x 值的

16、各质点都做值的各质点都做同振幅同振幅、同频率同频率的的简谐振动简谐振动，只是，只是初相不同初相不同为为x1处质点振动的处质点振动的初相初相 (2) 若若t为某一定值为某一定值t1时时, (在在 t1时刻同时观察时刻同时观察波线上的所有质点波线上的所有质点), 则波函数为则波函数为 )(2cos2cos001txAxtAy y 是是 x 的函数，上式为在的函数，上式为在t1时刻波线上时刻波线上各质点离开它们的平衡位置的位移分布，各质点离开它们的平衡位置的位移分布，称为称为 波形方程波形方程以以y 为纵坐标为纵坐标, 以以x 为横坐标为横坐标, 得一条得一条波线曲线波线曲线 xt1uyo波线上各点

17、的简谐运动图波线上各点的简谐运动图xyt1t1 + t xtu u0 (3) 若若 x 和和 t 都在变化，波函数表示波线上都在变化，波函数表示波线上每个质点在不同时刻的每个质点在不同时刻的位移位移在空间传播着的波动称为在空间传播着的波动称为行波行波 (travelling wave)(4) 若波动沿若波动沿x轴的负方向传播，轴的负方向传播， 则则B点振动比点振动比0 点早点早x/u 的时间的时间 ( B点在点在t 时刻的振动是时刻的振动是0点点在在(t+x/u) 时刻的振动时刻的振动)，Bx则则B点的振动方程为点的振动方程为0cosuxtAy02cosxTtAy02cosxtAy0coskx

18、tAy0cosuxtAy0222)(cosuxtAty上式为沿上式为沿x轴轴负方向负方向传播的传播的平面简谐波的平面简谐波的波函数波函数(5)对波函数求二阶偏导数对波函数求二阶偏导数02222)(cosuxtuAxy222221tyuxy一切以速度一切以速度u沿沿x方向传方向传播的平面波要满足的方播的平面波要满足的方程程 (平面波的平面波的波动方程波动方程)方程的解方程的解0cosuxtAy例题例题4-1 已知波函数已知波函数 ,求：波长、周期和波数。求：波长、周期和波数。cmxty01. 05 . 2cos5xty201. 025 . 22cos502cosxTtAy解：解：方法一，参量比较

19、方法一，参量比较得：得：T = 0.8S， = 200cm，u = 250cm/s比较比较(3) 波数为波数为方法二，从物理量的含义入手方法二，从物理量的含义入手 (1) 波长是同一时刻波长是同一时刻t，波线上相位差为波线上相位差为2 的两点的两点间的距离，设这两点的坐标为间的距离，设这两点的坐标为x1、x2，则，则2)01. 05 . 2(01. 05 . 221xtxt得得: = x2 - x1 = 200cm (2) 周期为相位传播一个波长所需时间，即周期为相位传播一个波长所需时间，即t1时刻时刻 x1 点的相位在点的相位在 t2 = t1 + T 时刻传播至时刻传播至x2点处点处scm

20、ttxxu/2501212)01. 05 . 2(01. 05 . 22211xtxtsttT8 . 012：得得例题例题4-2 平面简谐波方程平面简谐波方程 如何将此方程化成最简形式如何将此方程化成最简形式?62cosuxtAy6)(2)(2uxtuxt)(2uxtxt的相位的相位位置位置时刻，新坐标原点平衡时刻，新坐标原点平衡解：解： 移动坐标原点或改变计时起点都可使原移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初相为零点初相为零(1)移动坐标原点移动坐标原点,选计时起点相位为零的一个质点选计时起点相位为零的一个质点为新的坐标原点为新的坐标原点6)(2uxtxt的相位的相位位置位置时刻，原坐标原点

21、平衡时刻，原坐标原点平衡12xx表明表明:坐标原点沿坐标原点沿x轴正方向移动轴正方向移动 /12(2) 改变计时起点改变计时起点 设原计时起点为设原计时起点为t, 相对相对新计时起点为新计时起点为t,使原点初相位为零，得使原点初相位为零，得6)(2)(2uxtuxt12Ttt表明表明:计时起点向前移计时起点向前移T/12二、波的能量二、波的能量（一）波的能量（一）波的能量 波的能量波的能量是指介质中是指介质中这些动能和势能这些动能和势能之和之和设有一平面简谐波在设有一平面简谐波在密度密度为为 的弹性介质沿的弹性介质沿x轴轴正向传播正向传播,在介质中在介质中x处处,取一体积取一体积dV (体积元

22、体积元), 质量质量dm= dV,当波传到体积元时当波传到体积元时,振动速度为振动速度为)(cosuxtAy)(sinuxtAtyv)(sin)d(21(dm)21d222uxtAV2kvE振动动能振动动能弹性势能弹性势能)(sin)d(21d222uxtAVpE体积元体积元总能量总能量)(sin)d(ddd222uxtAVpkEEE如如:若将一软绳若将一软绳(弹性介质弹性介质)划分为多个体积元划分为多个体积元,在波动中在波动中,各体积元产生不同程度的弹性形变各体积元产生不同程度的弹性形变上下上下振动振动时刻波形时刻波形振速振速 最小最小振速振速 最大最大形变最小形变最小形变形变最大最大xy0

23、(1)在行波传播过程中，在行波传播过程中，体积元体积元的动能和的动能和势能的势能的时间关系式相同时间关系式相同，大小相等，相，大小相等，相位相同，同时达到最大，同时等于零。位相同，同时达到最大，同时等于零。 (2)任一体积元都在不断地接收和放出任一体积元都在不断地接收和放出能量，总能量不是一个常量，能量，总能量不是一个常量，随时间作周期随时间作周期性的变化，性的变化，将总将总能量能量不断地传播出去，任一不断地传播出去，任一体积元的体积元的机械能不守恒机械能不守恒, 波动过程是能量传波动过程是能量传递的一种方式递的一种方式，波动的重要特征。，波动的重要特征。(3)波动的能量与振动能量的波动的能量

24、与振动能量的区别区别: 振动能振动能量中量中Ek, EP 相互交换，系统相互交换，系统总机械能守恒，总机械能守恒，波动动能量中波动动能量中Ek, , EP同时达到最大，同时同时达到最大，同时为零，总能量随时间周期为零，总能量随时间周期变化变化。讨论讨论（二）波的能量密度和能流密度（二）波的能量密度和能流密度1.波的能量密度波的能量密度 能量密度能量密度 (volume density of energy):介质中单位体积内的波动能量介质中单位体积内的波动能量)(sindd222uxtAVE平均能量密度平均能量密度:一个周期内能量密度的平均值一个周期内能量密度的平均值该处的平均能量密度该处的平均

25、能量密度（时间平均值）（时间平均值）介质的能量密度随时间做介质的能量密度随时间做周期性周期性变化变化2.能流密度能流密度 单位时间内通过介质中某一面积的能量单位时间内通过介质中某一面积的能量, 称为通过该面积的称为通过该面积的能流能流 (energy flux)Sxut单位时间单位时间内通过内通过垂直垂直于波动传播方向的于波动传播方向的单位面单位面积积的平均能量的平均能量,称为称为能流密度能流密度 (energy flux density)uATSuTSI2221单位为单位为 W/m2 能流密度是表征波的能流密度是表征波的强弱强弱的物理量的物理量, 也称也称波的强度波的强度 (intensit

26、y of wave)（三）波的衰减（三）波的衰减 波在介质中转播时，其波在介质中转播时，其强度强度将随着传播将随着传播距离的距离的增加增加而而减弱减弱，称为，称为波的衰减波的衰减波衰减的波衰减的主要原因主要原因1.扩散衰减扩散衰减 由于由于波面波面的的扩大扩大造成单位截面造成单位截面积通过的波的积通过的波的能量减少能量减少, 称为称为扩散衰减扩散衰减1r2r如在介质内波的如在介质内波的能量能量没有没有损失损失,根据能量守恒根据能量守恒,单位时间内传单位时间内传过这两个波面的过这两个波面的能量相等能量相等22212144IrIr扩散衰减扩散衰减散射衰减散射衰减吸收衰减吸收衰减212221rrII

27、1221rrAA或 表明表明：在球面波中，波的：在球面波中，波的强度强度与离开波与离开波源源距离距离的的平方平方成成反比反比，或波的，或波的振幅振幅与离开与离开波源的波源的距离距离成成反比反比2.散射衰减散射衰减 由于散射使沿由于散射使沿原方向原方向传播的传播的波的波的强度减弱强度减弱，称为，称为散射衰减散射衰减3.波的吸收波的吸收 由于介质的由于介质的粘滞性粘滞性(内摩擦内摩擦)等等原因，波的原因，波的能量能量随着传播的距离的随着传播的距离的增加增加逐步逐步转化转化为为其他其他形式的能量，称为形式的能量，称为吸收衰减吸收衰减平面波的强度在传播过平面波的强度在传播过程中按程中按指数指数规律规律

28、衰减衰减 设平面波在设平面波在均匀均匀介质中沿介质中沿x 正方向传播，正方向传播，在在 x = 0 处入射波的强度处入射波的强度I0 ，在，在x 处为处为I, 通过通过厚度为厚度为dx 介质后，强度介质后，强度减少减少了了-dI ，即，即-dI =Idx设边界条件设边界条件: x = 0，I = I0比例系数：与介质的比例系数：与介质的性性质质和波的和波的频率频率有关，称有关，称为介质的为介质的吸收系数吸收系数xeII0振幅因介质吸收振幅因介质吸收而而衰减衰减的规律为的规律为20 xeAA例题例题4-(1) 频率为频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播长的金属棒

29、传播, 波速为波速为5000m/s, 如以棒上某点如以棒上某点取为坐标原点取为坐标原点, 已知原点处质点振动的振幅为已知原点处质点振动的振幅为0.1mm, 求求(1)原点处质点的振动表达式原点处质点的振动表达式, (2)波函波函数数, (3)离原点离原点10cm处质点的振动表达式处质点的振动表达式，(4)离离原点原点20cm和和30cm两点处质点振动的相位差两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动在原点振动0.0021s时的波形。时的波形。解：解：mu40. 0sT51081)(105 . 2cos100 . 1cos440mttAy(1)(2)(5000(105 . 2cos100 . 1)

30、(cos44mxtuxtAy(3)mt)2105 . 2cos(100 . 14422x)50001 . 0(105 . 2cos100 . 144ty(4) 两点间的距离两点间的距离x =10cm = /4, 相位差为相位差为(5) t =0.0021s时的波形时的波形)50000021. 0(105 . 2cos100 . 144xy)(5cos100 . 14mx例题例题4-(2) 一横波沿一弦线传播一横波沿一弦线传播, 已知已知t =0时时的波形如图中的虚线所示的波形如图中的虚线所示, 波速波速u =12m/s, 求求: (1)振幅振幅, (2)波长波长, (3)波的周期波的周期, (

31、4)弦上任一质弦上任一质点的最大速率点的最大速率, (5)图中图中a、b两点的相位差两点的相位差, (6)3T/4时的波形时的波形解：解：(1)A =0.5cm(2) =40cmsuT301(3)x/cmyM1M20M2M1ab35150.5cm-0.5cm(4) 质点的最大速度质点的最大速度smTAAm/94. 02(5) 图中图中a、b两点相隔半个波长两点相隔半个波长, b点处质点点处质点比比a点处质点的相位落后点处质点的相位落后 (6) 3T/4时的波形如图中实线所示，波峰时的波形如图中实线所示，波峰M1和和M2已分别右移已分别右移3 /4而达到而达到M1和和M2 处处x/cmyM1M2

32、0M2M1ab35150.5cm-0.5cm4.3 惠更斯原理惠更斯原理齐白石的作品齐白石的作品 波会发生波会发生反射反射、折射折射和和衍射衍射现象，现象，惠更斯惠更斯原理原理很好地很好地解释解释上述现象。上述现象。水波通过狭水波通过狭缝后的衍射缝后的衍射浴室中的声反射浴室中的声反射平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波波传传播播方方向向 t 时时刻刻波波面面一、惠更斯原理一、惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理 (Huygens principle): 介质中波动传介质中波动传到到各点各点, 都可以看作是发射子波的都可以看作是发射子波的波源波源, 在其在其后的任一时刻后的任一时刻, 这些子波

33、的这些子波的包迹包迹就是新的波前就是新的波前球面波球面波 tu t.t 时刻的波面时刻的波面tt+t 时刻的波面时刻的波面子波波源子波波源 tu用惠更斯原理确定下一时刻平面波的波前 用惠更斯原理确定下一时刻球面波的波前.子波波源子波波源tt+t时刻时刻的波面的波面t 时刻时刻的波面的波面tu波面波面阻挡阻挡障碍物障碍物波有衍射现象波有衍射现象二、波的衍射二、波的衍射 波的衍射波的衍射 (diffraction of wave): 波传播过程波传播过程中中遇到遇到障碍物时，能够障碍物时，能够绕过绕过障碍物的边缘障碍物的边缘而继续而继续前进前进的现象的现象. .衍射条件衍射条件:障碍物线障碍物线度

34、与波长度与波长相比拟相比拟三、波的反射和折射三、波的反射和折射（一）波的反射（一）波的反射 在时刻在时刻t0 , ,波阵面波阵面与图面的交线与图面的交线AB到到达图示的位置达图示的位置, ,A点点和界面相遇和界面相遇, , 此后此后AB上个点将依次到上个点将依次到达界面。达界面。 设经过设经过不同不同的的时间时间此波阵面与图面的此波阵面与图面的交线依次与交线依次与分界面分界面在在 R1、R2、C 相遇，而相遇，而在在 t0 + t 时间内时间内，B点点到达到达C点。点。用惠更斯原理解释波的反射和折射用惠更斯原理解释波的反射和折射ni i A1A2BR2CR1nAu1DiiMNturtur32t

35、ur31AR1R2B3DA3C (1) 反射线、入射线和界面的法线在反射线、入射线和界面的法线在同一平面内同一平面内； (2) 反射角反射角等于等于入射角。由入射角。由于于 BAC 与与 DCA全等。全等。入射线入射线 (incident ray):入射入射波的波线波的波线入射角入射角 (incident angle):入射线与法线的入射线与法线的夹角夹角反射线反射线 (reflected ray):反射反射波的波线波的波线反射角反射角 (reflected angle): 反射线与法线的反射线与法线的夹角夹角反射定律反射定律 (reflected law):ni i A1A2BR2CR1nA

36、u1DiiMNBCirAR1R2R3u1u2u2td = u1t（二）波的折射（二）波的折射折射线折射线 (refraction ray):折射的波线折射的波线折射角折射角 (refraction angle):折射线与法线的夹角折射线与法线的夹角(1) 折射线、入射折射线、入射线和界面的法线在线和界面的法线在同一平面内；同一平面内；折射定律折射定律 (refraction law):2121sinsinnuuri(2) 比值比值n21为第二介质对于第一介质的为第二介质对于第一介质的相对折射率相对折射率 (relative refraction index)4.4 波的叠加原理波的叠加原理 波

37、的干涉波的干涉绳波绳波1. 波传播的独立性波传播的独立性一、波的叠加原理一、波的叠加原理 几列波几列波在同一介质中传播同时在同一介质中传播同时, ,无论无论是否是否相遇相遇, ,每列波都将每列波都将保持保持自己原有的自己原有的特性特性( (频率、频率、波长、振动方向等波长、振动方向等) )不变不变, ,并按自己并按自己原来原来的传的传播方向继续播方向继续前进前进, ,不受不受其它波的影响其它波的影响波波 1波波 2 波波 2 波波 1细雨绵绵细雨绵绵 独立传播独立传播光波光波具有具有相似相似的性质的性质 两列波在两列波在相遇相遇后，仍然各自后，仍然各自保持保持自身的自身的波动波动特性特性，这就

38、是，这就是波传播的独立性原理波传播的独立性原理探照灯探照灯2. 波的叠加原理波的叠加原理 (superposition principle of wave) 在在相遇相遇区域内区域内, 任一任一质点的振动质点的振动位移位移是各是各列波列波单独存在单独存在时在该点时在该点引起引起的的位移位移的的矢量和矢量和能分出能分出不同的乐器不同的乐器声波能声波能叠加叠加xy任意波叠任意波叠加较复杂加较复杂条件条件: 波强度波强度不太大不太大二、波的干涉二、波的干涉波的干涉是在波的干涉是在特定特定条件下波叠加所产生的现象条件下波叠加所产生的现象若有两个若有两个波源波源: : 两列波在相遇的区域内两列波在相遇的

39、区域内, 有些地方振动有些地方振动加强加强，而另一些地方振动，而另一些地方振动减弱减弱或完全或完全抵消抵消, 这种现象为这种现象为波的干涉波的干涉 (interference of wave)能产生能产生干涉干涉现象的两列波，称为现象的两列波，称为相干波相干波 (coherent wave)满足满足相干条件的波源，称为相干条件的波源，称为相干波源相干波源 (coherent wave source)振动振动 频率相同频率相同振动振动 方向相同方向相同振动振动 相位相同相位相同或或相位差恒定相位差恒定 设有两个设有两个相干相干波源波源S1 1 和和S2 2 发出的简谐波发出的简谐波在空间在空间P

40、点相遇点相遇, ,在在P 点引起的振动分别为：点引起的振动分别为：)2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAy合振动方程为：合振动方程为：)tcos(Ayyy 21在在P点的振点的振动为同方向动为同方向、同频率振、同频率振动的合成动的合成 cosAAAAA21222122 )rr()(12122 振幅振幅: : cosIIIII21212 2cos2cos2sin2sintan222111222111rArArArA对空间固定的位置对空间固定的位置, ,都有都有恒定恒定的的 , ,因而合强因而合强度在空间形成度在空间形成稳定稳定的分布的分布, ,即有即有干涉现象干涉现象为合振动的初

41、相位为合振动的初相位 由于波的强度由于波的强度 , ,所以合振动的所以合振动的强度强度为为2AI 波的干涉波的干涉现象现象频率频率相同、相同、振动方向振动方向平行、平行、相位相位相同或相位相同或相位差恒定的两列波差恒定的两列波相遇时，相遇时，称为称为波的干涉现象波的干涉现象 使某使某些地方振动始终些地方振动始终加强加强，而使另一，而使另一些地方振动始终些地方振动始终减弱减弱的现象，的现象，21AAAAmax ,.,k,)k()rr()(32101221212 |AA|AAmin21 ,.,k,krr321012 ,.,k,)k(rr321021212 干涉加强干涉加强干涉减弱干涉减弱（1）干涉

42、加强的）干涉加强的条件条件（2）干涉减弱的）干涉减弱的条件条件21212IIIIIImax 21212IIIIIImin ,k,krr3210221212 ）（ 称为称为波程差波程差12rr 当两相干波源为当两相干波源为 ,则则22,1221rr驻波驻波 (standing loop)是特定条件下的波干涉是特定条件下的波干涉现象：现象：三、驻三、驻 波波条件条件: 两列两列相干波相干波振幅相等振幅相等相向传播相向传播发生发生干涉干涉干涉区域中形成的驻波干涉区域中形成的驻波各质点的振幅分布规律恒定各质点的振幅分布规律恒定形成一种非定向传播的波动现象形成一种非定向传播的波动现象波腹波腹波节波节mi

43、n0max正向行波正向行波反向行波反向行波沿沿正方向正方向行波方程行波方程2cos1xTtAy2cos2xTtAy)Tt(2cos)Tt(2cos21xAxAyyy 在在 x = 0处振动质点向上位移到最大位移处振动质点向上位移到最大位移时时t = 0，且，且 = 0沿沿负方向负方向行波方程行波方程合位移为合位移为Tt2cos2cos2xAy驻波方程驻波方程各质点都在作同各质点都在作同频率的简谐运动频率的简谐运动驻波的振幅与位置有关驻波的振幅与位置有关驻波的形成驻波的形成2At = 0y0 x0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波波节节波波腹腹/4- -/4x02A-2A/2xt = 3T/80(1) 波腹波腹 (loop antinode): 振幅最大的点振幅最大的点(2) 波节波节 (wave node): 振幅为零的点振幅为零的点,.3 , 2 , 1 , 0,2kkx为波腹的位置为波腹的位置,.3 , 2 , 1 , 0,4) 12(kkx为波节的位置为波节的位置讨讨论论 1|2cos|x即即 的点的点1) 振幅分布振幅分布, 2 , 1 , 02kkx, 2