高考专题复习第四节　椭圆

1、第四节椭圆学习要求-公众号：新课标试卷:1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 . 集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若 a>c ,则集合P表示椭圆; (2)若 a=c ,则集合P表示线段; (3)若 a<c ,则集合P为空集.&

2、#160;2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形性质范围-axa,-byb-bxb,-aya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为 2a ;短轴B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|= 2c 离心率e=ca,e (0,1) a,b,c间的关系c2= a2-b2 3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系(1)P(x0,y0)在椭圆内x02a2+y02

3、b2<1;(2)P(x0,y0)在椭圆上x02a2+y02b2=1;(3)P(x0,y0)在椭圆外x02a2+y02b2>1.4.弦长公式设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2(y1-y2)2=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2(k为直线的斜率,k0).知识拓展与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)椭圆上异于长轴端点的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理和余弦定理.在以椭圆x2a2+y2b2=

4、1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y00)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的PF1F2中,若F1PF2=,则(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|·cos ;(3)SPF1F2=12|PF1|PF2|·sin =c|y0|=b2tan2,当|y0|=b,即P为短轴端点时,SPF1F2取最大值,最大值为bc;(4)焦点三角形的周长为2(a+c).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)椭圆上一点P与

5、两焦点F1,F2构成的PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.()答案(1)(2)(3)2.(新教材人教A版选择性必修第一册P109T3改编)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为35,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为()A.x216+y225=1B.x225+y29=1C.x29+y225=1D.x225+y216=1答案D3.(新教材人教A版选择性必修第一册P114T2改编)已知F1,F2是椭

6、圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是正三角形,则椭圆的离心率是()A.33B.23C.22D.32答案A4.已知F1、F2是定点,|F1F2|=6.若动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是()A.直线B.线段C.圆 D.椭圆答案B5.(新教材人教A版选择性必修第一册P109T2改编)若F1(3,0),F2(-3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是. 答案x225+y216=1椭圆的定义及其应用典例1(1)(2020聊城模拟)椭圆x29+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,如果PF1的中点在

7、y轴上,那么|PF1|是|PF2|的()A.7倍B.6倍C.5倍D.4倍(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264y248=1B.y264+x248=1C.x248y264=1D.x264+y248=1(3)(2020聊城模拟)已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,O为坐标原点,PF1,PF2的中点分别为M,N,若四边形OMPN的周长为23,则PF1F2的周长是()A.22+23B.2+23C.2+3D.4

8、+23答案(1)C(2)D(3)A解析(1)设PF1的中点为M,OM为PF1F2的中位线,PF2x轴,|PF2|=b2a=1,|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|=5,|PF1|=5|PF2|,故选C.(2)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,所以b2=48,故所求的轨迹方程为x264+y248=1.(3)由已知得|OM|+|ON|+|PM|+|PN|=23,因为M,N分别为PF1,PF2的中点,所以|OM|=12|PF2|,|ON|=12|PF1|,|P

9、M|=12|PF1|,|PN|=12|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=23,又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,所以a=3,又b2=1,所以c=a2-b2=3-1=2,故PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=23+22.名师点评椭圆定义的应用椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是利用定义解决弦长问题、最值问题及求焦点三角形的周长、面积和椭圆的离心率等.椭圆x216+y29=1的两个焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于A,B两点,若|AB|=6,则|AF1|+|BF1|的值为()A.10B.8C.16D.12答案A由椭

10、圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=8,|AF1|+|BF1|=(2a-|AF2|)+(2a-|BF2|)=16-|AB|=16-6=10,故选A.椭圆的方程典例2(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为63,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是()A.椭圆C的方程为y23+x2=1B.椭圆C的方程为x23+y2=1C.|PQ|=233D.PF2Q的周长为43答案ACD由已知得,2b=2,ca=63,则b=1,又a2=b2+c2,解得a2=3.因为椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆C的方程为y23+x

11、2=1.易知|PQ|=2b2a=23=233,PF2Q的周长为4a=43.故选ACD.名师点评椭圆的标准方程的求法(1)定义法求椭圆的标准方程:首先分析几何图形所表示的几何关系,然后对比椭圆的定义,确定2a,2c的值,进而求出a,b的值,最后得到标准方程.(2)待定系数法求椭圆的标准方程:此时要恰当选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,那么有两种方法来解决问题:一是分类讨论,全面考虑问题;二是设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,mn),用待定系数法求出m,n的值,从而求出标准方程.已知椭圆过点P35,-4和点Q-45,-3,则此椭圆的方程是()A.y225+x2=1

12、B.x225+y2=1或x2+y225=1C.x225+y2=1D.以上均不正确答案A设过点P35,-4和点Q45,-3的椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,mn),将P,Q点的坐标代入得,925m+16n=1,1625m+9n=1,解得m=1,n=125,椭圆的方程为y225+x2=1.椭圆的性质角度一求椭圆的离心率典例3(2020黑龙江大庆实验中学高三一模)设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线交椭圆于A,B两点,且AF1·AF2=0,AF2=2F2B,则椭圆E的离心率为() A.23B.3

13、4C.53D.74答案C设BF2=x,AF2=2F2B,AF2=2x,由椭圆的定义可得AF1=2a-2x,BF1=2a-x,AF1·AF2=0,AF1AF2,在RtAF1B中,有(2a-2x)2+(3x)2=(2a-x)2,解得x=a3,AF2=2a3,AF1=4a3,在RtAF1F2中,有4a32+2a32=(2c)2,整理得c2a2=59,e=ca=53.角度二与椭圆的几何性质有关的取值范围问题典例4设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.

14、(0,34,+)答案A当0<m<3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图,A(-3,0),B(3,0),M(0,m).图当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,若AMB120°,则|MO|1,即0<m1;当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图,A(0,m),B(0,-m),M(3,0).图当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,若AMB120°,则|OA|3,即m3,即m9.综上,m(0,19,+),故选A.名师点评1.椭圆离心率的求法(1)定义法:当题中出现焦点三角形三边关系或a,c易求时,可以利用定义e=ca求解;易求b,c时,可利用e=cb2+c2

15、求解;易求a,b时,可利用e=c2a2=a2-b2a2求解.(2)构建关于a,c的齐次式,列方程求解:根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,化为a,c的齐次方程,然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而转化为关于e的方程,解方程即可,此时要注意0<e<1.2.椭圆中求最值的方法(1)利用函数求最值:将问题转化为函数的最值问题处理时,应充分注意椭圆中x,y的取值范围,常化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.(2)利用数形结合求最值:解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义,寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系.1.(2020河南开封高三模拟)已知F1,F

16、2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点M在椭圆E上,MF2与x轴垂直,sinMF1F2=13,则E的离心率为()A.13B.12C.22D.32答案C由题意知M的坐标为c,±b2a,则|MF2|=b2a,|MF1|=2a-b2a,由sinMF1F2=13,可得3×b2a=2ab2a,解得b2a2=12,e=1-b2a2=22.2.(多选题)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆轨道,其近月点与月球表面距离为100千米,远

17、月点与月球表面距离为400千米,已知月球的直径约为3 476千米,对该椭圆下列结论正确的是()A.焦距约为300千米B.长轴长约为3 976千米C.两焦点的坐标约为(±150,0)D.离心率约为75994答案ABD设该椭圆的长半轴长为a,半焦距为c.依题意可得月球的半径约为12×3 476=1 738,a-c=100+1 738=1 838,a+c=400+1 738=2 138,所以2a=1 838+2 138=3 976,所以a=1 988,则c=2 138-1 988=150,椭圆的离心率约为1501 988=75994,可得A、B、D中结论正确,因为没有给坐标系,所

18、以焦点坐标不确定,所以C中结论错误.3.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为. 答案6解析由椭圆x24+y23=1,可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y)(-2x2),则OP·FP=x2+x+y2=x2+x+31-x24=14x2+x+3=14(x+2)2+2,-2x2,当x=2时,OP·FP取得最大值6.直线与椭圆角度一直线与椭圆的位置关系典例5已知直线y=kx+1和椭圆x2+2y2=1有公共点,则k的取值范围是()A.k<-22或k>22B.-22<k&l

19、t;22C.k-22或k22D.-22k22答案C由y=kx+1,x2+2y2=1,得(2k2+1)x2+4kx+1=0,直线与椭圆有公共点,=16k2-4(2k2+1)0,解得k-22或k22.角度二弦长问题典例6已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3,椭圆C的离心率为12.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为-1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A,B两点,与椭圆相交于C,D两点,且|CD|AB|=837?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解析(1)设F1,F2的坐标分别

20、为(-c,0),(c,0),由题意可得a+c=3,ca=12,解得a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)假设存在斜率为-1的直线l,设l:y=-x+m,由(1)知F1,F2的坐标分别为(-1,0),(1,0),所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d=|-m|2<1,所以m2<2.|AB|=21-d2=21-m22=2×2-m2.联立x24+y23=1,y=-x+m,消去y,得7x2-8mx+4m2-12=0,由题意得=(-8m)2-4×7(4m2-12)=336-

21、48m2=48(7-m2)>0,解得m2<7,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=8m7,x1x2=4m2-127,|CD|=2|x1-x2|=2×8m72-4×4m2-127=2×336-48m249=467×7-m2=837|AB|=837×2×2-m2,解得m2=13<2,得m=±33.即存在符合条件的直线l,其方程为y=-x±33.角度三中点弦问题典例7已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,且椭圆C经过点(2,3).(1)求椭圆C的标

22、准方程;(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A、B两点,若线段AB恰被点P平分,求直线l的方程.解析(1)由题意得ca=12,4a2+3b2=1,解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的标准方程为x28+y26=1.(2)由题意知点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x128+y126=1,x228+y226=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)8+(y1+y2)(y1-y2)6=0,因为线段AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得4(x1-x2)8+2(y1-y2)6=0,解得kAB=y1-y2x1-x2=32.所以直线l的方程为

23、y-1=-32(x-2),即3x+2y-8=0.名师点评1.直线与椭圆位置关系的判定方法将直线与椭圆方程联立,消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程,设其根的判别式为,>0直线与椭圆相交(有两个交点);=0直线与椭圆相切;<0直线与椭圆相离.2.直线与椭圆相交问题的解决方法首先把直线方程与椭圆方程联立、消元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.3.中点弦问题的解决方法(1)根与系数的关系:直线与椭圆方程联立、消元,利用根与系数的关系表示中点;(2)点差法:将弦的两端点坐标代入椭圆方程,作差构造中点、斜率.1.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b

24、>0),过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A,B两点,若AB的中点P的坐标为(2,1),则椭圆M的方程为()A.x29+y26=1B.x24+y2=1C.x212+y23=1D.x218+y29=1答案D设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点P(2,1),所以kAB=kPF=0-13-2=-1,又因为b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,所以b2(x12x22)=-a2(y12y22),所以y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=b2a2,又y1-y2x1-x2=kAB=-1,y1+y2x1+x2=2×12×

25、;2=12,所以b2a2=12,由题意知c=3,所以a2=18,b2=9,所以椭圆方程为x218+y29=1.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,短轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(2,1)作弦且弦被点P平分,求此弦所在的直线方程及弦长.解析(1)由题意可得,2b=4,则b=2,又ca=32,所以a=4,所以椭圆的标准方程为x216+y24=1.(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1+x2=4,y1+y2=2,将A,B的坐标分别代入椭圆的方程得,x1216+y124=1,x2216+

26、y224=1,两式相减可得,(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,所以y2-y1x2-x1=12,故以点P(2,1)为中点的弦所在的直线方程为x+2y-4=0.由x+2y-4=0,x216+y24=1,得y=0,x=4或y=2,x=0,故点A(4,0),B(0,2),所以|AB|=(-4)2+22=25.故该直线截椭圆所得弦长为25.微专题定义法求椭圆的标准方程定义是解决问题的根本,在求点的轨迹方程时,时刻关注椭圆的定义,因为我们已经用椭圆的定义推导出它的标准方程.如果已知点的轨迹满足椭圆的定义,那么可以直接利用椭圆的定义

27、快速地写出轨迹方程.如图,已知圆O的半径为定长r,A是圆O内的一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是() A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案A连接QA.由已知得|QA|=|QP|,所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,得点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.故选A.1.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M相外切并且内切于圆N,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的

28、一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M相外切并且内切于圆N,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),因为|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方

29、程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.若l的倾斜角不为90°,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP|QM|=Rr1,可得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得|3k|1+k2=1,解得k=±24.当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4±627.所以|AB|=1+k2|x2x1|=187.当k=24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=187.2.设圆x2+y2+2x-1

30、5=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.解析因为|AD|=|AC|,EBAC,所以EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,所以|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4,为定值.所以点E的轨迹是以A(-1,0),B(1,0)为焦点,|AB|=2为长轴长的椭圆(左、右顶点除外),故E的轨迹方程为x24+y23=1(y0).A组基础达标1.椭圆x2a2+y2b2=1(a>

31、b>0)和x2a2+y2b2=k(k>0,a>b>0)具有()A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴、短轴答案A2.已知F1,F2为椭圆E的左、右焦点,点M在E上(不与顶点重合),MF1F2为等腰直角三角形,则E的离心率为()A.2+1B.2-1C.3-12D.3+12答案B3.2021年1月“八省(市)联考”椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若F1AF2=3,则m=()A.1B.2 C.3D.2答案C4.(2019湖北武汉调研)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|P

32、F1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为. 答案x28+y26=15.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,且点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是. 答案0,32解析根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.由题意得M(0,b),M到直线l的距离d=|3×0-4×b|32+(-4)245,所以1b<2.又e=ca=1-b2a2=1-b24,所以0&

33、lt;e32.6.已知椭圆方程为y216+x24=1.(1)判断直线y=2x+6与椭圆是否有公共点;(2)若斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,且|AB|=1625,求直线l的方程.解析(1)由y216+x24=1,y=2x+6,可得2x2+6x+5=0,因为=62-4×2×5<0,所以该方程组无解,即直线与椭圆没有公共点.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组y=x+m,y216+x24=1,消去y得5x2+2mx+m2-16=0,由题意,得=(2m)2-20(m2-16)>0,且x1+x2=-2m5,x1x2=m2

34、-165,因为|AB|=1+12·|x1x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=1625,所以-2m524(m2-16)5=1652,解得m=±2,验证知>0成立,所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.7.(2019清远期末)如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两端点分别为A1,A2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且四边形A1B1A2B2是面积为8的矩形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,若B2P·B2Q=8,求直线l的方程.

35、解析(1)在矩形A1B1A2B2中,OB1=OB2=c2,OA1=OA2=b,易知四边形A1B1A2B2是正方形.S四边形A1B1A2B2=c22+b2=8,c2=b,a2=b2+c2,a2=20,b2=4,c2=16,椭圆C的标准方程为x220+y24=1.(2)由(1)可知B1(-2,0),B2(2,0),当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-2,由x=-2,x220+y24=1,得P-2,45,Q-2,-45,B2P=-4,45,B2Q=-4,-45,B2P·B2Q=161658,l:x=-2不满足题意.当l的斜率为k时,设l的方程为y=k(x+2),P(x1,y1),Q(x

36、2,y2),由y=k(x+2),x220+y24=1,得(5k2+1)x2+20k2x+20k2-20=0,则x1+x2=-20k25k2+1,x1x2=20k2-205k2+1,y1y2=k2(x1x2+2x1+2x2+4)=-16k25k2+1.B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2),B2P·B2Q=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=20k2-205k2+1+40k25k2+1+416k25k2+1=64k2-165k2+1,B2P·B2Q=8,k=±1.综上,直线l的方程为y=x+2或y=-x-2.B组能力拔高8.已知椭圆C:x2a2

37、+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,直线l:2x-y=0交椭圆C于A,B两点,且|AF|+|BF|=6,若点F到直线l的距离不小于2,则椭圆C的离心率e的取值范围是()A.53,1B.53,1C.12,1D.0,53答案B设F1是椭圆C的左焦点,由于直线l:2x-y=0过原点,因此A,B两点关于原点对称,所以四边形AF1BF是平行四边形,所以|BF1|+|BF|=|AF|+|BF|=6,即2a=6,a=3.因为点F(c,0)到直线l的距离d=|2c|52,所以c5,又c<a,即5c<3,所以e=ca=c353,1.9.(多选题)已知P是椭圆E:x28+y24=1上

38、一点,F1,F2为其左、右焦点,且F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.P点纵坐标为3B.F1PF2>2C.F1PF2的周长为4(2+1)D.F1PF2的内切圆半径为32(2-1)答案CD由已知得a=22,b=2,c=2,不妨设P(m,n),m>0,n>0,则SF1PF2=12×2c×n=3,n=32,故A错误;把点Pm,32代入椭圆方程中得m28+3224=1,解得m=142,P142,32,|PF1|2=142+22+94=394+214,|PF2|2=142-22+94=394214,|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=394×

39、;216=72>0,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-(2c)22|PF1|·|PF2|>0,F1PF2<2,故B错误;由椭圆定义可知,F1PF2的周长=2a+2c=42+4,故C正确;设F1PF2的内切圆半径为r,12r·(42+4)=3,r=32(2-1),故D正确.10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于点A,C和点B,D,且满足AM=MC,BM=MD(其中>0且1),若变化时,直线AB的斜率总为-12,则椭圆E的离心率为()A.12B.5-12

40、C.22D.32答案D设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由AM=MC可得(2-x1,1-y1)=(x3-2,y3-1),可得x1+x3=2+2,y1+y3=1+,同理,可得x2+x4=2+2,y2+y4=1+,则x1+x2+(x3+x4)=4(1+),y1+y2+(x3+x4)=2(1+),将点A,B的坐标分别代入椭圆方程并作差,得y1-y2x1-x2=b2a2×x1+2y1+y2,即-12=b2a2×x1+x2y1+y2a2(y1+y2)=2b2(x1+x2),同理,可得a2(y3+y4)=2b2(x3+x4),两式相加,可得a2(y1+y2)+(y3+y4)=2b2(x1+x2)+(x3+x4),因为2(y1+y2)+(y3+y4)=(x1+x2)+(x3+x4),所以a22=2b21e=32.11.(2019广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),点F关于直线y=12x的对称点在椭圆C上,则椭圆C的方程为. 答案5x29+5y24=1解析设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意可知c=1,即a2-b2=1,设点F(1,0)关于直线y=12x的对称点为(m,n),可得n-0m-1=-2.因为点F与其对称点的中点坐标为m+12,n2,且