高中数学第九章球

1、课程目标课程目标2大圆小圆大圆小圆球的概念球的概念截面性质截面性质球面距离球面距离地球经纬地球经纬球的画法球的画法例题讲解例题讲解课堂练习课堂练习课堂小结课堂小结封底封底退出退出书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 勤 奋、守 纪、自 强、自 律！9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作教学目标教学目标能理解球的有关概念能理解球的有关概念. 掌握球的截面的性质掌握球的截面的性质. 理解两点间的球面距离的概念理解两点间的球面距离的概念.能说明地球

2、经纬度的含义能说明地球经纬度的含义.了解球的直观图作法了解球的直观图作法.主菜单上一张下一张课程目标9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作重难点和关键重难点和关键重点：球的概念，球的截面的性质重点：球的概念，球的截面的性质.难点：球面上两点间的距离难点：球面上两点间的距离.关键：正确运用已有的知识发现关键：正确运用已有的知识发现 并归纳出球的概念和性质并归纳出球的概念和性质.主菜单上一张下一张课程目标9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作观察现实生活中的各种球形观察现实生活中的各种球形网球网球保龄球保龄球木星木星地球仪地球仪足球足球篮球篮球主菜单主菜单上一张下一张球

3、的概念9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作观察球的形成过程观察球的形成过程模模拟拟演演示示主菜单上一张下一张球的概念9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作1.球的定义球的定义半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体球面所围成的几何体叫做球体.与定点与定点(圆心圆心)的距离等于或小于定长的距离等于或小于定长(半径半径)的点的集合叫做球体，简称球的点的集合叫做球体，简称球.球的旋转定球的旋转定义义球的集合定义球的集合定义主菜单上一张下一张球的概念9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐

4、天顺制作D D2.球的有关概念球的有关概念球体与球面的区别球体与球面的区别球面：半圆以它的直径为旋转轴球面：半圆以它的直径为旋转轴, ,旋转所成的曲面旋转所成的曲面. .球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体球面所围成的几何体. .它包括它包括球面和球面所包围的空间球面和球面所包围的空间. .D D半圆的圆心叫做半圆的圆心叫做球心球心.一个球用它的球心字母一个球用它的球心字母 来表示，例如来表示，例如 球球O.连结球心和球面上任意一点的连结球心和球面上任意一点的 线段叫做球的线段叫做球的（线段（线段OP).连结球面上两点并经过球心的连结球面上两点并经过球心的 线段叫做球的线段叫做球的

5、直径直径（线段（线段AB).OABP主菜单上一张下一张球的概念9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作观察球的截面的形状？观察球的截面的形状？模拟演示主菜单上一张下一张截面性质9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作用一个平面去截一个球用一个平面去截一个球, ,截面是圆面截面是圆面( (黄色圆面黄色圆面).). 2.2.球心到截面的距离球心到截面的距离d d与球的与球的半径半径R,R,小圆半径小圆半径 r ,r ,有下面有下面的关系的关系: :1.1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面球心和截面圆心的连线垂直于该截面. .截面的性质：截面的性质：截面的定义：截面的定义：2

6、2dRr rdRO主菜单上一张下一张截面性质9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面球心和截面圆心的连线垂直于该截面OD=OC，DK=KC,OKDC;同理同理OK AB.OK截面截面 K.证明证明:OKDCBA主菜单上一张下一张截面性质9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作rdRO2.2.球心到截面的距离球心到截面的距离d d与球与球的半径的半径R R和截面半径和截面半径r r有下面有下面的关系的关系: :22rRd 主菜单上一张下一张截面性质9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作模拟演示主菜单上一张下一张大圆小圆观察

7、球被平面所截发生的现象观察球被平面所截发生的现象9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作2222dRrrRd 由由主菜单上一张下一张大圆小圆.,0称称作作大大圆圆则则截截面面圆圆最最大大时时，当当rRd ., 0 截截面面和和球球相相切切时时，当当 rRd.0时时，截截面面称称作作小小圆圆当当Rd 9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作大小圆的定义大小圆的定义 1.1.大圆：大圆：球面被球面被经过球经过球心心的的 平面截得的圆叫做平面截得的圆叫做大圆大圆.如如 O(浅蓝色圆面）浅蓝色圆面）.oO 2.2.小圆：小圆：球面被球面被不经过球不经过球心心的平面截得的圆叫做小

8、的平面截得的圆叫做小圆圆. 如如 O(黄色圆面）黄色圆面）.主菜单上一张下一张大圆小圆9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作 假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机, ,设设想一下想一下, ,它需要沿着怎样的航线飞行呢它需要沿着怎样的航线飞行呢? ?航程大航程大约是多少呢约是多少呢? ? 球面距离(3)这无数条弧长哪条最短这无数条弧长哪条最短?(1)北京和纽约间的距离是一条线段的长吗北京和纽约间的距离是一条线段的长吗? -不是不是,是一端圆弧的长是一端圆弧的长.(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢经过球面上的这两点有多少条弧呢? -无数条无数条.我们不妨

9、先看一个例子！我们不妨先看一个例子！9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作例例1.已知地球半径为已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬两点均位于北纬45度度线上，其经度差为线上，其经度差为90度度.求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧 的长度的长度; (2) 在经过在经过A、B两地的大圆上劣弧两地的大圆上劣弧 的长度的长度.AB主菜单上一张下一张球面距离ABOO1ABm,90)1(11ROBBOOBOO 中，中，解：在解：在 .22,4511RBOOBO ,9011RABBAOABO 中中，在在 9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作AB纬圆中纬圆中 的长

10、度为的长度为RR 4222.2 主菜单上一张下一张OO1ABm球面距离3R .3R 劣弧的长度为劣弧的长度为大圆中大圆中 60)2(AOBRABOBAOAOB中，中，在在 A大圆中劣弧大圆中劣弧 的长度为的长度为AmB9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作大圆中大圆中 的的长度小于纬圆长度小于纬圆中中 长度长度AmBAB主菜单上一张下一张天哪天哪!原原来如此来如此!OO1ABm球面距离9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作球面上两点之间的最短连线的长球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度两点间的一段

11、劣孤的长度.即：球面距离是球面上过即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度的劣弧的长度.P PQ QO主菜单上一张下一张1.1.定义定义球面距离9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作2.两点的球面距离公式两点的球面距离公式飞机、轮船都是尽可能以飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行大圆弧为航线航行. . RPQ的长度的长度P PQ QO主菜单上一张下一张球面上两点距离不能通过球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径是先求出大圆半径R R和这两和这两点在大圆上的劣弧所对的圆点在大圆上的劣弧所对的圆

12、心角心角，再求出弧长，再求出弧长L=RL=R. .球面距离9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作 结合平面几何知识:在以两个定点为端点的弧中，半径越大弧长越小.(见右图）显然，在球面上北京、纽约间的最短距离是过这两点的大圆上劣弧的长.P PQ Q球面距离.理论根据理论根据OO1ABm9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作模拟演示模拟演示纬度的定义纬度的定义经度的定义经度的定义主菜单上一张下一张经度纬度9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作由地理知识知：由地理知识知： AOBAOB为为P P点所在经线的经度点所在经线的经度. .某点的经度是经过这点某点的

13、经度是经过这点 的经线和地轴确定的半平的经线和地轴确定的半平面与面与0度经线度经线(本初子午线本初子午线) 和地轴确定的半平面所成和地轴确定的半平面所成二面角的度数二面角的度数.地球的经线就是球面上从地球的经线就是球面上从北极到南极的半个大圆北极到南极的半个大圆.1.地球的地球的经度经度本本初初子子午午线线地地轴轴赤赤道道北极北极PABO主菜单上一张下一张经度纬度9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作2.地球的纬度地球的纬度赤道是一个大圆，赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆其它的纬线都是小圆.某点的纬度就是经某点的纬度就是经过这点的球半径与赤过这点的球半径与赤道面所成角的度数道

14、面所成角的度数.由地理知识知：由地理知识知： AOPAOP的度数的度数为为P P点纬度点纬度. .地地轴轴赤赤道道北极北极PAO主菜单上一张下一张经度纬度9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作经度纬度纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心连线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面角的度数.若点P在北半球，就是北纬多少度；若点P在南半球，就是南纬多少度经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度数有关.经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小，.若旋转是向东进行的，则点P的经度就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点P的经度就是西经

15、多少度.9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作画轴画轴:经过点经过点O画画x轴轴y轴轴z轴轴,两轴之间夹角为均为两轴之间夹角为均为120.画大圆：画大圆：以以O为中心分为中心分别按别按x轴、轴、y轴轴,y轴、轴、z轴轴,z轴、轴、x轴画半径为轴画半径为R的圆的的圆的直观图（三个椭圆）直观图（三个椭圆）.成图：成图：以点以点O为圆心画为圆心画一个圆与三个椭圆都相切一个圆与三个椭圆都相切.Ozxy主菜单上一张下一张球的画法9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作我国首都北我国首都北京靠近北纬京靠近北纬40度，求北度，求北纬纬40度纬线度纬线的长度（地的长度（地球半径约是球

16、半径约是6370km)本本初初子子午午线线地地轴轴A AB BO OC C赤赤 道道经经度度1 11 16 6纬纬度度4 40 0北北京京例题19.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作解：解：如图，如图，A A是北纬是北纬4040纬线上的一点，纬线上的一点，AKAK是它的半径是它的半径，所以，所以OKAK.OKAK.设设c c是北纬是北纬4040的纬线长，因为的纬线长，因为AOB=OAK=40AOB=OAK=40，所以，所以c =2AK 答：北纬答：北纬40纬线长约等于纬线长约等于3.066104km.C3.066104（km）.23.14263700.7660，= 2OAcosO

17、AKABOK40由计算器算得由计算器算得 40cos2OA 主菜单上一张下一张例题讲解9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作AO1OBAO1OB例例2、设地球的半径为设地球的半径为R,在北纬在北纬45圈上有圈上有两个点两个点A、B,A在西经在西经400,B在东经在东经500.求求AB所在纬线圈的长及所在纬线圈的长及AB两点的球面距离两点的球面距离3 3R R9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作分分析析：欲欲求求弧弧A AB BR R 先先求求A AO OB B ; ; 先先求求弦弦长长A AB B; ;, ,A AO OB B欲欲求求3 3 ; B BA AO O

18、A A和和先先求求O O欲欲求求弦弦长长A AB B, ,2 21 11 1 B B为为经经度度差差. .A AO OA A为为纬纬线线圈圈半半径径，O O1 11 11 1AO1OB9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作OO1O2ABNS例例3.设点设点A位于地球位于地球(半径为半径为R)上东经上东经44、北纬、北纬30处，点处，点B位于东经位于东经134、北纬、北纬60处，求处，求A、B两点两点间的球面距离间的球面距离.分析分析：求球面距离，求球面距离，关键求球心角，要求球关键求球心角，要求球心角，关键是求两点间心角，关键是求两点间的直线距离（弦长）的直线距离（弦长）.在在纬

19、圆中求弦长，在大圆纬圆中求弦长，在大圆中求球心角及球面距离中求球心角及球面距离.主菜单上一张下一张例题讲解9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作OO1O2ABNSOO1O2AB主菜单上一张下一张例题讲解9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作例例3.设点设点A位于地球位于地球(半径为半径为R)上东经上东经44、北纬、北纬30处，点处，点B位于东经位于东经134、北纬、北纬60处，求处，求A、B两点间的球面距离两点间的球面距离.解：设地球的球心为解：设地球的球心为O，的圆心分别为的圆心分别为O1与与O2，如图，如图，二面角二面角A-OO2-B为为134- 44= 90,

20、即平面即平面AOO2平面平面BOO2，,6030-90AOO1 则则有有,3060-90BOO2 OO1O2AB30与与60的北纬线的北纬线主菜单上一张下一张例题讲解9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作中，中，在在连结连结212OAORt,AO RRROOOOOO21360cos30cos1221 22122122R4327AOOOAO ,OOBO,BOOAOO2222 面面面面.AOOBO22面面 .AOBO22 中，在BAORt2.234)21(432722222222RRRBOAOABOO1O2ABOO1O2AB主菜单上一张下一张例题讲解9.10球和它的性质球和它的性质徐

21、天顺制作徐天顺制作中，中，在在 AOB 4322322cos222222 RRR）（RROBOAABOBOAAOB.43arccosAOB .43arccosRBA两两点点间间的的球球面面距距离离为为、OO1O2ABNSOO1O2ABR2360sinOAAOOAORt11 中，中，在在主菜单上一张下一张例题讲解9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作例例4两平行平面截半径为两平行平面截半径为13的球，若截面面积的球，若截面面积分别为分别为 、 ，则这两个平面间的距离是，则这两个平面间的距离是_ 25144.OONMAB1313FBN=5，AM=12ON=12，OM=59.10球和它

22、的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作例例5、 A,B两地地处南纬两地地处南纬300线上线上,且经且经度差为度差为600,求求 (1)南纬线的长度；南纬线的长度； (2)A,B两地在纬线上的劣弧长两地在纬线上的劣弧长地球半径设为，地球半径设为，9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作例例6 6、如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长的棱长为为a,a,它的各个顶点都在球它的各个顶点都在球O O的球面上，求球的球面上，求球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O2

23、22 22 22 22 21 11 13 3a a4 4R RS Sa a2 23 3得得R R, ,a a) )2 2( (a a( (2 2R R) ): :D D中中D D略略解解：R Rt tB B9.10球和它的性质球和它的性质徐天顺制作徐天顺制作（1 1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲）半圆以其直径为轴旋转所成的曲 面叫球面叫球. . （ ）（2 2）在空间，到定点的距离等于定长）在空间，到定点的距离等于定长 的所有点的集合叫球的所有点的集合叫球. . （ ）（3 3）球的小圆的圆心与球心的连线垂）球的小圆的圆心与球心的连线垂 直于这个小圆所在平面直于这个小圆所在平面. . （ ）1.1.判断正误判断正误：（对的打（对的打，错的打，错的打. .）主菜单上一张下一张课堂练习9.10球和它的性质球和它的性