第二节用样本估计总体

1、栏目索引课标版课标版 理数理数第二节用样本估计总体栏目索引1.作频率分布直方图的步骤作频率分布直方图的步骤(1)求极差(一组数据中 与 的差).(2)决定 与 .(3)将数据 .(4)列 (5)画 .2.频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线:一般地,随着样本容量的增加,作频率分布直方图时 增加, 减小,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.教材研读教材研读最大值最大值 最小值最小值组距组距 组数组数分组分组 频率分布表频率分布

2、表 频率分布直方图频率分布直方图中点中点所分组数所分组数组距组距栏目索引3.茎叶图的优点茎叶图的优点茎叶图的优点是可以 原始数据,而且可以 记录,这对数据的记录和表示都能带来方便.4.样本的数字特征样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数保留保留随时随时数字特征定义(求法)优点与缺点众数一组数据中出现次数 的数众数用于描述一组数据中出现次数最多的数.但显然它对其他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按 (或从大到小)的顺序排列,处在 位置的一个数据(或中间位置的两个数据的平均数)中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为它的缺点

3、平均数如果有n个数据x1,x2,xn,那么这n个数的平均数= 平均数与每一个样本数据有关,可以更多地反映出关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低x12nxxxn最多最多 从小到从小到 大大 中间中间c栏目索引(2)标准差、方差(i)标准差:样本数据到平均数的一种平均距离.一般用s表示,s= .(ii)方差:标准差的平方s2.s2= (x1-)2+(x2-)2+(xn-)2 .上述中xi(i=1,2,3,n)是 ,n是 ,是 .222121()()() nxxxxxxn1nxxxxcc样本数据样本数据样本容量样本容量样本平均数样本平均数栏目索引

4、1.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92答案 A将这组数据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为=91.5.平均数为91+=91.5.9192242 10 12358 cc栏目索引2.把样本容量为20的数据分组,分组区间与频数如下:10,20),2;20,30),3;30,40),4;40,50),5;50,60),4;60,70,2,则在区间10,50)上的数据的频率是( )A.0.05 B.0.25 C.0.5 D.0.7答案

5、D由题意知,在区间10,50)上的数据的频数是2+3+4+5=14,故其频率为=0.7.3.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测后所作的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )1420cc栏目索引A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆答案 B从频率分布直方图可知,车速大于或等于70 km/h的频率为0.0210=0.2,而样本容量为200,所以被处罚的汽车约有2000.2=40辆.cc栏目索引7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.(1)平均命中环数为 ;(2)命中环数的

6、标准差为 .答案 (1)7 (2)2解析 (1)=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.(2)方差s2=(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2=4.标准差s=2.x1101104.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:cc栏目索引 频率分布直方图频率分布直方图典例典例1 (1)（2013四川，7，5分）某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以5为组距将数据分组成0,5),5,10),30,35),35,40时,所作的频率分布直方

7、图是( )考点突破考点突破栏目索引栏目索引(2)（2014山东，8，5分）为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )栏目索引A.6 B.8 C.12 D.18(3)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频

8、率分布直方图如图所示.直方图中的a= ; 在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 .栏目索引答案 (1)A (2)C (3)3.06 000解析 (1)由题意可知,数据共被分为8组,所以选项C、D不符合,应排除;由茎叶图知0,5)的频数为1,=0.01,5,10)的频数为1,=0.01,10,15)的频数为4,=0.04,由此可知,选项B不符合题意.故选A.频率组距120 5频率组距120 5频率组距420 5栏目索引(2)由题图可知,第一组与第二组的频率之和为(0.24+0.16)1=0.4.因为第一组与第二组共有20人,所以该试验共选取的志愿者有=50人,故第三组共

9、有500.36=18人,所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.(3)由频率分布直方图可知,0.1(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.0.消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的频率为0.1(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者的人数为0.610 000=6 000.200.4栏目索引解决关于频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的联系.从图中可直接看出组距、,从而可间接计算出频率(小长方形的面积).解决直方频率组距图的有关问题时,常用到两个等量关系:小长方形的面积=组距=频率,小长方形的面积之和等于1(频率之和等于1).频率组距栏目索

10、引1-1（2013湖北，11，5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其月用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为 ;(2)在这些用户中,月用电量落在区间100,250)内的户数为 .栏目索引答案 (1)0.004 4 (2)70解析 (1)由频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,得(0.001 2+0.002 42+0.003 6+x+0.006 0)50=1,解得x=0.004 4.(2)月用电量在100,250)内的频率为(0.003 6+0.004 4+0.006 0)50=0.7,故户数为1000.7=70.1-2如图是根据部分城市

11、某年6月份的平均气温(单位:)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是20.5,26.5,样本数据的分组为20.5,21.5),21.5,22.5),22.5,23.5),23.5,24.5),24.5,25.5),25.5,26.5.已知样本中平均气温低于22.5 的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5 的城市个数为 .栏目索引答案 9解析设样本中城市总个数为n,由题可知(0.10+0.12)1=,n=50.故样本中平均气温不低于25.5 的城市个数为500.181=9.11nc栏目索引 茎叶图茎叶图典例典例2 (1)（2015重庆，3，5分）重庆市2013年各月的平均气

12、温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A.19 B.20 C.21.5 D.23(2)（2015课标II，18，12分）某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7601238 9 2 5 8 0 0 3 3 81 2 栏目索引 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并

13、通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); A地区 B地区 456789 栏目索引根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.答案 (1)B解析 (1)由茎叶图知,平均气温在20 以下的有5个月,在20 以上的也有5个月,恰好是20 的有2个月,由中位数的定义知,这组数据的中位数为20.故选B.(2)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:满意度评分低于70分70分到89分不低于90

14、分满意度等级不满意满意非常满意c栏目索引 A地区 B地区 3 6 4 2 6 8 8 6 4 3 9 2 8 6 5 1 7 5 5 24567896 81 3 6 42 4 5 53 3 4 6 93 2 11 3栏目索引通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1

15、独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为,故P(CA1)=,P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=,所以P(C)=+=0.48.162042010208201620420102082010201620820420栏目索引(1)茎叶图的绘制需注意:“叶”的每个位置上只有一个数字,而“茎”的每个位置上的数的位数一般不需要统一;重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别

16、是“叶”的位置上的数据.(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以用来比较两组数据.通过茎叶图可以确定数据的中位数,数据大致集中在哪块茎,数据是否关于茎对称,数据分布是否均匀等.栏目索引2-1（2013广东，17，12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;(3)从该车间12名工人中任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.解析 (1)样本均值为=22.123790 1 50 1719

17、2021253061326c栏目索引(2)由(1)知样本中优秀工人所占的比例为=,故推断该车间12名工人中有12=4名优秀工人.(3)设事件A:“从该车间12名工人中任取2人,恰有1名优秀工人”,则P(A)=. 2613131148212C CC1633栏目索引样本的数字特征样本的数字特征典例典例3 (1)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温

18、的标准差;甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 ( )A. B. C. D.栏目索引工人编号 年龄工人编号年龄工人编号年龄 工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(2)(2015广东,17,12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.栏目索引用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;计算中样本的均值和方差s2;36名工人中年龄在-s与+s之间的有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?答案 (1)B解析 (1)由茎叶图中的数据通过计算求得=29,=30,s甲=,s乙=,s乙,故正确.故选B.(2)由系统抽样,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.xxxx甲x乙3.62x甲x乙cc栏目索引均值=40;方差s2=(44-40)2+(40-40