北京高考数学（文科）真题试卷2009-2020
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北京高考数学（文科）真题试卷2009-2020,北京,高考,数学,文科,试卷,2009,2020
- 内容简介：
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2008年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）若集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，则集合AB等于（）Ax|x3或x4Bx|1x3Cx|3x4Dx|2x12（5分）若a=log3，b=log76，c=log20.8，则（）AabcBbacCcabDbca3（5分）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知ABC中，a=，b=，B=60，那么角A等于（）A135B90C45D305（5分）函数f（x）=（x1）2+1（x1）的反函数为（）ABCD6（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD97（5分）已知等差数列an中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列bn的前5项和等于（）A30B45C90D1868（5分）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若角的终边经过点P（1，2），则tan2的值为 10（5分）不等式的解集是 11（5分）已知向量与的夹角为120，且|=|=4，那么的值为 12（5分）的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 （用数字作答）13（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）= ；= （用数字作答）14（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；|x1|x2其中能使f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是 三、解答题（共7小题，满分80分）15（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围16（14分）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小17（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b0），且g（x）=f（x）2是奇函数（）求a，c的值；（）求函数f（x）的单调区间18（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率19（14分）已知ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且ABl（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程20（13分）数列an满足a1=1，an+1=（n2+n）an（n=1，2，），是常数（）当a2=1时，求及a3的值；（）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an0第2页（共2页）2008年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）若集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，则集合AB等于（）Ax|x3或x4Bx|1x3Cx|3x4Dx|2x12（5分）若a=log3，b=log76，c=log20.8，则（）AabcBbacCcabDbca3（5分）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知ABC中，a=，b=，B=60，那么角A等于（）A135B90C45D305（5分）函数f（x）=（x1）2+1（x1）的反函数为（）ABCD6（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD97（5分）已知等差数列an中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列bn的前5项和等于（）A30B45C90D1868（5分）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若角的终边经过点P（1，2），则tan2的值为 10（5分）不等式的解集是 11（5分）已知向量与的夹角为120，且|=|=4，那么的值为 12（5分）的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 （用数字作答）13（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）= ；= （用数字作答）14（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；|x1|x2其中能使f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是 三、解答题（共7小题，满分80分）15（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围16（14分）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小17（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b0），且g（x）=f（x）2是奇函数（）求a，c的值；（）求函数f（x）的单调区间18（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率19（14分）已知ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且ABl（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程20（13分）数列an满足a1=1，an+1=（n2+n）an（n=1，2，），是常数（）当a2=1时，求及a3的值；（）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an02008年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）若集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，则集合AB等于（）Ax|x3或x4Bx|1x3Cx|3x4Dx|2x1【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【分析】结合数轴求解，注意等号【解答】解：如图所示，易得AB=x|2x1；故选：D【点评】本题考查利用数轴求集合的交集问题，较简单2（5分）若a=log3，b=log76，c=log20.8，则（）AabcBbacCcabDbca【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点菁优网版权所有【分析】根据3，67，21，0.81，可知log31，0log761，log20.80，进而比较出大小【解答】解：log31，0log761，log20.80abc故选：A【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象是高考的热点3（5分）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【分析】方程为双曲线准线方程为x=，但准线方程为x=的双曲线方程为，（0）【解答】解：a=3，b=4，c=5双曲线的准线方程为，但当双曲线方程是时，其准线方程也为，故选：A【点评】本题考查了以下知识点：1、一个双曲线方程对应确定准线方程，但一个准线方程却对应无数个双曲线方程2、p能推出q，且q不能推出p，则p是q的充分不必要条件4（5分）已知ABC中，a=，b=，B=60，那么角A等于（）A135B90C45D30【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由ab确定A、B的关系，进而可得答案【解答】解析：由正弦定理得：，A=45或135abABA=45故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用属基础题正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握5（5分）函数f（x）=（x1）2+1（x1）的反函数为（）ABCD【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：（1）换：x、y换位，（2）解：解出y，（3）标：标出定义域，据此即可求得反函数【解答】解：y=（x1）2+1，（x1）2=y1，x1即x10，移项并换号得；又原函数的值域是y1，故选：B【点评】本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是求出原函数的值域，此题是一道比较基础的习题，希望同学们解答时一定注意：一是要注意利用原函数的定义域去判定在逆运算的过程中根号前面的符号，二是用原函数的值域作为反函数的定义域6（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD9【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Zmin=3x+2y=30=1故选：B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解7（5分）已知等差数列an中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列bn的前5项和等于（）A30B45C90D186【考点】83：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得an，进而得到bn，然后利用前n项和公式求解即可【解答】解：设an的公差为d，首项为a1，由题意得，解得；an=3n，bn=a2n=6n，且b1=6，公差为6，S5=56+=90故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键8（5分）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2xcosD1BD=2是一次函数，所以排除D故选：B【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若角的终边经过点P（1，2），则tan2的值为【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【分析】根据角的终边经过点P（1，2），可先求出tan的值，进而由二倍角公式可得答案【解答】解：角的终边经过点P（1，2），故答案为：【点评】本题主要考查正切函数的定义及二倍角公式10（5分）不等式的解集是x|x2【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【分析】已知不等式，先将其移项、通分，从而求出不等式的解集【解答】解：，x+20，x2，故答案为：x|x2【点评】此题主要考查分式不等式的解法，学生易忽视不等式的基本性质，直接去分母求解11（5分）已知向量与的夹角为120，且|=|=4，那么的值为8【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】41：向量法【分析】利用2个向量的数量积公式，2个向量相乘的结果，等于向量的模相乘，再乘以这两个向量夹角的余弦值【解答】解：故答案为8【点评】本题考查2个向量的数量积公式的应用，是一道基础题12（5分）的展开式中常数项为 10；各项系数之和为 32（用数字作答）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为0求出展开式的常数项；令二项式中的x等于1求出各项系数和【解答】解：，由105r=0得r=2，故展开式中常数项为C52=10；取x=1即得各项系数之和为（1+1）5=32故答案为10，32【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查求展开式的系数和问题常用的方法是赋值法13（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）=2；=2（用数字作答）【考点】3T：函数的值；6F：极限及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由函数的图象可知，当0x2，f（x）=2，所以由导数的几何意义知=f（1）=2【解答】解：f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，由函数的图象可知，由导数的几何意义知=f（1）=2答案：2；2【点评】本题考查函数的图象，导数的几何意义数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视14（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；|x1|x2其中能使f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是【考点】3R：函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f（x）=2x+sinx，在0，上f（x）0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x1）f（x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可【解答】解：函数f（x）为偶函数，f（x）=2x+sinx，当0x时，0sinx1，02x，f（x）0，函数f（x）在0，上为单调增函数，由偶函数性质知函数在，0上为减函数当x12x22时，得|x1|x2|0，f（|x1|）f（|x2|），由函数f（x）在上，为偶函数得f（x1）f（x2），故成立，而f（）=f（），不成立，同理可知不成立故答案是故应填【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙三、解答题（共7小题，满分80分）15（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得（）由（）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围【解答】解：（）=函数f（x）的最小正周期为，且0，解得=1（）由（）得，即f（x）的取值范围为【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方16（14分）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小【考点】L3：棱锥的结构特征；LR：球内接多面体菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】法一（）要证：PCAB，构造过PC的平面PCD，使得AB平面PCD（）取AP中点E连接BE，CE；说明BEC是二面角BAPC的平面角，再求二面角BAPC的大小法二（）证明PC平面ABC即可（）建立空间直角坐标系，通过数量积求其二面角BAPC的大小的余弦值，再求二面角的大小【解答】解：法一：（）取AB中点D，连接PD，CDAP=BP，PDABAC=BC，CDABPDCD=D，AB平面PCDPC平面PCD，PCAB（）AC=BC，AP=BP，APCBPC又PCAC，PCBC又ACB=90，即ACBC，且ACPC=C，BC平面PAC取AP中点E连接BE，CEAB=BP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，BCE=90，BC=2，BE=，sinBEC=二面角BAPC的大小为arcsin解法二：（）AC=BC，AP=BP，APCBPC又PCAC，PCBCACBC=C，PC平面ABCAB平面ABC，PCAB（）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）设P（0，0，t）|PB|=|AB|=2，t=2，P（0，0，2）取AP中点E，连接BE，CE|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，CEAP，BEAPBEC是二面角BAPC的平面角E（0，1，1），=（0，1，1），=（2，1，1），cosBEC=二面角BAPC的大小为arccos【点评】本题考查直线与直线的垂直，二面角，容易出错点：二面角的平面角找不到，计算不正确17（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b0），且g（x）=f（x）2是奇函数（）求a，c的值；（）求函数f（x）的单调区间【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【分析】（1）先利用奇函数的定义g（x）=g（x）求出a，c的值；（2）求导数令其为0，判断根左右两边的符号，求出函数的单调性注意对参数的讨论【解答】解：（）因为函数g（x）=f（x）2为奇函数，所以，对任意的xR，都有g（x）=g（x），即f（x）2=f（x）+2又f（x）=x3+ax2+3bx+c所以x3+ax23bx+c2=x3ax23bxc+2所以解得a=0，c=2（）由（）得f（x）=x3+3bx+2所以f（x）=3x2+3b（b0）当b0时，由f（x）=0得x变化时，f（x）的变化情况如下：，时f（x）0，时f（x）0，时f（x）0所以，当b0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当b0时，f（x）0，所以函数f（x）在（，+）上单调递增【点评】本题考查函数的奇偶性，利用导数求函数的单调区间的方法注意：含参数的函数求单调性时一般需要讨论18（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率菁优网版权所有【分析】A33 （）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，满足条件的事件数A33，根据古典概型公式得到结果（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是两个人在一个岗位上，由对立事件概率公式得到结果【解答】解：（）由题意知本题是一个古典概型，记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，满足条件的事件数A33，（）由题意知本题是一个古典概型，设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，不满足条件的事件数A44，由对立事件的概率公式得到甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是【点评】本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素19（14分）已知ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且ABl（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程再由以AB为底，计算三角形面积（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值【解答】解：（）因为ABl，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由得x=1所以|AB|=又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离所以h=，SABC=|h=2（）设AB所在直线的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m24=0因为A，B在椭圆上，所以=12m2+640设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，所以|AB|=又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=m22m+10=（m+1）2+11所以当m=1时，AC边最长，（这时=12+640）此时AB所在直线的方程为y=x1【点评】本题是属于对直线与圆锥曲线的位置关系的考查注意到解析几何的综合题在高考中的“综合的程度”往往比较高，且计算量常常较大，因此平时复习时要注意其深难度，同时注意加强计算能力的培养20（13分）数列an满足a1=1，an+1=（n2+n）an（n=1，2，），是常数（）当a2=1时，求及a3的值；（）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an0【考点】8B：数列的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（）由题设条件知当a2=1时，得1=2，故=3从而求出a3（）由题意知若存在，使an为等差数列，则有a2a1=1=2，a4a3=（11）（6）（2）=24这与an为等差数列矛盾所以，对任意，an都不可能是等差数列（）记bn=n2+n（n=1，2，），n0=2k（k=1，2，），则满足由此可求出故的取值范围【解答】解：（）由于an+1=（n2+n）an（n=1，2，），且a1=1所以当a2=1时，得1=2，故=3从而a3=（22+23）（1）=3（）数列an不可能为等差数列，证明如下：由a1=1，an+1=（n2+n）an得a2=2，a3=（6）（2），a4=（12）（6）（2）若存在，使an为等差数列，则a3a2=a2a1，即（5）（2）=1，解得=3于是a2a1=1=2，a4a3=（11）（6）（2）=24这与an为等差数列矛盾所以，对任意，an都不可能是等差数列（）记bn=n2+n（n=1，2，），根据题意可知，b10且bn0，即2且n2+n（nN*），这时总存在n0N*，满足：当nn0时，bn0；当nn01时，bn0所以由an+1=bnan及a1=10可知，若n0为偶数，则，从而当nn0时，an0；若n0为奇数，则，从而当nn0时an0因此“存在mN*，当nm时总有an0”的充分必要条件是：n0为偶数，记n0=2k（k=1，2，），则满足故的取值范围是4k22k4k2+2k（kN*）【点评】本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答 第12页（共12页）2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设集合，则AB=（）Ax|1x2BCx|x2Dx|1x22（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kR），=，如果，那么（）Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向3（5分）若（a，b为理数），则a+b=（）A33B29C23D194（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A8B24C48D1206（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）AB1CD8（5分）设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心，若集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，则集合S表示的平面区域是（）A三角形区域B四边形区域C五边形区域D六边形区域二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若sin=，tan0，则cos= 10（5分）若数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN*），则a5= ；前8项的和S8= （用数字作答）11（5分）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为 12（5分）已知函数若f（x）=2，则x= 13（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= ，F1PF2的大小为 14（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k+1A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）已知函数f（x）=2sin（x）cosx（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小17（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望18（14分）设函数f（x）=x33ax+b（a0）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值点19（14分）已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，右准线方程为（）求双曲线C的方程；（）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值20（13分）设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由第2页（共2页）2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设集合，则AB=（）Ax|1x2BCx|x2Dx|1x22（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kR），=，如果，那么（）Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向3（5分）若（a，b为理数），则a+b=（）A33B29C23D194（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A8B24C48D1206（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）AB1CD8（5分）设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心，若集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，则集合S表示的平面区域是（）A三角形区域B四边形区域C五边形区域D六边形区域二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若sin=，tan0，则cos= 10（5分）若数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN*），则a5= ；前8项的和S8= （用数字作答）11（5分）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为 12（5分）已知函数若f（x）=2，则x= 13（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= ，F1PF2的大小为 14（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k+1A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）已知函数f（x）=2sin（x）cosx（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小17（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望18（14分）设函数f（x）=x33ax+b（a0）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值点19（14分）已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，右准线方程为（）求双曲线C的方程；（）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值20（13分）设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由2009年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设集合，则AB=（）Ax|1x2BCx|x2Dx|1x2【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【分析】根据题意，分析集合B，解x21，可得集合B，再求AB的并集可得答案【解答】解：，B=x|x21=x|1x1AB=x|1x2，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法属于基础知识、基本运算的考查2（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kR），=，如果，那么（）Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=1是否满足条件，从而选出应选的选项【解答】解：=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），显然，与不平行，排除A、B若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），即 且与反向，排除C，故选：D【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍3（5分）若（a，b为理数），则a+b=（）A33B29C23D19【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用二项式定理的展开式将二项式展开，利用组合数公式化简展开式，列出方程求出a，b，求出a+b【解答】解：=，由已知，得，a+b=17+12=29故选：B【点评】本题考查二项式定理的展开式；要熟练掌握公式4（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案【解答】解：，只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C【点评】本题主要考查函数图象的平移变换属于基础知识、基本运算的考查5（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A8B24C48D120【考点】D3：计数原理的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数【解答】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=432=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有224=48（个）故选：C【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题6（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】当=时，cos2；反之，当时，kZ，或所以“”是“”的充分而不必要条件【解答】解：当=时，cos2，反之，当时，可得，kZ，或，“”是“”的充分而不必要条件故选：A【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答7（5分）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）AB1CD【考点】LS：直线与平面平行菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，B1AB=60，BB1=1tan60=，故选：D【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查8（5分）设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心，若集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，则集合S表示的平面区域是（）A三角形区域B四边形区域C五边形区域D六边形区域【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域菁优网版权所有【专题】16：压轴题；31：数形结合【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，要求集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，表示的平面区域的形状，我们要先根据集合中点P满足的性质，找出所表示区域的边界，进而判断出区域各边界围成的图形形状【解答】解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，若|PP0|=|PPi|当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由PD，故P点的轨迹为ED；当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由PD，故P点的轨迹为AF；当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由PD，故P点的轨迹为BC；故满足条件集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF，故选：D【点评】本题主要考查集合与平面几何基础知识本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力属于创新题型二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若sin=，tan0，则cos=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【分析】根据sin2+cos2=1可得答案【解答】解：由已知，在第三象限，cos=故答案为：【点评】本题主要考查简单的三角函数的运算属于基础知识、基本运算的考查10（5分）若数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN*），则a5=16；前8项的和S8=255（用数字作答）【考点】89：等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据a1=1，an+1=2an通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过an+1=2an可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，an+1=2an，即=2数列an为等比数列，首项为1，公比为2，故答案为：16，255【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题属于基础知识、基本运算的考查11（5分）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为9【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数s=x+y的最大值【解答】解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值故答案为：9【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解12（5分）已知函数若f（x）=2，则x=log32【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案【解答】解：由x=log32，无解，故答案：log32【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值属于基础知识、基本运算的考查分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者13（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2，F1PF2的大小为120【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6|PF1|=2在F1PF2中，cosF1PF2=，F1PF2=120故答案为：2；120【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位14（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k+1A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有6个【考点】12：元素与集合关系的判断菁优网版权所有【专题】23：新定义；5J：集合【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素因此，符合题意的集合是：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8共6个故答案为：6【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力属于创新题型列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）已知函数f（x）=2sin（x）cosx（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】（1）先将函数f（x）化简为f（x）=sin2x，再由T=可得答案（2）先由x的范围确定2x的范围，再根据三角函数的单调性可求出最值【解答】解：（）f（x）=2sin（x）cosx=2sinxcosx=sin2x，函数f（x）的最小正周期为（）由2x，sin2x1，f（x）在区间上的最大值为1，最小值为【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力16（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（）欲证平面AEC平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC平面PDB；（）设ACBD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知AEO为AE与平面PDB所的角，在RtAOE中求出此角即可【解答】（）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB（）解：设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，AEO=45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题17（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果（2）由题意知变量的可能取
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