北京高考数学（文科）真题试卷2009-2020
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北京高考数学（文科）真题试卷2009-2020,北京,高考,数学,文科,试卷,2009,2020
- 内容简介：
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2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设集合，则AB=（）Ax|1x2BCx|x2Dx|1x22（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kR），=，如果，那么（）Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向3（5分）若（a，b为理数），则a+b=（）A33B29C23D194（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A8B24C48D1206（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）AB1CD8（5分）设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心，若集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，则集合S表示的平面区域是（）A三角形区域B四边形区域C五边形区域D六边形区域二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若sin=，tan0，则cos= 10（5分）若数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN*），则a5= ；前8项的和S8= （用数字作答）11（5分）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为 12（5分）已知函数若f（x）=2，则x= 13（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= ，F1PF2的大小为 14（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k+1A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）已知函数f（x）=2sin（x）cosx（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小17（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望18（14分）设函数f（x）=x33ax+b（a0）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值点19（14分）已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，右准线方程为（）求双曲线C的方程；（）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值20（13分）设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由2009年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设集合，则AB=（）Ax|1x2BCx|x2Dx|1x2【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【分析】根据题意，分析集合B，解x21，可得集合B，再求AB的并集可得答案【解答】解：，B=x|x21=x|1x1AB=x|1x2，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法属于基础知识、基本运算的考查2（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kR），=，如果，那么（）Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=1是否满足条件，从而选出应选的选项【解答】解：=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），显然，与不平行，排除A、B若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），即 且与反向，排除C，故选：D【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍3（5分）若（a，b为理数），则a+b=（）A33B29C23D19【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用二项式定理的展开式将二项式展开，利用组合数公式化简展开式，列出方程求出a，b，求出a+b【解答】解：=，由已知，得，a+b=17+12=29故选：B【点评】本题考查二项式定理的展开式；要熟练掌握公式4（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案【解答】解：，只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C【点评】本题主要考查函数图象的平移变换属于基础知识、基本运算的考查5（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A8B24C48D120【考点】D3：计数原理的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数【解答】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=432=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有224=48（个）故选：C【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题6（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】当=时，cos2；反之，当时，kZ，或所以“”是“”的充分而不必要条件【解答】解：当=时，cos2，反之，当时，可得，kZ，或，“”是“”的充分而不必要条件故选：A【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答7（5分）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）AB1CD【考点】LS：直线与平面平行菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，B1AB=60，BB1=1tan60=，故选：D【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查8（5分）设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心，若集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，则集合S表示的平面区域是（）A三角形区域B四边形区域C五边形区域D六边形区域【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域菁优网版权所有【专题】16：压轴题；31：数形结合【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，要求集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，表示的平面区域的形状，我们要先根据集合中点P满足的性质，找出所表示区域的边界，进而判断出区域各边界围成的图形形状【解答】解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，若|PP0|=|PPi|当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由PD，故P点的轨迹为ED；当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由PD，故P点的轨迹为AF；当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由PD，故P点的轨迹为BC；故满足条件集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF，故选：D【点评】本题主要考查集合与平面几何基础知识本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力属于创新题型二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若sin=，tan0，则cos=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【分析】根据sin2+cos2=1可得答案【解答】解：由已知，在第三象限，cos=故答案为：【点评】本题主要考查简单的三角函数的运算属于基础知识、基本运算的考查10（5分）若数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN*），则a5=16；前8项的和S8=255（用数字作答）【考点】89：等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据a1=1，an+1=2an通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过an+1=2an可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，an+1=2an，即=2数列an为等比数列，首项为1，公比为2，故答案为：16，255【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题属于基础知识、基本运算的考查11（5分）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为9【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数s=x+y的最大值【解答】解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值故答案为：9【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解12（5分）已知函数若f（x）=2，则x=log32【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案【解答】解：由x=log32，无解，故答案：log32【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值属于基础知识、基本运算的考查分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者13（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2，F1PF2的大小为120【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6|PF1|=2在F1PF2中，cosF1PF2=，F1PF2=120故答案为：2；120【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位14（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k+1A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有6个【考点】12：元素与集合关系的判断菁优网版权所有【专题】23：新定义；5J：集合【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素因此，符合题意的集合是：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8共6个故答案为：6【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力属于创新题型列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）已知函数f（x）=2sin（x）cosx（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】（1）先将函数f（x）化简为f（x）=sin2x，再由T=可得答案（2）先由x的范围确定2x的范围，再根据三角函数的单调性可求出最值【解答】解：（）f（x）=2sin（x）cosx=2sinxcosx=sin2x，函数f（x）的最小正周期为（）由2x，sin2x1，f（x）在区间上的最大值为1，最小值为【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力16（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（）欲证平面AEC平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC平面PDB；（）设ACBD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知AEO为AE与平面PDB所的角，在RtAOE中求出此角即可【解答】（）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB（）解：设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，AEO=45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题17（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望【解答】解：（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，事件A的概率为（）由题意可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），即的分布列是 02468P 的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率18（14分）设函数f（x）=x33ax+b（a0）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值点【考点】62：导数及其几何意义；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【分析】（1）已知函数的解析式f（x）=x33ax+b，把点（2，f（2）代入，再根据f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求出a，b的值；（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；【解答】解：（）f（x）=3x23a，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，（）f（x）=3（x2a）（a0），当a0时，f（x）0，函数f（x）在（，+）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点当a0时，由，当时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当时，f（x）0，函数f（x）单调递增，此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力19（14分）已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，右准线方程为（）求双曲线C的方程；（）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值【考点】KB：双曲线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（）由离心率和准线方程求的a和c，再根据b2=c2a2求得b，进而可得双曲线的方程（）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出x0和y0，把点M代入圆的方程气的m【解答】解：（）由题意，得，解得，b2=c2a2=2，所求双曲线C的方程为（）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2
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