第九章压杆稳定

1、材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 9.1 概概 述述一、问题的提出一、问题的提出材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3构件的承载能力构件的承载能力强度强度刚度刚度稳定性稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能够安全可靠地工作。能够安全可靠地工作。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5 2006 2006年年1212月月9

2、9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进行承重日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进行承重测试时突然坍塌测试时突然坍塌, ,约约5050米桥体连同桥上进行测试的米桥体连同桥上进行测试的1010辆满载煤渣的运输车辆满载煤渣的运输车一起塌下一起塌下,1,1名司机和名司机和2 2名检测人员受伤。名检测人员受伤。 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6压杆稳定性问题尤为重要！压杆稳定性问题尤为重要！材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7 稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随遇平衡随遇平衡判断方法判断方法 微小扰动法微小扰动法 在平衡位置给物体一任意微小

3、扰动，扰动消失后考察在平衡位置给物体一任意微小扰动，扰动消失后考察物体是否自动恢复原平衡位置。物体是否自动恢复原平衡位置。 二、三种平衡状态及判断方法二、三种平衡状态及判断方法材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8稳定平衡稳定平衡Fkl材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9保持常态、稳定保持常态、稳定失去常态、失稳失去常态、失稳压弯压弯曲线平衡曲线平衡轴压轴压直线平衡直线平衡恢复恢复直线平衡直线平衡失稳失稳曲线平衡曲线平衡FFcr微小扰动微小扰动F弹弹 性性 杆杆 FFcr(a)Fcr(c) Fcr(d) 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木

4、工程学院28alABCEIEI=F图示刚架，杆图示刚架，杆AB为刚性杆，杆为刚性杆，杆BC为弹性梁，其抗为弹性梁，其抗弯刚度弯刚度EI为常数。在刚性杆顶端受到荷载为常数。在刚性杆顶端受到荷载F作用，作用，已知尺寸已知尺寸a和和l，求该结构的临界荷载。，求该结构的临界荷载。解：结构受到扰动后处于图示平衡状态解：结构受到扰动后处于图示平衡状态Fcrd dq qq q由图可知，弹性梁由图可知，弹性梁BC在在B端承受的外力偶矩为端承受的外力偶矩为crBMFd弹性梁弹性梁BC在在B端外力偶矩端外力偶矩MB的作用下近端的转角为的作用下近端的转角为cr33BFaM aEIEIdqcr3EIFal所以结构的临

5、界荷载为所以结构的临界荷载为ldq因为因为材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院2949123minm1017.410121050I48minm1089.3zII解：图解：图(a)图图(b)22mincr2214.17 20067.14kN()(0.7 0.5)IEFlpp 22mincr2220.389 20076.8kN()(2 0.5)IEFlpp 分别求下列分别求下列细长压杆细长压杆的临界荷载。已知的临界荷载。已知 l =0.5m，E=200GPa。(45 45 6) 等边角钢等边角钢5010图图(a)Fl图图(b)Flyz材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学

6、土木工程学院30解：由平衡方程求得杆件压力为解：由平衡方程求得杆件压力为cossinACBCFFFFqq 两杆分别达到临界荷载时两杆分别达到临界荷载时F可达最大值。可达最大值。22cr22coscosACACEIEIFFllqmpp22cr22sinsinBCBCEIEIFFllqmpp2crcrtancotBCACFFq2arctan(cot)q图示两杆材料截面相同，均为细长杆，若杆件图示两杆材料截面相同，均为细长杆，若杆件在在ABC面内因失稳而引起破坏，试求荷载面内因失稳而引起破坏，试求荷载F为为最大值时的最大值时的q q 角（设角（设0 q q p p/2）。）。ABCFlq q 材料力

7、学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31lFcr1lFcr2两根材料相同，长度相等的细长压杆，杆两根材料相同，长度相等的细长压杆，杆为正方形截面，杆为正方形截面，杆为圆截面。两横截面面为圆截面。两横截面面积相等，求其临界荷载的比值。积相等，求其临界荷载的比值。解：杆解：杆的形心主惯性矩为的形心主惯性矩为421212aAI 2221cr2212EIEAFllpp所以所以杆杆的形心主惯性矩为的形心主惯性矩为24464644dAIpp pp222cr224EIEAFllpp所以所以1cr2cr:3FFp材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32解：受压力作用时，桁架周

8、边四根杆均受压，解：受压力作用时，桁架周边四根杆均受压，结构的临界荷载即为压杆失稳时的荷载结构的临界荷载即为压杆失稳时的荷载221cr1cr22= 22FEIEIFaapp ，受拉力作用时，桁架中间一根杆受压，受拉力作用时，桁架中间一根杆受压，结构的临界荷载即为压杆失稳时的荷载结构的临界荷载即为压杆失稳时的荷载222cr2cr22=2( 2 )EIEIFFaapp ，1cr2cr:2 2FFaaABCDF1F1细长杆组成的正方形桁架，分别受一对细长杆组成的正方形桁架，分别受一对压力和一对拉力作用，只考虑压杆稳定压力和一对拉力作用，只考虑压杆稳定的情况下，求两结构临界荷载的比值。的情况下，求两结

9、构临界荷载的比值。aaABCDF2F212F12F1F22F22F2F材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33一、临界应力一、临界应力欧拉公式的一般形式欧拉公式的一般形式2cr2EIFlmp临界应力临界应力2crcr2FEIAlAsmpIiA引入惯性半径引入惯性半径22222()EiEllimmpp9.4 9.4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围令令lim称为实际压杆的称为实际压杆的柔度柔度（长细比长细比） 柔度柔度 集中反映压杆的长度、约束条件、截面尺寸集中反映压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。和形状对临界应力的影响。材料力学材料力学中南大学土木工

10、程学院中南大学土木工程学院34用临界应力表达的用临界应力表达的欧拉公式欧拉公式2cr2Esp同一杆件，失稳同一杆件，失稳一定发生在一定发生在 较较大的纵向平面内。大的纵向平面内。xyz轴销轴销相同面积条件下，临界应相同面积条件下，临界应力力s scr越小，越容易失稳。越小，越容易失稳。对应于杆在对应于杆在xy平面内的平面内的(绕绕z)失稳，杆端约束相当于两端铰支。失稳，杆端约束相当于两端铰支。2cr2zEs1zzzzlliim对应于杆在对应于杆在xz平面内平面内(绕绕y)失稳，杆端约束接近于两端固定。失稳，杆端约束接近于两端固定。2cr2yEs0.5yyyylliim 临界应力值应是上列两种计

11、算值临界应力值应是上列两种计算值中的较小者，即中的较小者，即对应较大的柔度计算对应较大的柔度计算的临界应力值的临界应力值。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35因为两杆面积相同于是因为两杆面积相同于是 Fcr(a) b s scr(a) s sp 超过压杆比例超过压杆比例极限的稳定问题极限的稳定问题材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38超过材料比例极限的压杆稳定问题可用经验公式处理。超过材料比例极限的压杆稳定问题可用经验公式处理。 直线公式直线公式 s scr=ab a、b查表查表Q235钢钢a=304MPab=1.12MPasplim中柔度杆中柔度

12、杆 中长杆中长杆 直线经验公式须保证应力不大于屈服极限直线经验公式须保证应力不大于屈服极限s sp s scr s ssssalibsmab s sslim s 小柔度杆小柔度杆(短粗杆短粗杆)此时此时s scr s ss不属于压杆的稳定性问题，按抗压强度处理。不属于压杆的稳定性问题，按抗压强度处理。 抛物线抛物线公式公式( (中小柔度杆中小柔度杆) )s scr=a1 b1 2 a1 ，b1 查表，具体请参阅有关规范。查表，具体请参阅有关规范。 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院390590.19928.7松松 木木0503.26392硬硬 铝铝0555.29980铬铬

13、 钼钼 钢钢601003.74577s ss=353MPas sb510MPa硅硅 钢钢601002.57460s ss=306MPas sb=470MPa优质优质碳钢碳钢61.41001.12304s ss=235MPas sb=372MPaQ235钢钢 s pb (MPa)a (MPa)材材 料料一些常用材料的一些常用材料的a、b、 p、 s材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40柔柔 度：度：影响压杆承载能力的综合指标，根据柔度的不同将压杆分成三类。影响压杆承载能力的综合指标，根据柔度的不同将压杆分成三类。细长杆细长杆( p) 发生弹性失稳；发生弹性失稳；中长杆中长杆

14、( s p) 发生弹塑性失稳；发生弹塑性失稳；短粗短粗杆杆( s ) 不发生失稳，而发生屈服。不发生失稳，而发生屈服。实际压杆柔度（长细比）实际压杆柔度（长细比）lim三、临界应力总图三、临界应力总图中长杆中长杆 细长杆细长杆短粗杆短粗杆2cr2Esp2cr11abs临界应力总图临界应力总图材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41强度强度条件条件0r nsss相当应力不大相当应力不大 于许用应力于许用应力 极限应力和安全因数只与材料有关，与实际应力极限应力和安全因数只与材料有关，与实际应力状态无关，即强度许用应力为常数。状态无关，即强度许用应力为常数。9.59.5 9.6

15、9.6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算极限应力极限应力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料s0bsss稳定稳定条件条件0crwststFAnnssss工作应力不大于工作应力不大于稳定许用应力。稳定许用应力。 极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅与材料有关，极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束条件、横截面尺寸和形状有关，而且与实际压杆的长度、约束条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。即与实际压杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42稳定条件稳定条件crcrsts

16、tFFAnAnss工作安工作安全因数全因数 crcrstFnnFss规定的稳定规定的稳定 安全因数安全因数 工作安全因数不小于规定的稳定安全因数。工作安全因数不小于规定的稳定安全因数。必须由柔度判断压杆属何种性质的杆，必须由柔度判断压杆属何种性质的杆，用何公式来计算临界应力或临界荷载。用何公式来计算临界应力或临界荷载。注注意意一、安全因数法一、安全因数法理想压杆：材料均匀，轴线笔直，荷载无偏心理想压杆：材料均匀，轴线笔直，荷载无偏心。实际压杆：材料缺陷，轴线初弯，荷载偏心。实际压杆：材料缺陷，轴线初弯，荷载偏心。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院432、判断压杆属于何种性

17、质的压杆；、判断压杆属于何种性质的压杆；2plEimsp细长杆细长杆2splEimsp中长杆中长杆3、由压杆性质确定受压杆件临界应力公式；、由压杆性质确定受压杆件临界应力公式；中长杆经验公式中长杆经验公式 s scr=ab 工作安工作安全因数全因数 crcrstNFnnFss规定的稳定规定的稳定 安全因数安全因数 4、由下列公式计算；、由下列公式计算；NFAs其中其中安全因数法计算压杆稳定步骤：安全因数法计算压杆稳定步骤：1、计算受压杆件的的内力、计算受压杆件的的内力FN；细长杆细长杆欧拉公式欧拉公式2cr2()EIFlmp2cr2Esp或或材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程

18、学院44s scr、nst与压杆柔度与压杆柔度 有关，有关，sw是的是的 函数。函数。s sw=j j s s s s 强度许用应力强度许用应力 j j 稳定（折减）因数稳定（折减）因数 j j 1 与柔度与柔度 有关有关crwstFAnsss不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，只需由柔度确定不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，只需由柔度确定对应的稳定因数，按类似强度条件简化计算。对应的稳定因数，按类似强度条件简化计算。注注意意稳定条件稳定条件 FAsj s工作应力不大于工作应力不大于 稳定许用应力稳定许用应力二、稳定（折减）因数法二、稳定（折减）因数法材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学

19、土木工程学院45min47.261.68cm2 8.367IiA15089.31001.68lim24118.367cm 23.63cmyAI，解：查表得一根角钢：解：查表得一根角钢：两根角钢图示组合之后两根角钢图示组合之后 IyIz所以，用经验公式求所以，用经验公式求临界压力。临界压力。4min122 23.6347.26cmyyIIIcr3041.12 89.3204MPaabs46crcr2 8.367 10204 10341.4kNFAs cr341.42.28150FnF稳定安全稳定安全因因数数一压杆长一压杆长1.5m，由两根，由两根 5.6号（号（56 56 8） 等边角钢组成，两

20、端铰支，等边角钢组成，两端铰支，压力压力F=150kN，角钢为，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力和稳定安全因数和稳定安全因数n。y1zy材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院46ABQ235钢制成的矩形截面杆，两端约束以及所承受的荷载如图示（钢制成的矩形截面杆，两端约束以及所承受的荷载如图示（为正为正视图，视图，为俯视图），在为俯视图），在AB两处为销钉连接。已知两处为销钉连接。已知b=20mm，h=50mm，l=940mm，l1=880mm，F=70kN， s s =200MPa，校核杆件的稳定性。，校核杆件的稳定性。z

21、byhl1bFFxzhlFFxyxyz解解: 1、计算柔度、计算柔度xy面内，两端铰面内，两端铰支绕支绕z轴发生失稳，轴发生失稳，计算简图如下。计算简图如下。BAlyxFzbyhm m =1194065.114.43zzlim5014.43mm2 32 3zhi 惯性半径和柔度分别为惯性半径和柔度分别为材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47xz面内，两端固定，绕面内，两端固定，绕y轴发生失稳，轴发生失稳，m m =0.5，计算简图如下。，计算简图如下。205.77mm2 32 3ybi 0.5 88076.35.77yyliml1FzxBAl1bFFxzxyzzbyh惯性

22、半径和柔度分别为惯性半径和柔度分别为比较比较 z=65.1 y=76.3 因为因为 z y 所以所以 xz面内先失稳，即绕面内先失稳，即绕 y 轴失稳轴失稳 。 按较大的柔度按较大的柔度 y来确定压杆的稳定因数来确定压杆的稳定因数j j。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院482、稳定性校核、稳定性校核满足稳定性条件！满足稳定性条件！36270 10 N70MPa2050 10mFAsj js s =142MPa由线性插值法求由线性插值法求 y=76.3时的稳定因数时的稳定因数j j。0.7140.7070.71476.3767776j0.714 0.3 (0.707 0.

23、714)0.712j材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院491 64800.3zzlim解：解： 最大柔度最大柔度xy面内，两端视为铰支面内，两端视为铰支 m mz=12641600.3yylimxz面内，一端固支，一端自由面内，一端固支，一端自由 m my=2 图示构架起吊重物，图示构架起吊重物，BC为钢拉索，为钢拉索， AB 杆为圆松木，长杆为圆松木，长 l = 6m， s s =11MPa，松木直径，松木直径d = 0.3m，试试求此松木杆的求此松木杆的许用许用压力。压力。xyzOBAWFTC求稳定因数求稳定因数木杆木杆227530003000 1600.117j ，

24、求求许用许用压力压力 260.30.117 11 1091kN4ABABFAj sp材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50210441112.74cm1.52cm,198.3cm25.6cmzyAzII，4122 198.3396.6cmzzII解解：对于单个对于单个1010号槽钢，形心在号槽钢，形心在C1 1点。点。两根槽钢图示组合之后，两根槽钢图示组合之后，21102(/2) yyIIA za2198.325.6 12.74(1.52/2)a即即最合理最合理图示立柱，图示立柱，l =6m，由两根，由两根10号槽钢组成，材料为号槽钢组成，材料为Q235钢，钢，E=200

25、GPa，s sp =200MPa，下端固定，上端为球铰支座，试问，下端固定，上端为球铰支座，试问a 多大时，立柱的临多大时，立柱的临界压力最大，值为多少？界压力最大，值为多少？Flz1y1z0yC1az22 25.6 12.74 (1.52/2) aIy=Iz时，立柱的临界压力最大。时，立柱的临界压力最大。求得求得 a=4.32cm材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院51229p6P200 1099.3200 10Espp 222cr22200396.6 10443.8kN()(0.76)EIFlmpp 求临界求临界荷载荷载属于大柔度杆，由欧拉公式求临界荷载。属于大柔度杆，

26、由欧拉公式求临界荷载。p8410.760.76106.5396.6 1022 12.74 10zliIAmFl材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52 解：解：杆杆221111 1112.542 100801222.5IDdiAlim2cr1cr1cr12400.00682196.3MPa4.32kNFAss1图示结构，已知图示结构，已知 E=200GPa， Iz，于是，于是 iyiz对两根等边角钢的组合截面而言，惯性半径对两根等边角钢的组合截面而言，惯性半径越小，其柔度越大，因此取越小，其柔度越大，因此取 iz=izC=1.94cm。21 21031.94 10CDzzl

27、im材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院57查查Q235b类截面中心受压直杆对应类截面中心受压直杆对应 =103时的稳定因数为时的稳定因数为 j j =0.542。cr 0.542 17092MPasj s立柱的工作应力立柱的工作应力3Ncr4120 1097.7MPa 2 6.14 10FAss立柱立柱CD的稳定性不符合要求。的稳定性不符合要求。2mABCq2m2mDz1058ABql材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58 解：（解：（1）求）求杆的受力杆的受力 F1=3F （2）确定）确定 j j ( ) 1500100( )0.1660 4j ，

28、（3）确定结构的许可荷载）确定结构的许可荷载 F 1113( )FFAAj s图示结构，图示结构，杆的直径杆的直径d=60mm，许用应力许用应力s s =160 MPa。试根据试根据杆的稳定条件确定结构的许可荷载杆的稳定条件确定结构的许可荷载 F 。 60708090100)( j j0.44 0.34 0.26 0.200.16Fd 1.5ma2a11 ( ) 3FAj s231600.16 1601024kN34p材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院59解：解：杆许可荷载杆许可荷载正方形截面木制压杆正方形截面木制压杆、杆的杆的许用应力许用应力s s =10MPa，截面的

29、边，截面的边长长a=100mm，求，求、杆同时达杆同时达到稳定许用应力时，到稳定许用应力时，x与与a的关系。的关系。F x 3m 2m a2300080( )j ，22080( )1.020.55100j ，杆许可荷载杆许可荷载1111121 30003000103.9( )0.278 ( )27.7kN103.9100/ 12FAj s j ， 222222200069.32069.2( )1.020.550.58 ( )58kN100100/ 12FAj s j ，利用变形条件利用变形条件 11 111 122 222 227.8 358 2lFl EAFlxlF lEAF la解得：解得

30、： x=0.719a 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院60解解: :( (1) )求求BC杆的轴力杆的轴力2N103sin30202ABCMqF ；以以AB梁为分离体，对梁为分离体，对A点取矩，有：点取矩，有：托架的撑杆为空心管，材料为托架的撑杆为空心管，材料为Q235钢，钢，弹性模量弹性模量E=206GPa。管。管外径外径D=50mm，内径内径d=40mm，两端球形铰支，稳定安，两端球形铰支，稳定安全因数全因数nst=3。根据该杆的稳定性要求确根据该杆的稳定性要求确定横梁上均布荷载集度定横梁上均布荷载集度q的许可值。的许可值。1m2m300ABCq-截面截面( (2)

31、 )求求BC杆的临界荷载杆的临界荷载2222504016mm44Ddi0p321cos30144.316 10limBC为细长杆，可用欧拉公式计算临界力。为细长杆，可用欧拉公式计算临界力。qFBC5 . 4NcrstNBCFnnFcrst69 5.1kN/m4.54.5 3Fqn2crcr269kNEFAAsp材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院61图示结构，图示结构，杆为钢圆杆，直径杆为钢圆杆，直径d1=50mm，强度，强度许用应力许用应力s s =160MPa，弹性模量弹性模量E=200GPa。 杆为铸铁圆杆，直径杆为铸铁圆杆，直径d2=100mm，许用压应力，许用压应

32、力s sc =160MPa，E=180GPa。若横梁视为刚性梁，试求。若横梁视为刚性梁，试求许可荷载许可荷载 F 。F2mA2m2m2m2mBCD解：设解：设和和杆的轴力分别为杆的轴力分别为FN1和和FN2。由平衡方程和变形协调方程有由平衡方程和变形协调方程有FN1FN2N1N2246FFFN1N211222F lF lE AE AN2N17.2FF所以：所以：N1N1N2N25.13240.716FFFFF由由杆的强度条件杆的强度条件2N11 160(50)314.2kN4FAspN15.131612kNFF材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院62考虑考虑杆的稳定性条件杆

33、的稳定性条件2N2c20.26 160(100)326.8kN4FAj sp4 1 200080100lim 铸铁对应的铸铁对应的j j =0.26。N20.71232kNFF取取 F=232kNF2mA2m2m2m2mBCD材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院63lllABCDF图示材料相同，弹性模量为图示材料相同，弹性模量为E的梁的梁AB和立柱和立柱BD，直径均为，直径均为d，且有，且有l=30d。对于。对于BD有有 p=100，稳定安全因数，稳定安全因数nst=3，求结构的许可荷载，求结构的许可荷载F。解：设立柱的轴力为解：设立柱的轴力为FN，由静不定结构的变形，由静

34、不定结构的变形 协调方程有协调方程有BBDwl 即即332NN(2 )323FlF lFlFllEIEIEIEA 解得：解得：N516FF立柱柔度立柱柔度p4 1 30120100ldidm 属于细长杆属于细长杆由稳定性条件有由稳定性条件有crN3FF即即32crst16554000FEdFnp取取32 54000EdFp材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院64立柱的工作应力立柱的工作应力340450 10119.7MPa 44 9.397 10FAsj s稳定因数稳定因数119.70.704 170sjs查表得柔度查表得柔度 =77.5惯性半径惯性半径1 67.74cm7

35、7.5lim惯性矩惯性矩2220044(2.19) 2CzzaIAiA iIA解得：解得：a=19.1cm两端铰支的立柱由两端铰支的立柱由4根根80mm80mm6mm的角钢组成，的角钢组成，属于属于b类截面中心受压杆件。柱长类截面中心受压杆件。柱长l=6m，压力为，压力为450kN，材料为材料为Q235钢，强度许用应力钢，强度许用应力s s =170MPa。求立柱所。求立柱所需横截面边长需横截面边长a的尺寸。的尺寸。P330，9-11解：由型钢表查得单个角钢的解：由型钢表查得单个角钢的 A0=9.397cm2，IzC=57.35cm4。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6

36、5最大荷载为最大荷载为500kN的万能材料试验机，做拉伸试验时两根立柱受压，其的万能材料试验机，做拉伸试验时两根立柱受压，其失稳形式为两端固定可横向移动。立柱为失稳形式为两端固定可横向移动。立柱为Q235钢，弹性模量钢，弹性模量E=210GPa，长长l=2.5m。规定的稳定安全因数。规定的稳定安全因数nst=4，按稳定条件设计立柱的直径，按稳定条件设计立柱的直径d。FllFd解：设立柱为细长杆，由稳定性条件有解：设立柱为细长杆，由稳定性条件有crst1FnF24cr12250kN642EIdFFIFlpp ，其中其中由此解得由此解得232st1443396464 4 250 102.588.5

37、mm3.14210 10n FldE p取取d=90mm1 2500 411110090lim属于细长杆，取直径为属于细长杆，取直径为90mm。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院66最大荷载为最大荷载为1000kN的万能材料试验机，其它条件不变，设计立柱直径。的万能材料试验机，其它条件不变，设计立柱直径。现按中长杆计算：现按中长杆计算：仍然设立柱为细长杆，由稳定性条件有仍然设立柱为细长杆，由稳定性条件有232st1443396464 4 500 102.5105.3mm3.14210 10n FldE p取取d=110mm1 2500 491 100110lim不满足不满

38、足细长杆的条件！细长杆的条件！取取d=110mm， =91临界应力临界应力cr304 1.12 91202MPaabs1500kNF 试验机有两根立柱，则每根立柱受压试验机有两根立柱，则每根立柱受压3122644 500 1053MPa3.14 11010Fdsp工作应力工作应力crst2023.8453nss取取d=115mm， =873122644 500 1048MPa3.14 11510Fdsp工作应力工作应力临界应力临界应力cr304 1.12 87207MPaabscrst2074.3448nss满足要求！满足要求！材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院67解：设

39、撑杆为细长杆。由平衡方程解：设撑杆为细长杆。由平衡方程 求得撑杆的内力为求得撑杆的内力为N0281.5sin303FFF由稳定性条件有由稳定性条件有crstNFnnF即即244st28(1)643BCEDn Flpp由方程解得由方程解得0.69334.6mmdD取取d=34mm，求撑杆柔度，求撑杆柔度224 1732114.61005034BClim满足细长杆的条件！满足细长杆的条件！若外径若外径D=60mm，其它条件不变，则，其它条件不变，则托架的撑杆两端为球形铰，材料为托架的撑杆两端为球形铰，材料为Q235钢，弹性模量钢，弹性模量E=206GPa。撑杆为空心管，撑杆为空心管，外径外径D=5

40、0mm，稳定安全因数，稳定安全因数nst=3，根据根据该杆的稳定性要求选择撑杆的内径该杆的稳定性要求选择撑杆的内径d。0.5m1.5m300ABC-截面截面F=20kNdD解得解得0.8953.4mmdD取取d=50mm，求撑杆柔度，求撑杆柔度224 173288.71006050BClim不满足细长杆的条件！不满足细长杆的条件！材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院68开始假设撑杆为细长杆，但经过计算发开始假设撑杆为细长杆，但经过计算发现撑杆不满足细长杆的条件，于是按中现撑杆不满足细长杆的条件，于是按中长杆重新计算。长杆重新计算。0.5m1.5m300ABC-截面截面F=2

41、0kNdD仍取仍取d=50mm，撑杆柔度，撑杆柔度224 173288.76050BClim撑杆属于中长杆，其临界应力为撑杆属于中长杆，其临界应力为cr304 1.12 88.7204.7MPaabs撑杆的工作应力为撑杆的工作应力为3N22226284420 10 N361.8MPa()3.14 (6050 ) 10 mFFADdsp撑杆的工作安全因数为撑杆的工作安全因数为crst204.73.361.8nnss满足稳定性条件！满足稳定性条件！材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院69解：截面设计通过稳定因数法求解解：截面设计通过稳定因数法求解 由式由式 可知可知立柱的横截面

42、应满足立柱的横截面应满足 wsjssAFsjFA 上式稳定因数上式稳定因数j j 是与柔度是与柔度 有关的，而柔度有关的，而柔度 必须在横截面已知的情况下才能求出。因此，在必须在横截面已知的情况下才能求出。因此，在A未知时，未知时，j j 也是未知的。于是，需要采用也是未知的。于是，需要采用逐次渐逐次渐进法进法进行试算才能确定横截面的面积。进行试算才能确定横截面的面积。 图示一端固定、一端自由的工字钢立柱，顶部受有轴向压力图示一端固定、一端自由的工字钢立柱，顶部受有轴向压力F=320kN作作用。立柱长用。立柱长l=1.5m，材料为，材料为Q235钢，许用应力钢，许用应力s s =160MPa。

43、在横截面。在横截面C处钻有直径处钻有直径d =80mm的圆孔。用稳定因数法选择工字钢型号。的圆孔。用稳定因数法选择工字钢型号。lABCFd第一次试算第一次试算 取取j j1 =0.5，于是，于是 21140cm FAj s材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院70查型钢表得查型钢表得22a工字钢横截面积工字钢横截面积A1= 42cm2，最小惯性半径，最小惯性半径i1min=2.31cm。于是，其应力和柔度分别为于是，其应力和柔度分别为 11min76.2MPa130FlAims 由表查得对应于由表查得对应于 =130时的稳定因数时的稳定因数j j1=0.387 于是于是 ssjsMPa9 .611w上式表明，上式表明，应力大于稳定许用应力，应力大于稳定许用应力，选选22a工字钢不能满足稳定性条件的要求。工字钢不能满足稳定性条件的要求。 lABCFd第二次试算第二次试算 取取444. 0)(211