湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高二下学期期中数学试题（解析版）

1、三湘名校教育联盟·2022年上学期高二期中考试试卷数学命题：天壹名校联盟命题组 审题：南县一中 郭劲松本试卷共4页全卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. 75B. 30C. -25D. -70【1题答案】【答案】A【解析】【分析】依据排列数公式和组合数公式去求的值即可.【详解】故选：A2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.45B.

2、0.6C. 0.75D. 0.8【2题答案】【答案】C【解析】【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果.【详解】设随后一天的空气质量为优良的概率是，则，解得，故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于基础题.3. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的数学九章，李治的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴现有数学著作数学九章，测圆海镜，益古演段，详解九章算法，杨辉算法，算学启蒙，四元玉鉴，共

3、7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】先求其对立事件的概率，再用减去其对立事件的概率即为所求【详解】解析：所求概率故选：D4. 甲、乙等6人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数有（ ）A. 240B. 360C. 480D. 600【4题答案】【答案】C【解析】【分析】元素不相邻利用“插空法”即可解决.【详解】甲、乙两人不相邻，先排其他4个人，共有种排法，再在4个人形成的5个空中选2个位置排甲乙，共有种排法，不同的排法种数是故选：C.5. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【5题答案】

4、【答案】C【解析】【分析】，用二次通项公式即可求解【详解】解析：，展开式中的系数为故选：C6. 已知等差数列的前n项和为，若，则当最小时，n的值为（ ）A 1010B. 1011C. 1012D. 2021【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前项和的图象特征，由已知条件先确定抛物线的开口方向和零点范围，根据零点范围确定对称轴范围，进而结合二次函数的单调性和对称性得到答案.【详解】由于等差数列的前项和的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由，可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间之间，离对称轴最近的横坐标

5、为整数的点的横坐标为,取得最小值时n的值为1011故选：7. 已知函数，若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3【7题答案】【答案】B【解析】【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解【详解】解析：，曲线在处的切线方程为，由得，由，解得故选：B8. 某皮划艇训练小组有7人，其中4人会划左浆，5人会划右浆现选4人参加比赛，2人划左桨，2人划右浆，设选中的人中左右浆均会划的人数为X，则（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】由题意 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此就可以求出【详解】解析：由题意7人中既会

6、划左浆又会划右浆的有2人，所以选4人参加比赛共有种选法，当时，有种，当时，有种，；当时，有种，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对两组数据进行统计后得到的散点图如图所示，关于其线性相关系数的结论正确的是（ ）A. B. C. D. 与的大小关系无法判断【9题答案】【答案】AB【解析】【分析】观察散点图整体增减情况，以判定正相关还是负相关，从而确定相关系数的正负，观察是否更集中在一条直线的附近，确定相关性强弱，以判定相关系数的绝对值的大小.【详解】由图可知，第一幅图负相关

7、，第二幅图正相关，故A，B正确；第二幅图中的点比第一幅图中的点更趋于一直线附近，故第二幅图的相关性比第一幅图的相关性强，故，CD错误故选：10. 设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.1q0.10.20.2则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】ABC【解析】【分析】由离散型随机变量的分布列的性质求出，由此就可以求出，再对选项进行判断即可【详解】由分布列可得，故ABC正确，D错误故选：ABC11. 若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质下列函数中具有M性质的是（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】CD【解析】【分析】利用导数逐项判断

8、函数的单调性.【详解】令，则，当时，此时函数单调递减，所以A不满足题意；令，则，当，即时，此时函数单调递减，所以B不满足题意；令，则在R上单调递增，C满足题意令，则，令，则 ，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，D满足题意故选：CD【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合

9、思想的应用12. 已知函数，数列满足：对任意，且，数列的前n项积为，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 满足的正整数n的最小值为9【12题答案】【答案】ABC【解析】【分析】由递推公式化简后构造数列求通项，对选项逐一判断【详解】，两边平方得，B正确，A正确，C正确，令，解得，故D错误故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为_【13题答案】【答案】【解析】【分析】先根据等比中项的性质求出，便可求出前五项积.【详解】解：由题意得：根据等比数列性质得，故答案为：14. 已知随机变量X服从正态分布，若，则_【1

10、4题答案】【答案】【解析】【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可.【详解】解：由题意得：与关于对称故答案为：15. 函数的最大值为_【15题答案】【答案】【解析】【分析】本题首先可求出，然后根据得出单调递减，最后根据即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，所以单调递减，的最大值为，故答案为：.16. 某社区服务站将6名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有_种（用数字填写答案）【16题答案】【答案】540【解析】【分析】按照分到3个社区志愿者的不同人数组合，按照先分组后排列的方式分类计算，然后求和.注意分组中要注意等额分组的除序过程

11、.【详解】若3个社区的志愿者人数分别为4，1，1，此时不同的分配方案有种，若3个社区的志愿者人数分别为1，2，3，此时不同的分配方案有种，若3个社区的志愿者人数分别为2，2，2，此时不同的分配方案有种，不同的分配方案共有种故答案为：540四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知展开式中的第四项为常数项（1）求n的值 ；（2）求展开式中所有项的系数和以及所有项的二项式系数和【17题答案】【答案】（1） （2）展开式系数为：，二项式系数和为【解析】【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式，结合第四项的未知系数的幂指数等于，求得的值.（2）求各项的系数和

12、即令，可求得结果，根据二项式系数的性质求出系数和.【小问1详解】解：由题意得：第四项常数项【小问2详解】令可得展开式中所有项的系数和为展开式中所有项的二项式系数和为19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求a，b值；（2）证明：【19题答案】【答案】（1），； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，解方程组即可；（2）根据（1）中所求，利用导数判断函数单调性，求得最小值，即可证明.【小问1详解】，曲线在点处的切线方程为，解得，【小问2详解】由（1）知，当时，为减函数，当时，为增函数，的最小值为，即证.21. 某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分

13、为一级、优级、特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装某采购商订购了一批这种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：等级一级优级特级珍品件数20103040（1）以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望【21题答案】【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）设出事件和变量，得到，利用二项分布求概率公式进行求解概率；（2）利用超几何的概

14、率求解公式进行求解分布列及数学期望.【小问1详解】设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件A，则，有放回随机抽取3件，设抽到珍品的个数为，则，恰好抽到2件是珍品的概率【小问2详解】用分层抽样方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，再从抽取的10件中随机抽取3件，则X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，可得：，X的分布列为：X0123P23. 已知数列满足，数列满足（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和【23题答案】【答案】（1）证明见解析， （2）【解析】【分析】（1）证得是等差数列，首项为，公差为，求出数列的通项公式

15、，进而可求出结果；（2）利用错位相减法即可求出结果.【小问1详解】由得，由得， ，是等差数列，首项为，公差为，【小问2详解】，两式相减得，25. 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：97 97 98 102 105 107 108 109 113 114设这10个数据的平均值为，标准差为（1）求与；（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布（i）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求；（ii）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：cm）分别为86，95，103，109，1

16、18以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由参考数据：若，则，【25题答案】【答案】（1）=105； （2）（i）；（ii）需要进一步调试，理由见解析【解析】【分析】（1）代平均数及方差的计算公式即可求解；（2）（）由Z服从正态分布可求出，从而，进而可求（）求出个零件中恰有一个内径不在的概率为，由题意结合原则，由此可知需要进一步调试【小问1详解】，则【小问2详解】（）Z服从正态分布，则，（）Z服从正态分布，5个零件中恰有一个内径不在的概率为，试生产的5个零件就出现了1个不在内，出现的频率是0.013365的15倍左右，根据原则，需要进一步调试27. 已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）是