概率论课件第4章第3讲中心极限定理

1、4.3 中心极限定理中心极限定理4.4 中心极限定理中心极限定理(续续)1. 中心极限定理的概念中心极限定理的概念 在一定条件下在一定条件下, ,许多随机变量的极限分布许多随机变量的极限分布是正态分布是正态分布:“:“若一个随机变量可以看作许若一个随机变量可以看作许多微小而独立的随机因素作用的总后果多微小而独立的随机因素作用的总后果, ,每每一种因素的影响都很小一种因素的影响都很小, ,都有不起压倒一切都有不起压倒一切的主导作用的主导作用, ,则这个随机变量一般都可以认则这个随机变量一般都可以认为近似地服从正态分布为近似地服从正态分布.”.” 例如对某物的长度进行测量例如对某物的长度进行测量,

2、 ,在测量时在测量时有许多随机因素影响测量的结果有许多随机因素影响测量的结果. .如温度和如温度和湿度等因素对测量仪器的影响湿度等因素对测量仪器的影响, ,使测量产生使测量产生误差误差 ; ;测量者观察时视线所产生的误差子测量者观察时视线所产生的误差子力学力学 ; ;测量者心理和生理上的变化产生的测量者心理和生理上的变化产生的测量误差测量误差 ; ;显然这些误差是微小的、随显然这些误差是微小的、随机的机的, ,而且相互没有影响而且相互没有影响. .测量的总误差是上测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和述各个因素产生的误差之和, ,即即k123 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人自从高斯

3、指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见们发现，正态分布在自然界中极为常见. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似则这种量一般都服从或近似服从正态分布服从正态分布. 一般地一般地, ,在研究许多随机因素产生的总影在研究许多随机因素产生的总影响时响时, ,很多可以归结为研究相互独立的随机变很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题量之和的分布问题, ,而通常这种和的项数都很而通

4、常这种和的项数都很大大. .因此因此, ,需要构造一个项数越来越多的随机需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列变量和的序列: : 我们关心的是当我们关心的是当n时时, ,随机变量和的极随机变量和的极限分布是什么限分布是什么? ?,.2,1,1nnii由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，因此，因此直接研究随机变量之和的极限分布不方便直接研究随机变量之和的极限分布不方便, ,故故先将其标准化为先将其标准化为: :111( )()nniiiinniiED再来研究上面随机变量序列的极限分布再来研究上面随机变量序列的极限分布. .2212limtnnPxedt 若对于一切实

5、数若对于一切实数x,x,有有 定义：设定义：设 为相互独立的随机变量序列为相互独立的随机变量序列, ,有有限的数学期望和方差有有限的数学期望和方差k1111211()()nnnnkkkkkkkknnnkkkkEaD令则称随机变量序列则称随机变量序列 服从中心极限定理服从中心极限定理. .k定理定理 林德贝尔格林德贝尔格- -勒维勒维(Lindeberg(Lindeberg-Levy)-Levy)定理定理 : :设设 为独立同分布的随机变量为独立同分布的随机变量序列序列, ,且具有数学期望且具有数学期望 , ,则随机变量则随机变量2,kkEa Dk1111()()nnkknkkknnkkkEnD

6、的分布函数的分布函数Fn(x),对于任意对于任意x x, ,满足满足221( )( )2limlimtnnnnF xPxedtx 证明证明:( )( )nnntt设与的特征函数分别为与()0nEa2()nD Xa2)0(, 0)0( )(2)0()0()0()(22tottt )(211)(222tottn说明依分布收敛于标准正态随机变量2222)(21lim)(limtnnentnttn例例1: 1: 将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100次，则点数次，则点数之和不少于之和不少于500的概率是多少？的概率是多少？解解: :62111714935(),()26412iE XD Xi1,(1,2,6

7、)6kkPii则独立同分布且由中心极限定理由中心极限定理1235102710050015001001iiXP0)78.8(1次出现的点数表示第设kk2() :(0,1),(,).N 例 2 正 态 随 机 数 的 产 生一 般 计 算 机软 件 可 产 生 在区 间 上 均 匀 分 布 的随 机 数 据 此 由 中 心 极 限 定 理 产 生 来 自正 态 分 布的 随 机 数解：解：11(0,1),(),()212iiiUED设独立 则1216(0,1)iiN近似由中心极限定理知2( ,):N 产生正态分布的随机数的方法1212(1)12(0,1),Ux xx由计算机产生个上的随机数记为12

8、12(2)6,(0,1).yxxxyN计算则 可作为来自的一个随机数2(3),( ,).zyzN 计算则 可作为来自的一个随机数221(1)2limtnnnpPxedtnpp注注: 此为林德贝尔格此为林德贝尔格-勒维定理的特殊情况勒维定理的特殊情况.De Moivre-Laplace 定理定理(德莫佛德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理):设随机变设随机变量量 n服从二项分布服从二项分布 则对于任意则对于任意x,恒有恒有( , ),(01)nB n pp由独立同分布的中心极限定理得由独立同分布的中心极限定理得1,2,n 设为n个独立的同服从0-1上,参数为p的均匀分布的随机变量序列,则2n

9、n:证明,(1)kkEp Dpp由于2212tedtxp)np(1npYPlimxp)np(1npXPlimnnn1iin:,.90%,5%.?Sppppp例3某调查公司受委托 调查某电视节目在市的收视率调查公司将所有调查对象收看此节目的频率作为的估计现在要求保证有的把握使得调查所得收视率 与真实收视率之间的差异不大于问至少要调查多少对象解：解：(1), (0)1,1,2,iiPp Ppin 1,0,i记若第若第i个对象收看此节目个对象收看此节目若第若第i个对象不看此节目个对象不看此节目个个对对象象设设共共调调查查 n1(| 5%)2 (0.05) 1 90%(1)inPpnpp 1( , )

10、niiB n p则0.051.645(1)npp0.95(1.645)221.6450.05 (1)1082.41(1)0.05npppp(1)0.25pp1082.41 0.025270.6n个个对对对对象象至至少少要要调调查查 271(0.05)0.95(1)npp 在前面介绍的中心极限定理中在前面介绍的中心极限定理中, ,不仅不仅要求随机变量序列相互独立要求随机变量序列相互独立, ,而且要求它而且要求它们同分布们同分布. .而实际问题中的许多随机变量而实际问题中的许多随机变量序列序列, ,说其具有独立性是合理的说其具有独立性是合理的, ,但很难满但很难满足同分布的要求足同分布的要求. .

11、为了解决此问题为了解决此问题, ,引入下引入下面的林德贝尔格条件面的林德贝尔格条件: :4.4 4.4 中心极限定理中心极限定理( (续续) )( (独立不同分布下的中心极限定理独立不同分布下的中心极限定理) )n1k2k2nB221|1lim()( )0knnkknknx aBxapx dxB(1)若若 是连续型随机变量序列是连续型随机变量序列,密度函数列密度函数列为为pk (x),如果对任意的如果对任意的0,有有k定义定义:设设 为相互独立的随机变量序列为相互独立的随机变量序列,且具且具有数学期望和方差有数学期望和方差 记记2,kkkkEaDk221 |1lim()0kjknnkjkkjn

12、kxaBnxapB (2)(2)若若 是离散型随机变量序列是离散型随机变量序列, , 的的分布列为分布列为k(),1,2,kkjkjPxpjk则称则称 满足林德贝尔格条件满足林德贝尔格条件. .k如果对任意的如果对任意的0,有有22111lim()2tnxkknknPaxedtB注注: :由林德贝尔格定理可以推出林德贝尔由林德贝尔格定理可以推出林德贝尔格格- -勒维定理勒维定理定理定理( (林德贝尔格定理林德贝尔格定理): ): 设独立随机变量序设独立随机变量序列列 满足林德贝尔格条件满足林德贝尔格条件, ,则对任意实数则对任意实数x x, ,有有k设设 为相互独立同分布的随机变量序列为相互独

13、立同分布的随机变量序列, ,且具有数学期望且具有数学期望E( )=E( )=和方差和方差D D( )=( )=2 2 , ,若若 为连续型随机变量为连续型随机变量, ,密度函数为密度函数为pk(x)=p(x),则则kkkk221|1lim()( )knnkknknx aBxapx dxB22|1lim()( )nx annxap x dxn2()()( )kD Xxap x dx 22|1lim()( )0nx anxap x dx若存在若存在0,使得使得2211lim|0nkknknEaB定理定理( (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理):):设设 为相互独立为相互独立的随机变量序列的随机变量序列

14、, ,且具有数学期望和方差且具有数学期望和方差 记记221nnkkBk2,kkkkEaD22111lim()2tnxkknknPaxedtB则对任意的实数则对任意的实数x有有证明证明: : 只需验证只需验证 满足林德贝尔格条件满足林德贝尔格条件. .仍仍设设 为连续型随机变量为连续型随机变量, ,密度函数为密度函数为pk(x)kk221|1lim()( )()knnkknknnxBxpx dxBB22111lim()( )nkknknxpx dxB22111lim|0nknknE XB221|1lim()( )knnkknknxBxpx dxB则有则有:99,.1,1, 2,100100,60

15、60.iii例4一份考试卷由个题目组成 并按由易到难排列 设生答对第 题的概率为假如该生回答各题目是相互独立的 并要求答对其中或个以上题目才能通过考试 试计算该生通过考试的概率解：解：1,0,i设若学生答对第若学生答对第i题题若学生答错第若学生答错第i题题(1)1, (0)100100iiiiiPpP 99,100ii设与独立同分布11limlim( )lim(1)nnniiinnniiBDpp 31312111lim()lim0(1)niinninniiiEpBpp333()(1)(1)(1)iiiiiiiiEppppppp999999111149.5100iiiiiiEp999929911

16、116.665100 100iiiiiBD99991149.56049.560()16.66516.665iiiiPP1(2.5735)0.005 例例5:利用中心极限定理证明：利用中心极限定理证明：01!2knnknek()n 证：设证：设 是独立同分布随即变量序列，共同分布是独立同分布随即变量序列，共同分布为为的的Poisson分布，故分布，故n1nnED21nnkkBDn由林德贝尔格勒维中心极限定理知由林德贝尔格勒维中心极限定理知11()nkknkkknEPnPxB2021122tedt 110!knnnkkknPnek0,()!nnnenn但011!2knnnnnkkknnePnekn所以由普哇松分布的可加性知由普哇松分布的可加性知 是参数为的普是参数为的普哇松分布，因而哇松分布，因而nkk1v小结小结