计算结构力学第五章

1、第五章第五章 结构刚度矩阵结构刚度矩阵 与荷载向量与荷载向量计算结构力学计算结构力学首页首页上页上页返回返回下页下页5-1 5-1 概述概述以图示框架结构为例，设有以图示框架结构为例，设有n n个未知量个未知量: :12 .(1)Tn 相应的结点荷载向量为相应的结点荷载向量为: :12 .(2)TnPPPP首页首页上页上页返回返回下页下页则结构刚度方程可写为则结构刚度方程可写为: : (3)KP 式中式中KK称为结构刚度矩阵称为结构刚度矩阵( (或称总或称总刚度矩阵刚度矩阵) )，本章讨论，本章讨论KK的形成及程序的形成及程序设计，以及设计，以及PP的形成。的形成。首页首页上页上页返回返回下页

2、下页5-2 5-2 应用能量原理形成应用能量原理形成 结构刚度矩阵结构刚度矩阵 (1)UV 其中其中:1 ()(2)(3)TNEiiVPUU 仅仅考考虑虑结结点点荷荷载载结构在外荷载作用下的总势能可结构在外荷载作用下的总势能可以写成：以写成：NE是单元数是单元数首页首页上页上页返回返回下页下页其中其中:11 (4)22TTiUFk单元结单元结点位移点位移整体坐标系中的整体坐标系中的单元刚度矩阵单元刚度矩阵首页首页上页上页返回返回下页下页NF是单元是单元自由度数自由度数N是结构是结构未知量总未知量总数数C的元素要么是的元素要么是0,要么是要么是1。指明单元。指明单元结点位移向量是由结构结点位移向

3、量结点位移向量是由结构结点位移向量中的哪几个分量所组成中的哪几个分量所组成令令: (5)eeNFNF NNC上式反映了结构的离散过程，实际上上式反映了结构的离散过程，实际上表明了结构离散化后的变形协调条件。表明了结构离散化后的变形协调条件。首页首页上页上页返回返回下页下页将将(5)(5)式代入式代入(3)(3)式：式：11 ( ) (6)2NETeTeiUCk C结构总势能为：结构总势能为：11 ( ) (7)2NETe TeTiCk CP 0 由由，得得：1( ) 0(8)NEe TeiCk CP 1( ) (9)NEeTeiKCk C于是：于是：首页首页上页上页返回返回下页下页K是由是由k

4、经过经过C变换后装配而成的。变换后装配而成的。由于势能驻值原理等价于平衡方程，故装由于势能驻值原理等价于平衡方程，故装配总刚的有限元集合过程遵循平衡条件。配总刚的有限元集合过程遵循平衡条件。CNFxN是单元定位向量的增广写法：一个是单元定位向量的增广写法：一个单元对应一个单元对应一个Ce，且有：，且有： eC讨讨 论论首页首页上页上页返回返回下页下页例：例： eC求求图图示示结结构构的的解：给单元结点编号，并写出各单元解：给单元结点编号，并写出各单元 的定位向量：的定位向量：121 0 20 0 01 0 30 0 034首页首页上页上页返回返回下页下页(1)(2)(3)=000102=000

5、103=102103TTTMWMWMW首页首页上页上页返回返回下页下页123000000000 100000010C 由由(5)式可写出各单元的结点位移向量式可写出各单元的结点位移向量与结构结点位移向量的关系式：与结构结点位移向量的关系式：首页首页上页上页返回返回下页下页123000000000 100000001C 首页首页上页上页返回返回下页下页123100000010 100000001C 首页首页上页上页返回返回下页下页由此可得到各单元的由此可得到各单元的C,如对第如对第单元，可写出单元，可写出:1121113200 00uCu 首页首页上页上页返回返回下页下页1( )(10)0( )

6、ijMW ijCMW ij),.2 , 1,.2 , 1(NjNFi 首页首页上页上页返回返回下页下页5-3 5-3 按单元定位向量装按单元定位向量装 配结构刚度矩阵配结构刚度矩阵MW处理了约束，以及主从关系，无效未知量等处理了约束，以及主从关系，无效未知量等特殊结点信息，也是特殊结点信息，也是C矩阵的实用矩阵的实用(增广增广)写法。写法。MW是按单元结点编号顺序由结点的结构未知量编是按单元结点编号顺序由结点的结构未知量编号顺序所组成的向量号顺序所组成的向量(列阵列阵)。单元定位向量可方便地指出单元的各个未知量在结单元定位向量可方便地指出单元的各个未知量在结构总体未知量中的对应位置构总体未知量

7、中的对应位置(总体序号总体序号)。由此也就可以确定单元刚度矩阵中的元素在结构刚由此也就可以确定单元刚度矩阵中的元素在结构刚阵中的位置。阵中的位置。首页首页上页上页返回返回下页下页例：求图示连续梁的结构刚度矩阵。例：求图示连续梁的结构刚度矩阵。解：设线刚度解：设线刚度i=1 TTijijFMM 单元刚度矩阵单元刚度矩阵123123 TT E I,lE I,l123首页首页上页上页返回返回下页下页注意以下写法：注意以下写法：2 3 定定231 2 定定12首页首页上页上页返回返回下页下页得到结构总刚度矩阵为：得到结构总刚度矩阵为：首页首页上页上页返回返回下页下页主系数与副系数主系数与副系数，有，有

8、 Kii=Kii0 且且Kij=Kji相关未知量相关未知量：与未知量：与未知量i在同一单元的未知量叫在同一单元的未知量叫做未知量做未知量i的相关未知量。的相关未知量。若若i，j相关，则相关，则Kij0若若i，j不相关，则不相关，则Kij=0相关结点相关结点：未知量：未知量i的相关未知量所在结点称为的相关未知量所在结点称为未知量未知量i的相关结点。的相关结点。相关单元相关单元：凡未知量：凡未知量i的相关结点所在单元称为的相关结点所在单元称为末知量末知量i的相关单元。的相关单元。结构刚度矩阵的组成规律结构刚度矩阵的组成规律专有名词专有名词e首页首页上页上页返回返回下页下页5-4 5-4 形成结构刚

9、度矩阵的形成结构刚度矩阵的直接刚度法直接刚度法1、并积的概念、并积的概念1212 TnTnAAa aaBBb bb 设设定义并积为：定义并积为：不是列向量乘行不是列向量乘行向量向量,也不是向也不是向量的内积量的内积(点积点积) TABH首页首页上页上页返回返回下页下页1 11 212 122212nnnnnnabababa ba ba ba ba ba b1212nnaaHbbbaai与与bi不进行不进行任何任何运算。运算。首页首页上页上页返回返回下页下页2、由单元定位向量的指标并积形成下标矩阵、由单元定位向量的指标并积形成下标矩阵 如果将某个单元的定位向量代入上如果将某个单元的定位向量代入上

10、式，由上节中的例题可明显看出式，由上节中的例题可明显看出H中中的元素就表示这个单元的刚度系数在结的元素就表示这个单元的刚度系数在结构刚度矩阵构刚度矩阵K中的下标。中的下标。解：如图解：如图,各单元的定位向量为各单元的定位向量为 ：MW=1 2T MW=2 3T例例1：求图示连续梁的单元刚度矩阵在：求图示连续梁的单元刚度矩阵在结构刚度矩阵中的下标矩阵。结构刚度矩阵中的下标矩阵。E I,lE I,l123首页首页上页上页返回返回下页下页根据并积定义：根据并积定义：111121 222122222232 333233HH 清楚地表明了各清楚地表明了各单刚系数在总刚单刚系数在总刚中的位置，参考中的位置

11、，参考前节例题前节例题首页首页上页上页返回返回下页下页例例2：求图示刚架中第：求图示刚架中第单元的刚度系数对结构刚度矩单元的刚度系数对结构刚度矩阵的贡献。阵的贡献。解解:单元定位向量为单元定位向量为:MW=0 0 0 1 0 2T31241230 0 00 0 01 0 21 0 3首页首页上页上页返回返回下页下页000000102102000000010002000000010002000000010002101010(11)10(12)000000010002202020(21)20(22)H 首页首页上页上页返回返回下页下页式中圆括号内的元素就是第式中圆括号内的元素就是第单元刚度系单元刚

12、度系数在数在K中的下标。中的下标。式中含零的元素说明单刚中此元素经式中含零的元素说明单刚中此元素经C夹乘后为零夹乘后为零,参考参考(5-2-9)式式,不须叠加不须叠加,只有只有H中中的元素与结构的元素与结构K中下标一致时才进行叠加。中下标一致时才进行叠加。这样便可根据这样便可根据单元定位向量单元定位向量的的并积并积作为结作为结构刚度矩阵构刚度矩阵K的下标直接来装配结构刚度矩的下标直接来装配结构刚度矩阵。阵。这就是这就是直接刚度法直接刚度法。首页首页上页上页返回返回下页下页上式并积的进一步说明：上式并积的进一步说明：单元结点位移的序号为单元结点位移的序号为 1 2 3 4 5 6 (I,J)单元

13、单元的定位向量为的定位向量为 0 0 0 1 0 2 (L,K)则意味着：则意味着：4411461264216612kKkKkKkK 表示叠加到表示叠加到结构刚阵中去结构刚阵中去首页首页上页上页返回返回下页下页由此可看出：由由此可看出：由MW的并积形成下标的并积形成下标矩阵，完全确立了单刚矩阵，完全确立了单刚k中的元素在总刚中的元素在总刚K中位置，从而中位置，从而由数学的角度由数学的角度说明了用说明了用MW装配装配K的过程。的过程。上述过程的上述过程的FORTRAN程序模块可写成：程序模块可写成：L=MW(I)K=MW(J)ZK(L,K)=ZK(L,K)+DK(I,J)首页首页上页上页返回返回

14、下页下页3、形成、形成K的程序设计框图的程序设计框图本章新的变量和数组本章新的变量和数组:NAI：EA或或EI分组数分组数(截面特性分组数截面特性分组数)；DK(I,J)： 单元刚度矩阵，其中单元刚度矩阵，其中I,J(16):6):单刚的行列号；单刚的行列号；ZK(L,K)： 结构刚度矩阵结构刚度矩阵,其中其中L,K(1N):总刚的行列号。总刚的行列号。首页首页上页上页返回返回下页下页主程序主程序,数据输入等数据输入等计算各单元的计算各单元的L,C,S计算计算XSA(NE,7)形成单元刚度矩阵形成单元刚度矩阵形成结构刚度矩阵形成结构刚度矩阵结束结束形成形成JW数组数组形成形成MW数组数组程序设

15、计框图程序设计框图首页首页上页上页返回返回下页下页4、形成结构刚度、形成结构刚度K的源程序设计的源程序设计C THE PROGRAM OF KJEXAM DIMENSION JW ( 3,20 ),J TX (4,20), JH ( 2,20 ), * MW (6), JMH ( 20 ) REA L * 8 CX (20), SY ( 20 ), SL (20),EA ( 5 ), * X (20),Y(20),XSA ( 20,7 ),ZK (50,50), El (5) WRITE(*,*) FINDING THE MW OF * EI.EMENT OPEN( 1, FILE = KJE

16、. DA T )数据文件名为数据文件名为KJE.DAT首页首页上页上页返回返回下页下页READ( 1,*) NE, NJ,NJT,NAIREAD( 1,* ) ( (JH( I,J ),I = 1.2),J =1,NE )READ( 1,* ) (JTX( IJ),i=1,4),J=1,NJT) READ( 1,* ) (JMH(I),I= 1,NT)READ( l,* ) (EA(I),I= 1,NAI)READ( l,* ) (EI(I),I=I,NAI)READ(1,* ) (X(I),I=I,NJ)READ( l,* ) ( Y(l),I=1, NJ)CALL QMW ( NJ, NJ

17、T,JTX,JW,N)DO 10 M= I,NECALL QMW ( M,NE,NJ,JH, JW,MW)WRITE( *, 100)M, ( MW(I), I = 1,6)10首页首页上页上页返回返回下页下页 CALL DCH ( NE, NJ,JH,X, Y, SL,CX, S Y ) CALL QXS(NE,NAI,JH,JMH,SL, CX,SY,EA, * EI,XSA) CALL KJX 1 ( NE, N, XSA,NJ, JH,JW,ZK ) WRITE( *,* )THIS IS STRUCTURAL * MATRAIX ZK WRITE(*,50) (ZK(I,J),I=

18、I,N),J= I,N)100 FORMAT ( 1X, ELEMT, NO = 15,/6 X, MW * =,6I5)50 FORMAT(9 F9.1 ) STOP 44 END首页首页上页上页返回返回下页下页SUBROUTINE KJX 1 (NE, N, XSA, NJ, JH, * JW,ZK ) DIMENSION JH(2,NE),JW(3,NJ ),MW(6) REAL * 8 DK ( 6 6), ZK (50, 50),XSA( NE,7), * XS (7) CALL ZERO2 ( ZK, 50,50) DO 20 M=1,NE DO 25 I= 1,7 XS ( I

19、) =XSA ( M,I)25 CONTINUE首页首页上页上页返回返回下页下页 CALL DKX( XS,DK ) WRITE( *,* )THIS IS ELEMENT * MATRIX WRHE( *,11) (DK(I,J),l=l,6),J=l,6)11 FORMAT(1X,6FI0.2) CALL QMW ( M, NE, NJ,JH,JW,MW ) DO 30 I=1,6 L= MW(I) IF ( L. LE. 0 ) GO TO 30首页首页上页上页返回返回下页下页 DO 40 J=1,6 K= MW(J) IF (K. LE.0) GO TO 40 ZK(L, K) = Z

20、K (L,K)+DK (I, J)40 CONTINUE30 CONTINUE20 CONTLNUE RETURN END=本程序是在本程序是在“形成结构单元定位向量形成结构单元定位向量”的程序基础的程序基础上扩充而成；上扩充而成；=本程序形成并打印结构刚度矩阵本程序形成并打印结构刚度矩阵KNxN。首页首页上页上页返回返回下页下页数据文件数据文件 KJE.DAT 共共8句句= NE与与NJ分别为单元总数与结点总数分别为单元总数与结点总数=NJT是特殊结点数是特殊结点数=NAI为截面特性分组数为截面特性分组数= JH(2,NE)为单元两端结点编号数组为单元两端结点编号数组= JMH(NE)为截面

21、特性分组号数组为截面特性分组号数组= JTX(4,NJT)为特殊结点约束信息数组为特殊结点约束信息数组= EA(NAI)为各组单元的为各组单元的EA= EI(NAI)为各组单元的为各组单元的El= X(NJ)为各结点的为各结点的X坐标坐标1) Y(NJ)为各结点的为各结点的Y坐标坐标首页首页上页上页返回返回下页下页5、形成结构刚度矩阵、形成结构刚度矩阵K的算例的算例目的：目的：通过程序运行的中间步骤来说明直通过程序运行的中间步骤来说明直接刚度法的运算过程，要注意程序运行接刚度法的运算过程，要注意程序运行过程中所打印的中间结果：如单元定位过程中所打印的中间结果：如单元定位向量、单元刚度矩阵等，通

22、过对单元循向量、单元刚度矩阵等，通过对单元循环而直接形成结构刚度矩阵。环而直接形成结构刚度矩阵。首页首页上页上页返回返回下页下页例例3：形成图示三层框架的结构刚度矩阵。：形成图示三层框架的结构刚度矩阵。已知已知E=0.26x108KN/m2,梁和柱为矩形截面梁和柱为矩形截面,尺尺寸寸bh分别为分别为0.3x0.5m和和0.3x0.6m。解解:先进行结点编号和先进行结点编号和单元编号单元编号计算梁、柱截面的有计算梁、柱截面的有关物理量关物理量867586353494112273 K N / m3 K N / m3 K N / m首页首页上页上页返回返回下页下页 梁梁: A=0.3x0.5=0.1

23、5m2 EA=390000KN I=0.3x0.53/12=0.003l25m4 EI=8125KNm2柱：柱：A=0.3x0.6=0.18m2 EA=468000KN I=0.3x0.63/12=0.0054m4 EI=14040KNm2首页首页上页上页返回返回下页下页输人数据文件输人数据文件KJE.DAT内容内容9,8,2,23,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,1,2,3,4,5,67,1,1,1,8,1,1,11,1,1,1,1,1,2,2,2468000,39000014040,81250,6,0,6,0,6,0,610,10,7,7,4,4,0,0首页首页上页上页返回返回

24、下页下页部分结果为：部分结果为： K11=71240 K17 =-1354 K22=156451 K18=38176首页首页上页上页返回返回下页下页5-5K的特性的特性1）KNxN，N由由JW数组确定；数组确定；2）K=KT，K是对称数组；是对称数组；3）若未知量）若未知量I , j不相关，则不相关，则Kij=0；4）带状特性，即非零元素分布在主对）带状特性，即非零元素分布在主对角线附近；角线附近；5）K为稀疏阵，非零元素一般只占为稀疏阵，非零元素一般只占10左右；左右；6）考虑约束处理后）考虑约束处理后K正定；正定；7）主对角线上）主对角线上Kij0。首页首页上页上页返回返回下页下页5-6

25、等效结点力等效结点力对于对于K=P=P 上式中上式中PP与与一一对应一一对应在实际工程中，有：在实际工程中，有：单元荷载、广义荷载（支座移动、变温），单元荷载、广义荷载（支座移动、变温），故必须研究上述情况下这些单元的故必须研究上述情况下这些单元的等效荷载，等效荷载，推导等效荷载时采用推导等效荷载时采用虚功的不变性原理虚功的不变性原理，即单，即单元荷载与等效结点力元荷载与等效结点力在任何虚位移上所作的虚在任何虚位移上所作的虚功相等，这实际上就是功相等，这实际上就是静力等效原则。静力等效原则。静力等效移置只对所讨论单元的应力分布静力等效移置只对所讨论单元的应力分布有影响，而不影响结构整体的应力分

26、布。有影响，而不影响结构整体的应力分布。首页首页上页上页返回返回下页下页1 、用形函数求等效结点力、用形函数求等效结点力单元荷载单元荷载Q，单，单元等效结点力元等效结点力FE，设单元发生虚位移设单元发生虚位移v*,各结点虚位移为各结点虚位移为*，由虚功等效，由虚功等效，得：得：*( ) ()(1)TTEFvQ *( ),:vN 而而代代入入上上式式*( ) TTNQ 右右式式Qv*首页首页上页上页返回返回下页下页23233222323232321(1)xxxxxxxNxlllllll将将代入上式，并取特例代入上式，并取特例x=l/2，考虑到，考虑到Q力方向向下，力方向向下，故将故将Q代换成代换

27、成Q，便有：，便有：311144212288()3114421488EQlllQ lFQQllQ l故有：故有： (2)TEFN Q首页首页上页上页返回返回下页下页上式正好是固端反力，但符号相反，由此上式正好是固端反力，但符号相反，由此可推出可推出FE的另一计算公式：的另一计算公式：0(3)EFF 式中式中F0为梁的固端反力，当为梁的固端反力，当q(x)为分布荷为分布荷载时，由载时，由(2)式可推出式可推出(4)TElFNqdxQQl1Ql8Ql1Ql8-Q1Q2Q1Q2首页首页上页上页返回返回下页下页=公式公式(3)是杆单元的特例，固端反力是杆单元的特例，固端反力可由结构力学求出，列在附表，

28、并编可由结构力学求出，列在附表，并编入程序。入程序。=公式公式(3)仅对两端刚性连接的杆件，仅对两端刚性连接的杆件，对于铰结点，需重推导对于铰结点，需重推导形函数。形函数。2、 用固端反力求等效结点力用固端反力求等效结点力FE首页首页上页上页返回返回下页下页关于附表，应注意关于附表，应注意=此时此时z轴向里，轴向里，Mzi逆时针为正；逆时针为正；=广义荷载列在广义荷载列在7、8二栏；二栏；=FE是在局部系里计算的，在由是在局部系里计算的，在由FE求求P时，仍需进行坐标变换，由于时，仍需进行坐标变换，由于 所以变换公式为：所以变换公式为： T (5)TEEPTF附表 固定端梁的固端反力F0荷载类

29、型号L荷 载 简 图反力符号A端反力B端反力1234xyM02223(1)2xxQ xLL222(683) /12xxQ xLLxyM02(12)(1)xxQLL2(1)xQ xL0AQ xy3(43) /12xQ xLL0AQy2() /xQ xLLLxyM036(1)/xQxLL(1)23(1)xxQLL0Ay(23) /xQ xLLxyM02323(231.6) / 4xxQ xLL222(23(1.2) / 6xxQ xLL3(10.8) / 4xQ xLLABxyxQABxyxQABxyxQABxyxQLLLL附表(续) 固定端梁的固端反力F0荷载类型号L荷 载 简 图反力符号A端反

30、力B端反力5678xyMyQ xx00 xyM(1)xQL002/2Q xL00AQx00 xyMAx00 xyMQ x00 xEA注：此时膨胀系数AM000Q x2/xEIh注：此时0yABxLxQABLyxQ均匀升温ABLyxQ上升温Q下降温ABxyxQL首页首页上页上页返回返回下页下页5-7 按单元定位向量装配荷载向量按单元定位向量装配荷载向量 列入列入P中的荷载有：中的荷载有：1.直接作用在结点上的结点荷载，可直接直接作用在结点上的结点荷载，可直接装配；装配；2.单元等效结点荷载单元等效结点荷载FE。将将FE按单元的按单元的MW装配装配P是很简单是很简单的，因为的，因为FE的分量个数与

31、的分量个数与MW的元素个数的元素个数相等，相等，所以在每个所以在每个FE中的分量对应地在中的分量对应地在MW中有一个未知量编号中有一个未知量编号，因此可以正确地，因此可以正确地叠加到叠加到P中去，若中去，若MW中对应的元素是中对应的元素是0或或-1，则相应的，则相应的FE中分量就不必叠加。中分量就不必叠加。首页首页上页上页返回返回下页下页形成右端项形成右端项P的程序设计的程序设计：可在形成结构刚阵的主程：可在形成结构刚阵的主程序中直接调用形成结点荷载的子程序序中直接调用形成结点荷载的子程序SUB. YDXNLX(1,1)=NPJNLX(2,1)=NPMCALL YDX(1,N,NE,NJ,NJZ,1,NPJ,NPM, JH, NLX,JW,