线性代数(各版通用)5讲例题-初等变换-秩

1、1T11T(4)()()AA11(5) | |AA111(3)0AA（，111(2)()ABBA11(6)()() ,mmmAANA,B11(1)()AA2*AA伴随矩阵伴随矩阵: A为为n 阶方阵阶方阵|000|0|00|AAA EA111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa AAAAAAAAA3T*()()nnjiijnnnnAAAAAAAAAAAA112111222212称称为矩阵为矩阵A的的. .ijA4A A= AA =AEAA(A)=( A)A =E1A1A11( *) =AAA11*,AAA1*=,AA AAn5设设 A 为数域为数

2、域 F 上上 n 阶方阵阶方阵, ,则则 1. A 可逆可逆A 02. A 可逆时可逆时, , A-1=*1AA111AA= A AE 1AA= E6*11()()|AAA AEAA*|AAA A EA, ,1*1|AAA 在在|A| 0时时, ,11( *) =AAA |A| 0, *A7 A= 0 时时, 称称 A 为为A 0 时时, 称称 A 为为8abcdA|0adbcAA 11dbcaadbcA9求满足矩阵方程求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵的矩阵 X, , 12283212 ,59221215AB1*1AAA12212129221X =A-1B =2/9 17/37/9-5/3 2

3、8/9 1/3其中其中A270,10已知已知An矩阵方程矩阵方程22A + AE0证明证明A 和和A- -2E 都可逆都可逆, ,并求逆矩阵并求逆矩阵. .,2A+ EA= E22AEA1(2 )AE2()4 A+ E21()A1 2() A21()A12A+ EA34AE11已知已知 A为方阵且为方阵且,AN0kk证明证明11().kEAE + A+ A1()()kkEA EAAEAE因为因为所以所以 可逆，而且可逆，而且EA11()kEAEAA1211 A23,(3),nn AAA,AEB0 1 00 10B()nn AEB122(1)2nnnnn nn EBBB！34(3)nn0BBB2

4、0 0 10 0 ,0B13122(1)2nnnnn nn AEBB！2222212, A323323333 A121(1)2nnnnnnn nnn ！14设设A, B是三阶方阵是三阶方阵，, A2.AABAE320( ) ;( );( );().ABCD112222AB （ ）. .由由 AABAE32() A AB AE2 A AB AE2()32 AB2AABAE32015设设A是是三三阶方阵阶方阵，且且,116A()().AA1122由由1116AA()AA112211122AA132A( )A31322716548 5416AAA|A|=1/2|(3A)- -1- -2 A*|AAA

5、A AAAAAA AA AA E，AAA A0, A17设设A是是n 阶方阵阶方阵，*.nAA1*AA为为的伴随矩阵的伴随矩阵,试证试证:由由,AAA AA E下面分三种情况讨论下面分三种情况讨论:0,A(1)若若*.nAA1(2)若若0A且且,A0*,A0*0.nAA1显然结论成立显然结论成立:nA AA有有18(3)若若0,A而而,A0下面证明下面证明*0.nAA1反证反证:若若*0,A*() , A1*A()() 11AAAA A0() A10AAAA EA0*0.1nAA*.n1AA19设设A、B、C为为n 阶方阵阶方阵, 且且ABC=E,(A)ACB=E; (B) CBA=E;(C)

6、 BAC=E; (D) BCA=E.A,AB,ABC,C,BC 因为因为ABC=E, A(BC)=E,(BC) A=E, BCA=E.20A A 0 在在|A| 0时时,11( *) =AAA*11AAA212223 24rirj ri ( )rirjriricicj ci cicjcii 25 26 : : A A A B，BAAB，B C，AC初初 若若A B，A B ABAB且且27 满足下面两个条件的矩阵称为满足下面两个条件的矩阵称为矩阵或矩阵或矩阵矩阵: (1) 零行全部位于非零行下方零行全部位于非零行下方, (2) 非零行的左起第一个非零元素的非零行的左起第一个非零元素的 列数由上

7、至下严格递增列数由上至下严格递增. A31021501324400007600000028 如果阶梯形矩阵如果阶梯形矩阵A满足满足: (1) 非零行左起第一个非零元素都是非零行左起第一个非零元素都是1, (2) 非零行左起第一个非零元所在列只有一非零行左起第一个非零元所在列只有一 个非零元个非零元.则称矩阵则称矩阵A为为矩阵矩阵.A10020701320000001900000029,rE000rEA即即000A 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 其余元素都是零其余元素都是零 . 则称这个矩阵为则称这个矩阵为 矩阵（唯一）矩阵（唯一）. 30,rr pnmm pn

8、s rs ps nEEEE000000 31结结 论论 1 任一矩阵任一矩阵A都可经都可经变换化成变换化成; ;2 任一矩阵任一矩阵A都可经都可经变换化成变换化成3 任一矩阵任一矩阵A都可经都可经变换化成变换化成. .A 阶梯形阶梯形A 最简形最简形A标准形标准形rE00032 3 2 3 4 5 93 1 0 2 1 50 1 3 2 6 106 4 6 8 12 243 2 3 4 5 90 1 3 2 4 40 0 0 0 2 60 0 0 0 0 01 0 -1 0 0 10/30 1 3 2 0 -80 0 0 0 1 30 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0

9、 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0行阶梯形行阶梯形行最简形行最简形标准形标准形E3 00 0= 3334 矩阵矩阵A的子方阵的行列式称为矩阵的子方阵的行列式称为矩阵A 的的 一一 个子式个子式. 划去划去A的某些行或列后剩下的元素，的某些行或列后剩下的元素， 按原顺序构成的矩阵称为矩阵按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的一的一 个子矩阵个子矩阵. 35 ,MM301301689689245245A13101246623678942945子矩阵子矩阵子行列式子行列式36A的的非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数r记作记作: : r(A)= =r并规定并规定: : ( (0) )= =0.

10、, ,A1472583690, 143253 3阶子式只有一个，且阶子式只有一个，且 , , 所以所以0Arrr (A)=2. A的的秩秩: :37若若 A 是是mn 矩矩阵，则阵，则1. 1. 0 (A)minm,n2. 2. (AT) = = (A)3. 3. (kA) = =0, k= =0(A), k04. 4. (A1)(A), ,(A1为为 A的子阵的子阵) 38 求法求法: : 初初1.2. .39n nnrn（）= AAE0m nmrm （）（）AAE()nm nm nnrnEAA（）0,称称nA可逆可逆0rnAA（ ）,称称 为为,称称如果矩阵如果矩阵A、B 等价标准形就相同等价标准形就相同，等价