数值分析试题及答案解析

1、范文范例指导学习word版本整理分享数值分析试题、填空题(2 0 >2')1.2,X 12 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。2.若 f(x)=x7则 f 2 0,21,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7=,2 8=0f 2 0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 73. 设，II A| 8=5 , II X| 8=3,II AX| N 15。4 .非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足|' (x)|<1、则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5 .区间a, b上的三次样条插值

2、函数S(x)在a,b上具有直到 2阶的连续导数。6 .当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ：如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式。n7 .拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是： ai(x) 1;所 i 0以当系数a(x)满足 a(x)>1,计算时不会放大f(xi)的误差8 .要使Y20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取_4位有效数字9 .对任意初始向量X0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx：k)+g

3、(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<110 .由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5x00.511.522.5y=f (x)-2-1.75-10.2524.2511 .牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)K|f(xn)|。12 .线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差门(i =0,1,，n)来实现的，其中的残差 ri = (b i-an-ai2X2-ainxn)/a ii, (i =0,1,，n)。13 .在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且 f(x)的二阶导数不变号，则初始点 xo的选取依据为 f(x0)f

4、"(x0)>0。14 .使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题(10M')1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组 AG b一定可以使用高斯消元法求解。(X)2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式 naHaj(i 1,2,.,n)j 1则解线性方程组AX= b高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。(X )4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍

5、入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX bo( 乂)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。（X）9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断 误差 = 舍 入 误 差。（）10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。（x ）三、计算题（5M0'）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1 x2x345x1 4x2 3x3121232x1x2 x3 11解答：（1, 5, 2）最大元5在第二行，交换第一与第二行:5x1 4x2 3x312123x1 x2x342x1x

6、2 x3 11L21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：5x1 4x2 3x3121 230.2x20.4x31.62 32.6x2 0.2x315.823-Q：121 ）最大元在第三行，交换第二与第三行：5x1 4x2 3x3121232.6x2 0.2x315.8230.2x20.4x31.623L32=-0.2/2.6=-0.076923, 方程化为:5x1 4x23x3122.6x2 0.2x315.8230.38462x30.38466回代得：x1 3.00005x2 5.99999x31.000102-用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式

7、P4(x),并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f ' (xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3-对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程

8、组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。x4 1x3 5x464x3 x48x33xixix2x23x2解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:2x1 x2x4 1x1 3x2 x33x2 4x3x4 8xix3 5x4 6雅克比迭代公式:x412x1x2xi 3x2x3x2 4x3 x48x1x3 5x46计算机数学基础（2） »数值分析试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）x = 0.0 aa2anM0s(a1 0)的绝对误差1.已知准确值 x*与其有t位有效数字的近似值 x （ ）.s 一 1 一t(A) 0.5 M0(B) 0

9、.5 M02.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为(C) 0.5)s+ 1 -tX10(D) 0.5s +tM0(A)(B)(C)(D)3.过(0,1),(2,4), (3,1）点的分段线性插值函数P(x)=(A)3x 123x 10(B)3x 123x210(C)3x 123x 10(D)4.等距二点的求导公式是(A)(C)(xk)(xk 1)(xk)(xk 1)1( yk h1(yk hykyk1)1)(B)f (xk)f (x-)1/(yk yk 1) h1(yk yk 1) h1( yk h1(yk hyk1)(D)yk)5 .解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是1 /、yk i

10、 2(yp yc)那么yp, yc分别为().ypyk hf(Xk,yk)(A)(B)ypyk hf (Xk i, yk)Ycyk hf (Xk, yp)yp yk f (Xk,yk)Ycykf (Xk, yp)Yp yk hf(Xk, yk)Ycykhf (Xk 1, yp)yc yk hf(Xki,yJ、填空题（每小题3分，共15分）6 .设近似值 Xi,X2满足（Xi）=0.05 , （X2）=0.005 ,那么（XiX2）=.7 .三次样条函数 S（x）满足：S（x）在区间a, b内二阶连续可导，S（Xk尸yk（已知），k=0,1,2,，n, 且满足 S（ x）在每个子区间xk, xk

11、+1上是.nAkk 0bn8.牛顿科茨求积公式f(x)dxAk f(xk),则a k 09 .解方程f（x）=0的简单迭代法的迭代函数（X）满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10 .解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是预报值： yk 1yk hf(xk,yk),校正值： yk+1=三、计算题（每小题15分，共60分）11 .用简单迭代法求线性方程组8x1 3x22x3204x111x2 x3336x13x2 12x336的X(3) .取初始值(0,0,0) T,计算过程保留4位小数.12 .已知函数值 f(0)=6 ,f(1)=10 , f (

12、3)=46 ,f (4)=82 ,f (6)=212，求函数的四阶均差 f(0,1,3,4,6) 和二阶均差f (4 , 1, 3).13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分、1 X2dx,计算过程保留4位小数.114 .用牛顿法求、彳15的近似值，取X=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题（本题10分）15 .证明求常微分方程初值问题y f(x, y)y(xo)v。在等距节点a=x°<x1<- - <xn=b处的数值解近似值的梯形公式为，、,hy(Xk+1) yk+1=yk+ f ( Xk, yk)+ f (Xk+1, yk+1)2其中 h

13、=Xk+1 Xk(k=0,1,2,n1)计算机数学基础（2） »数值分析试题答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空题（每小题6. 0.05 x2 +0.005X1共15分）7. 3次多项式8. b-a 9.r<1 10.hyk+-f (Xk,yk) f (Xk 1,Yk 1)hf(xk+1, 丫卜力三、计算题（每小题15分，共60分）11.写出迭代格式x（k（k1)1)0 0.375x2k)0.3636x1")0.25x3k) 2.50 0.090 9x3k) 391)0.5x1")0.25x2k)

14、0 3X(0) =(0,0,0) T.x：)x21)(1)x3得到 x(1) = (2.5 x, x22) x32)得至|J X2) =(2.875 x， x23)(3)x30.3750.36360.5 03, 3)T0 0.3750.363 6得到 X3) =(3.136 40.25 0 2.50 0.0909 00.25 03 0.252.5 02.53 2.50.09092.8753 3 2.363 70.5 2.50.25 31.00001.000 0) T0 0.3752.363 70.25 12.5 3.13640.363 62.875 00.090 91 3 2.04560.5

15、2.875 0.25,2.045 6 , 0.971 6)2.36370 3 0.971612.计算均差列给出.xkf (xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15,1f(0,1,3,4,6)= 15f(4, 1,3)=6x2=1.5 , x3=1.75 , x4=2.0 , x5=2.25 ,13. f(x)= 71 x2 , h=- 0.25.分点 x0=1.0 , x1=1.25 , 8x6=2.50 , x7=2.75 , x8=3.0.函数值：f(1.0)=1.4142, f (1.25)=1.6008

16、, f (1.5)=1.8028, f (1.75)=2.015 6, f (2.0)=2.2361, f (2.25)=2.462 2, f (2.50)=2.692 6, f (2.75)=2.926 2, f(3.0)=3.162 3.3hif(x)dx 2f(xo)f(x8)2(f(Xi) f(X2) f(X3)f(X4) f(X5) f(X6) f(X7) (9 分)0.25 41.414 2+3.162 3+2><1,600 8+1.802 8+2.015 62+2.236 1+2,462 2+2,692 6+2.926 2)=0,125 ><4,576 5

17、+2 M5,736 3)=4.506 114. 设X为所求，即求X2115=0的正根.f(X)=X2115.因为 f(X)=2X, f ( x)=2 , f (10) f (10)=(100 -115) >2<0, f (11) f (11)=(121 115)30 取 X0=11 .有迭代公式f(Xk)Xk2 115Xk115xk+i=xk- = xk (k=0,1,2, )f (Xk)2Xk22Xk11115X1=- = 10.727 322 1110.727 3115X2= = 10.723 822 10.727 310,723 8115X3= = 10.723 822 10

18、.723 8X* 10.723 8四、证明题(本题10分)15.在子区间Xk+1,Xk上，对微分方程两边关于X积分，得Xk 1 y(xk+1) -y(xk)=f (x, y(x)dxXk用求积梯形公式，有hy(xk+1) -y(xk)= 一 f (xy(Xk)f (Xk 1, y(Xk 1)2将 y(xk), y(xk+1)用 yk, yk+1 替代，得到，、.hy(xk+1) yk+1=yk+ f(xk, yk)+f (xk+1, yk+1)( k=0,1,2,，n 1)2数值分析期末试题、填空题(2 10 20分)(1)设 A152210 ，则网38213,、2x15x2 1(2)对于方程

19、组12, Jacobi迭代法的迭代矩阵是 Bj10X14x2 302.5O2.5 0(3) "x*的相对误差约是X*的相对误差的1倍。3(4)求方程xf(x)根的牛顿迭代公式是 xn 1xn f(xn)1 f(xn) °3 .一 一(5)设 f(x) x x 1,则差商 f0,1,2,3 J(6)设n n矩阵G的特征值是 1, 2, n ,则矩阵G的谱半径 (G) max1 i n1已知A02,则条件数Cond (A)91(8)为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将|n(x < x2 1)改写为 ln(x Mx2 1)。(9) n个求积节点的插值型求积公式的代数

20、精确度至少为n 1次。(10)拟合三点(x1, f(x1 ), (x2, f (x2),r.1十+小口1 r(x3, f (x3)的水平直线是y f(xi)。3 i 111使用Jacobi迭代法求解不收敛性。12x1 x2 x3二、(10分)证明：方程组x1 x2 x3x1 x2 2x3证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为00.50.5Bj 1010.5 0.50Bj的特征多项式为0.5 0.5det( I Bj)110.50.5Bj的特征值为10,2V'1.25i ,3敛性。(2 1.25)J1.25i,故(Bj) J石5 >1,因而迭代法不收三、（10分）定义内积(f ,g)

21、10 f(x)g(x)dx试在H 1 Span1, x中寻求对于f(x)Jx的最佳平方逼近元素 p（x）。解:0(x)1,1(x) x,1dx01,1xdx0，1，,、dx - , ( 0, f) 31xdx0f)法方程C0C12325解得c04一, 15c112-，+一。所求的最佳平方逼近元素为15P(x)12x ,0x115 15解：y(x) c0 c1x c2xC3x四、（10分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。2310ATA1034103434130ATy (2.9,4.2,7,14.4)T法方程AT Ac AT y的

22、解为 c00.4086, c10.39167, c20.0857, c30.00833得到三次多项式y(x) 0.4086 0.39167x 0.0857x2 0.00833x3误差平方和为30.0001941下,五.(10分)依据如下函数值表x0124f(x)19233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f(2.2),并在假设f (4)(x)估计计算误差。解:先计算插值基函数l0(x)(x 1)(x 2)(x 4)(0 1)(0 2)(0 4)1i(x)(x 0)(x 2)(x 4)(1 0)(1 2)(1 4)2x2l2 ( x)(x 0)(x 1)(x 4)(2 0)(2

23、 1)(2 4)13(x)(x 0)(x 1)(x 2)(4 0)(4 1)(4 2)13121x x x2481211 34521一 x 一 x - x442所求Lagrange插值多项式为3L3(x)f(xi)li(x) 1o(x) 91i(x) 2312(x) 3L(x)i 0f (2.2) L3(2.2) 25.0683。据误差公式 R3(x)f (),-(x Xo )(x Xi)(X x2)(x 4!X3)及假设 f(4)(x)1得误差R3(x)1 0.9504 0.0396 4!估计:f(4)()! (2.2 0)(2.2 1)(2.2 2)(2.2 4)4!六.(10分)用矩阵的直接三角分解法解方程组1020X150101X231243X3170103X4710201102001011 211u22u23u2412431 31 l321u33u3401031 41 l42 l431U44由矩阵乘法可求出ujl21l31l41l 321 42l43u22u23U 24u33U 34和lijU44解下三角方程组y1y2y317y，有 y15 , y23,y36,y44。再解上三角方程组X1得原方程组的解为X11,X2，X32,X4X2X3X4七.（10分）试用Simpson公式计算积分1exdx的近似值，