第5-6讲应力状态分析2011

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第五讲第五讲Lesson Five2022-5-22第三章 应力状态分析主要内容Main Content 应力状态基本概念应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量求和约定和应力张量 主应力及主切应力主应力及主切应力 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 2022-5-233.1 应力状态基本概念应力状态基本概念 金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工中工

2、件所受的外力及其在工件内的应力和应中工件所受的外力及其在工件内的应力和应变。本章讲述变形工件内应力状态的分析及变。本章讲述变形工件内应力状态的分析及其表示方法。这是塑性加工的力学基础。其表示方法。这是塑性加工的力学基础。 2022-5-24锤锻过程锤锻过程2022-5-25基本假设 变形体是连续的，不存在微观结构，是宏观变形体是连续的，不存在微观结构，是宏观的，材料是均匀的，各向同性。的，材料是均匀的，各向同性。 变形体性能及变形行为不存在随机现象，性变形体性能及变形行为不存在随机现象，性能是确定的能是确定的 物体在塑性变形前后的体积不变物体在塑性变形前后的体积不变2022-5-26外力外力体

3、积力体积力表面力表面力重力重力惯性力惯性力电磁力电磁力特点：分布在物体体积的外力，它作特点：分布在物体体积的外力，它作用在物体内部的每一个质点上用在物体内部的每一个质点上特点：分布在物特点：分布在物体表面的外力体表面的外力作用力（主动力）作用力（主动力）正压力正压力约束反力约束反力摩擦力摩擦力2022-5-27 塑性加工时，由于体积力与加工中的作用力塑性加工时，由于体积力与加工中的作用力比较起来很小，在实际工程计算中一般可以比较起来很小，在实际工程计算中一般可以忽略。但在高速加工时，金属塑性流动的惯忽略。但在高速加工时，金属塑性流动的惯性力应该考虑。性力应该考虑。 一般塑性加工只分析作用力、正

4、压力、摩擦一般塑性加工只分析作用力、正压力、摩擦力的作用状态。力的作用状态。2022-5-282022-5-292022-5-210 作用力作用力 塑性加工设备的可动工具部分对工件所塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的力。又称主动力。作用的力。又称主动力。 可以实测或理论计算，可以实测或理论计算，用于验算设备强度和设备功率。用于验算设备强度和设备功率。 正压力正压力 沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或金属流动的力，其方向垂直于接触面，移动或金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。并指向工件。 摩擦力摩擦力 沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动沿工

5、具和工件接触面切向阻碍金属流动的力，其方向平行于接触面，并与金属质点流的力，其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动趋势相反。动方向或流动趋势相反。2022-5-211内力和应力 内力内力 在外力作用下的物体，内部将产生抵抗变形在外力作用下的物体，内部将产生抵抗变形的力称为内力。的力称为内力。 内力可以用截面法把它表示出来内力可以用截面法把它表示出来。2022-5-212PPPBAdFPdFPSFlim0 应力应力S称为作用在面素称为作用在面素 上的上的全应力全应力 F2022-5-213全应力的分解方式全应力的分解方式 一种沿法向、切向分解一种沿法向、切向分解 一种可以沿坐标轴分解为一

6、种可以沿坐标轴分解为Sx、Sy、Sz 正应力：正应力： 切应力：切应力： FNFlim0FTFlim02022-5-214 一点的应力向量不仅取决于该一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。点的位置，还取决于截面的方位。 2022-5-215 垂直于轴线的横截面垂直于轴线的横截面 与轴线成一定角度的截面与轴线成一定角度的截面2022-5-216 如果截面的法向与如果截面的法向与某坐标轴重合，则某坐标轴重合，则该截面上的切应力该截面上的切应力还可以沿其余两坐还可以沿其余两坐标轴分解。标轴分解。 2022-5-217 对 于 包 含 某对 于 包 含 某点 的 微 六 面点 的 微

7、 六 面体 体 素 上 ，体 体 素 上 ，每 一 面 素 上每 一 面 素 上作 用 有 三 个作 用 有 三 个应 力 分 量 ，应 力 分 量 ，其 中 一 个 正其 中 一 个 正应 力 ， 两 个应 力 ， 两 个切应力。切应力。 2022-5-2182022-5-219切应力互等定理zxxzzyyzyxxy2022-5-220 应力分量的符号规定应力分量的符号规定 面素符号面素符号应力方向应力方向应力符号应力符号+-+-+2022-5-2213.2 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 要想了解一点的应力状态必须知道过该点任要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上

8、的应力分布。但是过该点的截面有意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。须采用其他方式进行描述。 2022-5-222 一点的应力向量不仅取决于该一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。点的位置，还取决于截面的方位。 2022-5-223 通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素构成一个四面体素 2022-5-224zxyo

9、x y z xy yz yx xz zy zxSnnSnxSnySnz n nBACds2022-5-225 该微分斜面面积为该微分斜面面积为dA，外法线方向的方向余弦为：，外法线方向的方向余弦为： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n 三个垂直坐标面的面积可以表示为：三个垂直坐标面的面积可以表示为：ldAxnSSABCOBC,cosmdAynSSABCOAC,cosndAznSSABCOBA,cos xza ag gn1222nml方向余弦有：方向余弦有：2022-5-226 由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个

10、方向的受力平衡，即三个方向的受力平衡，即 0 xF 0yF 0zF 在在x方向：方向： 在在y方向：方向： 在在z方向：方向： 0ndAmdAldAdASzxyxxx0ndAmdAldAdASzyyxyy0ndAmdAldAdASzyzxzz2022-5-227 整理后可得方程整理后可得方程 用矩阵表示为用矩阵表示为nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxxnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxzyx（）2022-5-228 把微分斜面上的合应力把微分斜面上的合应力S，向法线，向法线n方向投影，便可求出微分斜面上方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将的正应力，或将Sx

11、、Sy、Sz分别投影到法线分别投影到法线n上，也同样得到微分斜上，也同样得到微分斜面上的正应力，即面上的正应力，即 将将Sx、Sy、Sn带入上式得带入上式得 微分面上的剪应力为微分面上的剪应力为nSmSlSzyxnlmnlmnmlzxyzxyzyx222222222 S2221322232222212lnnmml2022-5-229 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。应力分量来表示。 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所或者说，通过变形体内任意点垂直

12、于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力截取的三个相互垂直的微分面上各应力 已知时，已知时，便可确定该点的应力状态。便可确定该点的应力状态。 xyzyxxyzyyzxzzx ij2022-5-230应力边界条件方程 如果该四面体素的斜面如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力力在坐标轴方向的分力分别为分别为px、py、pz，则，则nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxx2022-5-231 应力边界条件方程的物理意义：应力边界条件方程的物理意义： 建立

13、了过外表面上任意点，单位表面力与过建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。2022-5-232课堂练习 已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线方向与三个坐标轴夹角余弦线方向与三个坐标轴夹角余弦 时，求该斜面上的全应力时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上，全应力在坐标轴上的分量的分量Sx、Sy、Sz， ，及斜面上的法线应力，及斜面上的法线应力 n和和切应力切应力 n。 31nml2022-5-233 解：首先确定各应力分量解：首先确定各应力分量 x=10、 y=10、 z=0、

14、 xy= yx= 5、 xz= zx=5、 yz= zy=0 （单位（单位MPa） 。由。由3531031031531531031103153203153153110nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx3265222zyxSSSS2022-5-23434031)52521010( 222222nlmnlmnmlzxyzxyzyxn143593503403650222nnS2022-5-235 直角坐标系下的应力张量直角坐标系下的应力张量ijzyzxzzyyxyzxyxx T2022-5-236 柱坐标系下的应力张量ijrzrrzrzrzz T2022-5-237第三章

15、应力状态分析主要内容Main Content 应力状态基本概念应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 应力张量应力张量 主应力及主切应力主应力及主切应力 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 2022-5-2383.4 主应力及主切应力主应力及主切应力 3.4.1 主应力的概念主应力的概念 通过坐标变换可以找到只有正应力的坐通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力主应力，该坐标面为，该坐标面为主平面主平面。 2022-5-2392022-5-2402022-5-241主应力的求解主应力的求解 如果取微分

16、面如果取微分面ABC为主为主微分面，即该微分面上微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力。上的全应力就是主应力。用用 表示主应力，则它表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为在各坐标轴上的投影为 nSmSlSzyx2022-5-242 代入到斜面应力方程中有代入到斜面应力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxzzzyyxyyzxyxxx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2022-5-243 由上面四个方程可求出主应力由上面四个方程可求出

17、主应力 及其方向余弦及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有程组，显然不能有l = m = n = 0这样的解。如这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即数行列式为零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2022-5-244 展开此行列式，得展开此行列式，得2)(zyx3)(1zyxJ )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxJ22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ则有则有0322

18、13JJJ2022-5-245 三次方程式称为三次方程式称为应力状态特征方程应力状态特征方程。此方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知均为实根。由因式分解可知 0321 032113322123213由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得展开后得2022-5-246应力张量不变量应力张量不变量zyxJ13212222zxyzxyxzzyyxyzzxyyzxzxyzxyzy

19、xJ321 对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么标系改变。那么J1、J2、J3 是不随坐标系改变的，分别是不随坐标系改变的，分别称为称为一次、二次和三次应力常量一次、二次和三次应力常量，或称为，或称为应力张量不变应力张量不变量量。2022-5-247主应力的特点主应力的特点 三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的 将主应力将主应力 1代入（代入（*）式中的任何两个方程，）式中的任何两个方程，并

20、与（并与（*）式联立，可以求解出主应力）式联立，可以求解出主应力 1的的方向余弦方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主应，同理，可以求解出主应力力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l3、m3、n3 。 每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll2022-5-248 三个主应力均为实根三个主应力均为实根 主应力具有极值性质主应力具有极值性质 三个主应力中的最大值赋给三个主应力中的最大值赋给 1，最小值赋给，最小值赋给 3，并按大小顺序排列，并按大小顺序排列 1

21、 2 3，则过该点，则过该点任意微分斜面上的正应力中，任意微分斜面上的正应力中， 1为最大值，为最大值， 3为最小值。为最小值。 2022-5-249主坐标系主坐标系 因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成与主应力方向一致，则构成主坐标系主坐标系，其坐，其坐标轴称为标轴称为主轴主轴。 2 12(y)3(z)1(x) 32022-5-250 在主坐标系下斜面上的应力为在主坐标系下斜面上的应力为nnmlSmnmlSlnmlS333222111000000nmlSSS321321000000或或232221nmln正应力正应力321000

22、000T为主应力张量为主应力张量2022-5-251例题物体中某一点的应力张量为 解： 2100100100/10010ijMN m试求主应力值及 ,(1,2,3)jJj 1()10 xyzJ2222()10 ( 10)( 10) 10 10 10 100200 xyyzzxxyyzzxJ 22232210 10 10( 10) 100 xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 32123320102000JJJ12320,0,10 101010-102022-5-2523.4.2 主切应力和最大切应力主切应力和最大切应力 主切应力主切应力 任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。任意微分斜面

23、上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。极值切应力又称为主切应力。 在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力 上式中消去上式中消去n，得到，得到 n与与l、m的函数关系的函数关系 2221322232222212lnnmml 2 32322312322322223212 mlml 2022-5-253 当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得求极值的方法可求得微分面

24、上的切应力的极值。微分面上的切应力的极值。 0 2 0 2 32323223123223132322312321mmlmmflmlllf2 32322312322322223212 ),(mlmlmlfn2022-5-254对此方程组求解分不同情况对此方程组求解分不同情况 当当 1 2 3时，时，1） ，此解指主微分面上切应力为零，此解指主微分面上切应力为零2） 时，时， 3） 时，时， 4） 时，此种情况不可能成立。时，此种情况不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，则有，则有1 , 0nml0 , 0ml21 0 21nml0 , 0ml 21 21 0nml0, 0ml 0 21

25、21 nml2022-5-255l0m0n02022-5-256 当当 1 2 3时，时，则切应力在通过该点的任何则切应力在通过该点的任何微分面上为零。微分面上为零。 主切应力主切应力 最大切应力最大切应力22112232232311323113max2022-5-257l000m000n000切应切应力力000正应正应力力112121123222123112323222123121212121主平面和主切平面上所作用的应力主平面和主切平面上所作用的应力 2022-5-258练习 已知变形体内某点的应力状态已知变形体内某点的应力状态 80027060027050T N/mm2 试求该点的主应力

26、大小和主应力的方向余弦。试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。2022-5-259 解：解：80027060027050T （1 1） = 60MPa为一主应为一主应力。力。y面面y向向缩减应力张量的维数缩减应力张量的维数80272750T2022-5-260080272750写出该张量的特征方程写出该张量的特征方程展开并求解展开并求解027)80)(50(20327113022327141301302MPa9 .95)2(MPa1 .34)3(2022-5-261 按大小顺序排列后，得到按大小顺序排列后，得到 求求 1的方向余弦。将的方向余弦。将 1代入到（代入到（*）式中）式中MPa9

27、.951MPa1 .343MPa602080270275011nlnl与与 联立求解，因联立求解，因m = 0，所以有，所以有1222nml1588. 022nlnl解得：解得：862. 00507. 0nml862. 00507. 0nml或或2022-5-262 同理可求得 2、 3的方向余弦的方向余弦 2 3010nml010nml或或507. 00862. 0nml507. 00862. 0nml或或xz 1 32022-5-263第三章 应力状态分析主要内容Main Content 应力状态基本概念应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量

28、求和约定和应力张量 主应力及主切应力主应力及主切应力 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 2022-5-2643.5 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 3.5.1 球应力球应力 由应力张量第一不变量由应力张量第一不变量zyxI1321令令zyxmI3131132131称称 为应力状态的为应力状态的平均应力平均应力，其大小也与，其大小也与坐标系无关。坐标系无关。m2022-5-265 在主坐标系下，若斜面的方向余弦取在主坐标系下，若斜面的方向余弦取31nml则斜面上的正应力为则斜面上的正应力为32123222131nmlnm这样的斜面有这样的斜面有8个，个，构成一个正八面体。构成一个正八面体。作用

29、在这些面上的应作用在这些面上的应力称为力称为八面体应力八面体应力 2022-5-266 八面体应力可分为八面体正应力八面体应力可分为八面体正应力 和八面体切和八面体切应力应力 。88132183131Im2132322218312221322232222212lnnmml因因所以所以2022-5-267 作用在八面体面上的正应力是与坐标轴变换作用在八面体面上的正应力是与坐标轴变换无关的常量。若过一点各向受同一符号和同无关的常量。若过一点各向受同一符号和同样大小的主应力作用，则过该点任意微分斜样大小的主应力作用，则过该点任意微分斜面上的切应力为零，因而不会产生塑性变形，面上的切应力为零，因而不会

30、产生塑性变形，仅发生体积的弹性变化。仅发生体积的弹性变化。 此时我们定义此时我们定义 mp为静水压力为静水压力 2022-5-268 当坐标轴取主轴时，斜面上的应力有当坐标轴取主轴时，斜面上的应力有 nSmSlSnnn 3322111222nml1232322222121nnnSSS椭球面方程椭球面方程 1222222czbyax222ayx2022-5-269 该椭球面主半径长该椭球面主半径长度分别等于主应力度分别等于主应力 1、 2、 3的值。此椭球的值。此椭球面称为应力椭球面。面称为应力椭球面。由椭球面上任意点由椭球面上任意点向原点连线，此线向原点连线，此线段长度表示任意斜段长度表示任意

31、斜面上的全应力面上的全应力Sn。 应力椭球面应力椭球面2022-5-270 如果如果 ，则椭球面变成球面。此时，则椭球面变成球面。此时，变形体中一点的应力状态为三个主应力相同，变形体中一点的应力状态为三个主应力相同，并等于并等于 ，此点应力状态可用如下矩阵表示，此点应力状态可用如下矩阵表示 pm321mmmmsT000000 由于这一点的三个主应力相同，通过该点的所有微分由于这一点的三个主应力相同，通过该点的所有微分斜面上的应力相同，此时应力曲面为球形。因此，上述矩斜面上的应力相同，此时应力曲面为球形。因此，上述矩阵便是球形应力张量，简称阵便是球形应力张量，简称球应力张量球应力张量。 pppT

32、s000000或或2022-5-271 球应力分量仅能使物球应力分量仅能使物体引起体积胀缩的弹体引起体积胀缩的弹性体积变化，这部分性体积变化，这部分应力分量对物体的塑应力分量对物体的塑性变形是无贡献的。性变形是无贡献的。2022-5-2723.5.2 偏差应力偏差应力 取任意应力张量取任意应力张量zyzxzzyyxyzxyxxT从其中去掉球应力张量，即从其中去掉球应力张量，即mmmzyzxzzyyxyzxyxxsdTTT0000002022-5-273mzyzxzzymyxyzxyxmxdTzyzxzzyyxyzxyxx该应力张量称为该应力张量称为偏差应力张量偏差应力张量mzzmyymxx 其

33、中其中2022-5-274 偏差应力张量也是二阶对称应力张量，具有偏差应力张量也是二阶对称应力张量，具有与应力张量类似的性质，比如与应力张量类似的性质，比如zyxI103212222zxyzxyxzzyyxI2132322216122232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI321为偏差应力张量一次、二次、三次不变量为偏差应力张量一次、二次、三次不变量 2022-5-275偏差应力张量不变量的物理意义偏差应力张量不变量的物理意义 一次不变量表达了产生体积不变条件的原因。一次不变量表达了产生体积不变条件的原因。 二次不变量可以作为变形体由弹性向塑性状二次不变量可以作为变形体由弹性向塑性状态过渡

34、的判据。态过渡的判据。 三次不变量决定了应变的类型。三次不变量决定了应变的类型。 八面体切应力与二次不变量的关系八面体切应力与二次不变量的关系221323222183231I2022-5-276 也存在偏差主应力，并且和相应的应力主轴也存在偏差主应力，并且和相应的应力主轴保持一致。保持一致。 偏差应力张量为从一般应力张量中去掉引起偏差应力张量为从一般应力张量中去掉引起体积改变的球应力张量而得到，而一般变形体积改变的球应力张量而得到，而一般变形可以看作体积改变和形状改变的总和，因此可以看作体积改变和形状改变的总和，因此偏差应力张量引起变形体形状的改变。偏差应力张量引起变形体形状的改变。2022-

35、5-277=+=+z应力张量球应力张量偏应力张量应力张量的分解任意坐标系主轴坐标系ymmmxxyyzxxzyxyzzxzyxyxzyxyzzxzy123mmm1232022-5-278根据应力偏张根据应力偏张量可以判断变量可以判断变形的类型形的类型 挤压挤压-8-8-2=222+4-2-2-1-1-1=-6-6-6=-2-24+4-2+-2简单拉伸简单拉伸6拉拔拉拔-3-332022-5-2793.5.3 主应力图示主应力图示 表示一点的主应力有无和正负号的应力状态表示一点的主应力有无和正负号的应力状态图示称为图示称为主应力图示主应力图示。 主应力图示有九种：体应力状态图示四种、主应力图示有九种：体应力状态图示四种、面应力状态图示三种、线应力状态图示两种。面应力状态图示三种、线应力状态图示两种。 2022-5-280 主偏差应力图示有三种主偏差应力图示有三种 0321原因原因2022-5-2813.5.4 应力莫尔圆 321以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向为l，m，n则有 232221nml232322312322322223212)()()()(mlml1222nml)()()()()()(231323221232213231212322nml通过求解上述三个方程得2022-5-282变换形式得到 232312122232)2()()2(l213123222213)2