信号与系统6(全)

1、连续时间信号与系统的S域分析 连续时间信号的复频域分析 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 拉普拉斯变换反变换拉普拉斯变换反变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换s1f (t)=etu(t) 0的傅里叶变换？将将f(t)乘以衰减因子乘以衰减因子e- tdteetf

2、etfFtjtt)()(dteetjt)(00)(dtetsjs令若 不存在!推广到一般情况推广到一般情况令s= +jdteetfetfFtjtt)()(dtetftj)()()()(sFdtetfstdtetfsFst)()(定义：定义：对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出dsesFjtfjjst)(21)(拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换拉普拉斯变换符号表示及物理含义)()(tfLsF)()(sFtfL符号表示：)()(1sFLtf物理意义：物理意义：信号f(t)可分解成复指数est的线性组合F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。关于积分下限

3、的说明：关于积分下限的说明：二、单边拉普拉斯变换及其二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件存在的条件积分下限定义为积分下限定义为零的左极限零的左极限，目的在于分析，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的和计算时可以直接利用起始给定的0 0- -状态。状态。0)()(dtetfsFstjjstdsesFjtf)(21)(单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换存在的条件 Cdtetft| )(|对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足0)(limttetf(0)充要条件为：0称收敛条件称收敛条件收 敛 区j00称绝对收敛坐标称绝对收敛坐标S平面右半平面左半平面例例 计算下列

4、信号拉普拉斯变换的收敛域)()() 1 (tutu)()2(tu)()3(3tuet)()4(tutn2,)5(ttet Cdtetft| )(|0)(limttetf或分析：求收敛域即找出满足的取值范围。收敛域为全S平面030不存在（1 1）指数型函数）指数型函数e t u(t)三、三、 常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换sdteetueLsttt1)(0stuet1)(01)(0jstuetj)(1)(00)(00jstuetj同理：00正弦信号)(2)(cos000tueetuttjtj20200)11(21ssjsjs)(2)(sin000tujeetuttjtj202000

5、)11(21sjsjsj00(2) (2) 阶跃函数阶跃函数u(t)stueLtuLt1)(lim)(00)Re(0s或)(),()3()(ttndtettLst0)()(1)Re(sdtettLst0)()(0)(tstedsdsdtettLstnn0)()()()(0)() 1(tstnnnedsdns(4) (4) t的正幂函数的正幂函数t n, ,n为正整数为正整数dtetsnestdtettutLstnstnstnn0100)()()(dtetsnstn01)(1tutLsnn根据以上推理,可得)(1)()(21tutLsnsntutLsntutLnnn)(12210tutLsssn

6、snsn0)Re(,!)(1ssntutnLn)Re(1 )(sstueLt)Re( 1)(sstueLt0)Re( 1 )(0 0sjstueLtj0)Re( 1 )(0 0sjstueLtj0)Re( )( cos202 0ssstutL-Re(s) 1 )(Lt0)Re( )( sin20200sstutL-Re(s) )()(nLnst0)Re( s1 )(stuL0Re(s) s1 )(2 Lttu0Re(s) ! )(1 nLnsntut-Re(s) )(1 )(2stuteLt0202000-Re(s) )( )( cos0sstuteLt0202000-Re(s) )(s )(

7、sin0Ltttue0Re(s) )(s )(cos22022020sttutL0Re(s) )(2 )(sin220200ssttutL四、拉普拉斯变换与傅里叶四、拉普拉斯变换与傅里叶变换变换的关系的关系例计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换)(3tuet)(3tuet)(2costut解：时域信号傅里叶变换 拉普拉斯变换)(3tuet)(3tuet)(2costut31j331s不存在331s)2()2(24)(2jj0412s结论：结论：（1）当收敛域包含轴时，拉普拉斯变换和傅里叶 变换均存在。jssFjF)()(（2）当收敛域不包含轴时，拉普拉斯变换存在而 傅里叶变换不存在。（3）当

8、收敛域的收敛边界位于轴时，拉普拉斯变换 和傅里叶变换均存在。)()()(nnnjsKsFjF例 由F(s)求F(j )4)4(2ss0)9(12ss解：1)收敛域-4包含j 轴2)4()()(jjsFjFjs2）收敛域的收敛边界位于j 轴sjsjssF1913118131181)()(9)3() 3(18)9(1)(2jjF)()()(nnnjsKsFjF五、拉普拉斯变换的性质1 1、线性特性、线性特性若若则则111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)()()()(22112211sFasFatfatfaL),max()Re(21s2 2、展缩特性、展缩特性若若则则

9、0)Re()()(ssFtfL0)(1)(asFaatfL0)Re(as3 3、时移特性、时移特性若若0)Re()()(ssFtfL0)()()(0000tsFettuttfstL0)Re(s则则4 4、卷积特性、卷积特性111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)()()(*)(2121sFsFtftfL),max()Re(21s5 5、乘积特性、乘积特性111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)(*)(21)()(2121sFsFjtftfL21)Re(s0)()(sFtfeLt0)Re(s0)Re()()(sdssdFttfL0)Re

10、()()(ssFtfL乘积性质两种特殊情况：乘积性质两种特殊情况：1. 指数加权性质若则2.线性加权性质6 6、微分特性、微分特性0)Re()()(ssFtfL0)Re()0()()(sfssFdttdfL证明0)()(dtedttdfdttdfLstdtsetfetfstst)()(000)()0(dtetfsfst)0()(fssF重复应用微分性质，求得：)0( )0()()(222fsfsFsdttfdL)0(.)0( )0()()(121nnnnnnffsfssFsdttfd101)0()(nrrrnnfssFs若f(t)=0, t0, 则有f r(0 ) = 0，r=0,1,2,.)

11、()(sFsdttfdnLnn7 7、积分特性、积分特性0)Re()()(ssFtfLsfssFdfLt)0()()(1)0,max()Re(0s若f 1(0)， 则有ssFdfLt)()(ttdfLdfLdfL00)()()(证明证明其中， 右边第一项sfdfL)0()(10第二项按部分分式，得dtedfdfLsttt000)()(000)(1)(dtetfsdfsesttstssF)(8 8、初值定理和终值定理、初值定理和终值定理0)Re()()(ssFtfL)()0()(limlim0ssFftfst)()()(limlim0ssFftfst六、拉普拉斯反变换六、拉普拉斯反变换部分分式展

12、开法部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法：计算拉普拉斯反变换方法：1. 利用复变函数中的留数定理2. 采用部分分式展开法jjstdsesFjtf)(21)(例 采用部分分式展开法求下列的反变换sssssF342)() 1 (233) 1(2)()2(ssssF2442)()3(23sssssF解：解：sssssF342)() 1 (23F(s)为有理真分式，极点为一阶极点。)3)(1(2342)(23sssssssssF31321sksksk32)3)(1(2)()(001ssssssFsk21)3(2)() 1(112ssssssFsk61) 1(2)()3(333ssssssFsk)(61

13、)(21)(32)(3tuetuetutftt解：解：3) 1(2)()2(ssssF342321) 1() 1() 1()(sksksksksF2) 1(2)(0301ssssssFk32)() 1(1134sssssFsk2)2()() 1(1133ssssdssFsdk2)2()() 1(1 12322ssssdssFsdk)()23222(2tuetteettt解：解：2442)()3(23sssssFF(s)为有理假分式,将F(s)化为有理真分式2412204)(2sssssF241220)(4)()(21sssLtttf)(6 . 0)(6 .20)(4)()(45. 045. 4

14、tuetuetttftt归纳：归纳：01110111)()()(asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm(1) F(s)为有理真分式( m n)，极点为一阶极点一阶极点)()()()()()(21npspspssNsDsNsFnnpskpskpsksF2211)(nisFpskipsii, 2 , 1)()()()()(2121tuekekektftpntptpn(2) F(s)为有理真分式( m n)，极点为r重阶极点重阶极点)()()()()()()(11nrrpspspssNsDsNsFnnrrrrpskpskpskpskpsk11121211)()(rjsFpsdsdjrk

15、rjrjrj, 2 , 1)()()!(11nrrisFpskipsii, 2, 1)()(3) F(s)为有理假分式有理假分式( m n )()()()()(110sDsNsBsBBsDsNsFnmnm)()(1sDsN为真分式，根据极点情况按(1)或(2)展开。)(00tBBL)(11tBsBL)()(tBsBnmnmLnm例 求下列F(s)的反变换)4(1)()3(22ssesFs)4(31)()2(22sssF22)4(8)() 1 (sssF解：2)4(881)(sssF4)4(1221sksk24)88()()4(1421ssssFsk8)88()()4(422ssFsdsdks)

16、(24)(8)()(44tuetutettftt22)4(8)() 1 (sssF解：令s2=q, )4(31)()2(22sssF)4(31)(qqsF则)4(3121qkqk41)4(101qqqqk41)4(1)4(42qqqqk)4(4141(31)(22sssF于是)()2sin21(121)(tutttf解：的反变换先用部分分式求)4(1)(21sssF的反变换再利用时移特性求)4()(222ssesFs)4(1)()3(22ssesFs4)4(1)(232121sksksksssF04141321kkk)()2cos1 (41)(1tuttf)2()2(2cos1 41)(2tu

17、ttfk2, k3用待定 系数法求信号的复频域分析小结 信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合。 信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换。 利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析。 复频域分析主要用于线性系统线性系统的分析。连续系统响应的复频域分析连续系统响应的复频域分析 微分方程描述系统的微分方程描述系统的S S域分析域分析 电路的电路的S S域模型域模型微分方程描述系统的s域分析时域差分方程时域差分方程时域响应时域响应y(t)s域响应域响应Y(s)拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换解微分方程解代数方程s域代数方程域代数方程二阶系统响应的S

18、域求解)()(212202122tfbdtdfbdtfdbtyadtdyadtyd已知 f (t)，y(0)，y (0) ，求y(t)。(1) 经拉氏变换将域微分方程变换为s域代数方程(2) 求解s域代数方程，求出Yx(s), Yf (s)(3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式求解步骤：求解步骤：)0( )0()(2ysysYs)()0()0( )0()(21221202121sFasasbsbsbasasyaysysY)()()(2120sFbssFbsFsb)()(1sYsYLfx)()()(tytytyxfYx(s)Yf (s)y”(t)a1y(t)a2y (t)()( )( 210t

19、fbtfbtfb)0()(1yssYa)(2sYa 系统的微分方程为系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0)=3， y(0-)=2，求响应y(t)。例1：解解 ：对微分方程取拉氏变换可得：对微分方程取拉氏变换可得)(8)(2)(6)0()( 5)0()(2sFssFsYyssYsysYs) 65()0( )0() 5()(6582)(22ssyyssFssssY)()(sYsYxf3821165173)(2ssssssYx)()811()()(321tueesYLtyttxx)()43 ()()(321tueeesY

20、Ltytttff11) 3)(2(82116582)(2sssssssssYf)()773 ()()()(32tueeetytytytttxf) 3(12413sss电路的电路的s s域模型域模型时域时域复频域复频域tccLLRRdictdttdiLttRit)(1)()()()()()()(sRIsVRR)0()()(LLLLissLIsV)0(1)(1)(cccVcsIscsVR、L、C串联形式的串联形式的s域模型域模型RIR(s)VR(s)sL)0(LLiIL(s)VL(s)sC1)0(1cvsIC(s)VC(s) 例例2 2图示电路初始状态为图示电路初始状态为vc(0(0- -)=-)

21、=-E, , 求电容两端电压求电容两端电压 vc( (t t).).RCvC(t)i(t)Eu(t)RsE)(sIVC(s)1/sC E /s解：解：建立电路的s域模型由s域模型写回路方程sEsEsIsCR)()1(求出回路电流)1(2)(sCRsEsIsEsCsIsVC)()()121(RCssE0),21 ()(1teEtvtRCc电容电压为系统函数系统函数H(s)与系统特性与系统特性 系统函数系统函数H(s) 系统函数的定义 H(s)与h(t)的关系 s域求零状态响应 求H(s)的方法 零极点与系统时域特性零极点与系统时域特性 零极点与系统频响特性零极点与系统频响特性 连续系统的稳定性连

22、续系统的稳定性一、系统函数一、系统函数H(s)(1)定义：系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式 与输入的拉式变换式之比，记为H(s)。)()()()()(sFsYtfLtyLsHff(2) H(s)与h(t)的关系： )()(thLsH)()(1sHLthh(t)(t) yf(t)= (t)*h(t)(1)()()()(thLthLtfLtyLsHf)(th一、系统函数一、系统函数H(s)(3)求零状态响应：(4)求H(s)的方法： 由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t)由系统的微分方程写出H(s)()()(tfLtyLsHfh(t) H(s)f(t)yf(t)=f(t)*h(t)F(s)

23、Yf(s)=F(s)H(s)由定义式二、零极点与时域特性二、零极点与时域特性 零极点分布图零极点分布图01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm)()()()(2121nmmssssssrsrsrsb极点零点j0u(t)et u(t)et u(t)11H(s)与与h(t) 的关系的关系.31111)位于 轴的单极点11ss111sj011sin(t) e-t u(t)sin(t) et u(t)sin(t) u(t)11)1)(1(1jsjs )(1jsjs )1)(1(1jsjs 三、零极点与系统频响特性三、零极点与系统频响特性 频响特性是指系统在正弦信号激励之下频

24、响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。稳态响应随信号频率的变化情况。jssHjH)()()()()(jHjH系统稳定时，令H(s)中 s =j ，则得系统频响特性频响特性幅频特性相频特性系统频响特性系统频响特性niimjjpszsKsH11)()()(对于零极增益表示的系统函数当系统稳定时，令s=j，则得niimjjpjzjKjH11)()()(复数复数a和和b及及a- -b的向量表示的向量表示j0aba-bj0ab|a-b|系统函数的向量表示系统函数的向量表示j0ipjzjijiDjNjjjjeNz)j (ijiieDp)j ( 11)(ssH11)()(jsHjHj

25、s-1jajj1) 1 (0D1Db050.81)(jH1510-90o0)(j例已知，求系统的频响特性。11)(00DjH00)(00j211)(11DjH4510)(111tgj01)(DjH900)(0j解四、四、H(s)与系统的稳定性与系统的稳定性因果系统因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO)的充要条件是系统函数H(s)的全部极点极点位于的 左半左半s平面平面。连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是Shd)(例判断下述系统是否稳定。)2)(1(3)(1ssssH2220)(sssH（1）极点为s= -1和s= 2，都在s左半平面。)2)(1(3)()(

26、)(11sssssHsFsY22/1122/1sss)()(111sYLty)()21221(2tueett显然输出也有界，所以系统稳定。若激励为有界输入u(t)，则其输出为解:（2）极点为j0，是虚轴上的一对共轭极点。22020202202022)()()()()()(ssssssHsFsY)()(212sYLty)()sin(210tutt显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。若激励为有界输入sin(0 t )u(t)，则其输出为连续时间系统的模拟连续时间系统的模拟 系统的基本联接系统的基本联接 系统的级联 系统的并联 反馈环路 连续系统的模拟框图连续系统的模拟框图 直接型结构 级联型结构 并联型结构1)1)系统的级联系统的级联)()()(2sXsHsY)()()(12sFsHsH系统的基本联接系统的基本联接2)系统的并联)()()()()(21sXsHsXsHsY)()()(21sFsHsH3)反馈环路)()()(sKsEsY)()()()(sYssFsE)()()(1)()(sFsKssKsY)()(1)()(sKssKsH连续系统的模拟框图连续系统的模拟框图01110111)