数学分析复旦第三版答案

1、数学分析复旦第三版答案【篇一：复旦数学分析答案第四章1、2节】题4.1微分和导数1.半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？(铜的密度为8.9g/cm3。)解球体积v?43?r3,每只球镀铜所需要铜的质量为2m?v?4?r?r?1.12g。?02.用定义证明，函数y点之外都是可微的。证当x?0时，？y?微当x?0时，?y?3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是？x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。习题4.2导数的意义和性质1 .设f?(x0)存在，求下列各式的值：lim?x?0

2、f(x0?x)?f(x0)?xlimx?x0f(x)?f(x0)x?x0f(x0?(?x)?f(x0)(?x)?f(x0)。limh?0f(x0?h)?f(x0?h)h解limf(x0?x)?f(x0)?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0?lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0)?f(x0)x?x0x?x0?0?f(x0)olimf(x0?h)?f(x0?h)hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)o2 .用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；求该抛物线上过点(？1,?2)处的切线方程；求该抛物线上过

3、点(?2,1)处的法线方程；问该抛物线上是否有(a,b),过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解因为?y?x?2(x?x)?3(x?x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。22?4x?3?2?x,所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)?1,切线方程为y?1?x?(?1)?(?2)?x?3。f(?2)?5,法线方程为y?1?5x?(?2)?1?x?75O(4)抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由(1)可知不存在x,使得f(x)?,所以这样的点(a,b)不存在。3.设f(x)为(?,?)上的可导函数，且在x?0的某个邻域上成立f(1?sinx)

4、?3f(1?sinx)?8x?(x),其中？(x)是当x?0时比x高阶的无穷小。求曲线y?处的切线方程。解记f(x)?由limlimf(x)xx?0f(x)在(1,f(1)可得limf(x)?2f(1)?0,即f(1)?0f(1?sinx)?3f(1?sinx),x?0o?lim8x?(x)xx?0?8与f(x)xx?0?f(1?sinx)?f(1)sinx?f(1?sinx)?f(1)sinx?lim?3lim?4f(1)?x?0x?0sinxx?sinxx?得到f(1)?2o于是曲线y?f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y?2(x?1)4.证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆

5、反射后，反射光必定经过它的另一个焦点。(见图4.2.5)证设椭圆方程为xa22?yb22?1,a?b?0,焦点坐标为a?b22(?c,0),c?。假设(x0,y0)为椭圆上任意一点，当y0斜率为tan?bx0ay022?0时结论显然成立。现设y0?0,则过此点的切线y0x0?c22,(x0,y0)与焦点(?c,0)连线的斜率为tan?1?,和此连线与切线夹角的正切为kx0a22?tan?1?tan?1?tan?1tan?。利用c2?a?b?y0b22?1代人计算，得到y0k?x0?c1?y0?bx0ay0?bx02222?ay0?bx0?cx0b22222222(a?b)x0y0?acy0?a

6、b?cx0b22222cx0y0?acy0?b2cy0ox0?cay0(x0,y0)与另一焦点(c,0)连线的斜率为tan?2?y0x0?c,此连线与切线夹角的正切为tan?tan?21?tan?tan?2?bx0ay0y022?y0x0?cbx02?cx0b?ay0?bx0222222221?2x0?cay0(a?b)x0y0?acy0?cx0b?ab22222cx0y0?acy0?b2cy0?k由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。明：双曲线xy?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三2角形的面积恒为2a。证假设(x0,y0)为双曲线上任意一点，则x率为yx?y0?a2,

7、过这一点的切线斜a22x0?y0x0,切线方程为y?y0?y0x0(x?x0),易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y0)和(2x0,0)。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为s?12(2y0)(2x0)?2x0y0?2a2O6.求函数在不可导点处的左导数和右导数。(1)yy?|sinx|；y?cosx?e?|x|；?f(x)?|sinx|y?|ln(x?1)|.解(1)对y,当x?0时，f?(0)?lim|sin?x|?|sin0|?x|sin?x|?|sin0|?x?x?0?limsin?x?x?x?sin?x?x?0?1,?1,f?(0)?lim?x?0?lim?x?0?所以x?0是不可

8、导点。又由于函数y是周期为？的函数，所有不可导点为x?k?(2)y为x?2k?(k?z),且f?(k?)?1,?f(x)?f?(k?)?1o?x2?，由(1)可知不可导点2(k?z),且经计算得到f?(2k?)?|x|,f?(2k?)?2oy?f(x)?e不可导点只有x?0,且e?xf(0)?lim?1?x?0?x?1,f(0)?lim?e?x?1?x?0?x?1o(4)y?f(x)?ln(x?1)f?(0)?limf?(0)?lim不可导点只有x?0,且?1,?x?ln(?x?1)?lim?1o?x?0?x?lim?x?0?|ln(?x?1)|?ln1?x|ln(?x?1)|?ln1?xln

9、(?x?1)?x?0?x?0?7.讨论下列函数在x?|x|1?asiny?0,1x?0处的可导性：,(a?0)x?0,x?0;?x2,y?ax?b,a?ex2,y?0,x?0,x?0;x?0,x?0.?xex,y?2?ax,x?0,x?0;1?a解(1)?limx?0?y?x|?x|?lim?x?0sin1?lim?|?x|asgn(?x)sin1?0?x?0x?x,所以函数在x?0可导。(2)如果函数在x?0可导，则必须在x?0连续，由f(0?)?可得b?0o当b?0时，ff(0)?b(0)?lim?x?0?x2?x?0?0,f?(0)?lima?x?0?x?x?0?a【篇二：复旦数学真题有

10、答案】?a?bc,y?b?ac,z?c?ab,65、已知是不完全相等的任意实数。若则x,y,z的值。a、都大于0;b、至少有一个大于0;c、至少有一个小于0;d、都不小于02x66、已知关于x的方？6x?(a?2)|x?3|?9?2a?0有两个不同的实数根，则系数a的取值范围是。a、a?0或a?2；(x?12b、a?0;1n)1c、a?2或a?0;d、a?22x4的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式的67、在二项式有理项的项数为oa、2;b、3;c、4;d、568、设1和2为平面上两个长度为1的不共线向量，且它们和的模长满足|a1?|a2|?。贝U(2a1?5a2)?(3a1?a2)

11、?。1a、2；?12；b、11c、2;11d、2?69、在复平面上，满足方程zz?z?z?3的复数z所对应的点构成的图形是oa、圆；b、两个点；c、线段；d、直线70、在如图所示的棱长均为1的正四面体abcd中，点m和n分别是边ab和cd的中点。则线段mn的长度为。1a、2；1c、；b、2;d、22y71、过抛物线?2px(p?0)的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，o为抛物线的顶点。则三角形abo是一个。a、等边三角形；b、直角三角形；c、不等边锐角三角形；d、钝角三角形72、设f(x)的定义域是全体实数，且f(x)的图形关于直线x?a和x?b对称，其中a?bo则f(x)是。a、一个以b?a

12、为周期的周期函数；c、一个非周期函数；b、一个以2b?2a为周期的周期函数d、以上均不对。100(1?x)73、二项式的展开式中系数之比为33:68的相邻两项是a、第29、30项；b、第33、34项；c、第55、56项；d、81、82项74、方|x?3|(x2?8x?15)/(x?2)=1有解。c、三个；d、四个。a、一个；b、两个；3f(x)?ax?bx?cx?d的图像关于原点对称的充分必要条a?075、已知,函数件是。a、b?0;b、b?0,c?0;c、c?d?0;d、b?d?076、设？an?是正数数列，其前n项和为sn,满足：对所有的正整数n,an与2的sn?an2等差中项等于sn与2

13、的等比中项，则n?4n=。lim1c、2；1d、4a、0；b、1；77、四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。他们必须解决一个代数学问题、一个a、5;b、6;c、7;d、82x78、方程3x?e?0的实根。a、不存在；b、有一个；c、有两个；d、有三个。2222279、当不等式tan(cos4?x)?4a4?x)?2?2a?0关于x有有限个解时，a的取值是。a、全体实数；法确定。b、一个唯一的实数；c、两个不同的实数；d、无?xx?y?yx?y?80、方程组？yx?1有解。a、一个；b、两个；c、三个；d、四个。?(a?1)x?8y?4a?81、设a是一个实数，则方程组？ax?(a?3)y?3a?1

14、解的情况为。a、无论a取何值，方程组均有解；b、无论a取何值，方程组均无解；c、若方程组有解，则仅有一组解；d、方程组有可能无解。82、在如图所示的三棱柱中，点a,bb1的中点以及b1c1的中点所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，问小部分的体积和大部分的体积比为。1a、3;4b、7;11c、17;13d、23852f(x)?x?x?x?x?1o贝Uf(x)有性质：。83、设a、对任意实数x,f(x)总是大于0；c、当x0时，f(x)?0；b、对任意实数x,f(x)总是小于0；d、以上均不对。x2y2?112384、椭圆的焦点为f1和f2,点p在椭圆上，若pf1的中点在y轴上，则|pf

15、1|是|pf2|的。a、3倍；b、5倍；c、7倍；d、9倍。85、5个不同元素ai(i=1,2,3,4,5)排成一列，规定al不许排第一,a2不许排第二，不同的排法共有oa、64种；b、72种；c、78种；d、84种。2k?186、设某个多边形？的顶点在复平面中均为形式为1?z?z?z的占苴八、)/、中|z|?1。则点z=0有性质：。a、一定是多边形？上的点；b、一定不是多边形？上的点；d、恰恰为多边形？的边界点。c、不一定是多边形？上的点；87、一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0.1o将这批衬衣逐件检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为。a、0.271;b、0.2

16、43;c、0.1;d、0.081x1x2x3x2xx3是方程x3?x?2?0的三个根，x2,88、设x1,则行列式3a、4；b、1;c、0;d、2x3x1x1x2=Oax?a?x(ax?1)xf(x)?g(x)?a?0,a?12ax?1为。89、设，则函数和a、f(x)和g(x)均为奇函数；b、f(x)和g(x)均为偶函数；d、f(x)是奇函数但g(x)是偶函数c、f(x)是偶函数但g(x)是奇函数；?1?290、设a=?99a、2a;1?2?是一个二阶方阵，则100个a的乘积a100=b、2100a；99c、3a;100d、3a91、三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个。a、20;b、26;c、30;d、3692、如图所示；正方形abcd的面积设为1,e和f分别是ab和bc的中点，则图中阴影部分的面积是。1a、2;2c、3;3b、4;2d、593、设a?a1,a2,a3）是由三个不同元素所组成的集合，且t是a的子集族满足性质：空集