2021年高三数学第一轮复习教案(新人教A)导数的综合应用

1、13.3导数的综合应用巩固夯实基础 一、自主梳理 1.利用导数研究函数的单调性，从而可解决比较大小、极值问题、单峰函数的最值问题2 .利用导数的几何意义研究曲线的切线问题.3 .利用导数解决物体白运动速度问题.二、点击双基1 .某物体作s=2(1-t)2的直线运动，则t=0.8 s时的瞬时速度为()A.4B.-4C.-4.8D.-0.8解析:s =-4(1-t),，当 t=0.8 s 时，v=-0.8. 答案:D2 .函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则()A.b0B.b -C.0b -D.b122解析:f (x)=3x2-6b,令 f (x)=0 ,得 x= 2 b.-

2、3-2 f(x)在(0,1)内有极小值，0 J2 b1.，0b1 时,axlna+-logae0.x 1. f(x)为增函数.当 0a1 时,axlna+ - log ae-2,n N*,比较(i+x)n与1+nx的大小.剖析:从条件最易想到归纳 猜想 证明，但证明由n=k到n=k+1时，(1+x) k+1=(1+x)k (1+x)过渡到(1+x)k时不等方向不确定，故需按 1+x的符号讨论证明.但本题若用导数解就比较 简单了 .解:设 f(x)=(1+x) n-1-nx,当 n=1 时，f(x)=0, (1+x) n=1+nx. 当 n2, nC N*时，f (x)=n(1+x) n-1-n

3、=n (1+x)n-1-1,令 f (x)=0,得 x=0.当-2x0 时，f (x)0 时，f(x)0. f(x)在0,+8上为增函数.当 x-2 时，f(x) f(0)=0.(1+x)nR 1+nx.综上，得(1+x)n 1+nx.讲评:构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法链接拓展本题可用归纳一一猜想一一证明法解.当 n=1 时，(1+x)1=1+x.当 n=2 时，(1+x) 2=1+2x+x 2 1+2x.当 n=3 时，(1+x) 3=1+3x+3x 2+x3=1+3x+x 2(3+x) 1+3x.猜想:(1+x) n 1+nx.证明：当x-1时，当 n=1 时,(

4、1+x)n n 1+nx 成立.(2)假设 n=k 时,(1+x)kn 1+kx 成立,那么(1+x) k+1=(1+x)k (1+x) (1+x) (1+kx)=1+(k+1)x+kx 2 1+(k+1)x. .当 n=k+1 时，(1+x) n 1+nx 成立.由(2)可知,当 x时，对 nCN*, (1+x)n 1+nx.当-2x2 时，|1+x|1. |1+x|nl .而 1+nx1-n 1+nx.综上，得(1+x)n1+nx正确.【例2】(2005福建高考，理)已知函数f(x)= ax 6的图象在点 M(-1,f(-1)处的切线方程为 x2 bx+2y+5=0.(1)求函数y=f(x

5、)的解析式；(2)求函数y=f(x)的单调区间.剖析：(1)f (1)即为x+2y+5=0的斜率，从而得出一个关于 a、b的关系式.点M(-1,f(-1)在切线上， 又得出一个关于a、b的等量关系式.从而可求出a、b.(2)利用导数可求y=f(x)的单调区间.解:(1)由函数f(x)的图象在点M(-1,f(-1)处的切线方程为 x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即 f(-1)=-2,f (-1)=-.22-.f (x)=a(x b) 2x(ax 6)(x2 b)22,a(1 b) 2( a 6)(1 b)2a 2b 4,即 a(1b)2(a6)12二(1b)22解得 a=2,b=

6、3( . b+1 丰 0,b=-1 舍去).2x 6所求的函数解析式是f(x)= 2x6x232(2)f (x)=2x2 12x 6(x2 3)2令-2x2+12x+6=0,解得 x1=3-2 V3 ,x2=3+2 V3 .当 x3-2 3+2 3 时,f (x)0;当 3-2 33 x0.所以f(x)= 2x 6在(-8,3-2 J3)内是减函数，在(3-2 J3,3+2 J3)内是增函数，在(3+2吞,+ x 38)内是减函数.讲评:本题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.【例3】用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器

7、的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为14.8 4x 4(x 0.5)=3.2-2x(m).设容积为y m3,贝U y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0x1.6),整理，得 y=-2x 3+2.2x2+1.6x.所以 y =-6x2+4.4x+1.6.令 y =0,即-6x2+4.4x+1.6=0,所以 15x2-11x-4=0.解得x=1或x=(不合题意，舍去).15从而在定义域(0,1.6)内只有x=1处使得v =0.由题意，若x过小(接近0)或过大(接近1.6)时,y值很小

8、(接近0).因此，当x=1时,y有最大值且 ymax=-2+2.2+1.6=1.8,此时，高为 3.2-2 X 1=1.2.答:容器的高为1.2 m时，容积最大，最大容积改为1.8 m3.讲评:在实际问题中，有时会遇到函数在区间内仅有一个点使f (x)=0，如果函数在这点有极大(小)值，那么这点是使函数取最大 (小)值的点.这所说的区间不仅适用于闭区间，也适用于开区间或无穷区间.1 C【例4】(2005湖南局考，理)已知函数f(x)=lnx,g(x)= -ax2+bx,aw0.2若b=2,且函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；别交Ci、C2于点M、(1)解:b=2

9、 时,h(x)=lnx-(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分N.证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.ax2-2x,2则 h，(x)=工-ax-2=-x2-.ax 2x 1因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h (x)0,则ax2+2x-10有x0的解.当a0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-10总有x0的解； 当a0有x0的解, 则A =4+4a0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此时,-1a0.综上所述,a的取值范围为(-1,0) U (0,+ 8).(2)证明：设点 P、Q 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),0x1i.i t1) ,t1, t人2(t令 r(t)=lnt i2则=1-3=J.t (t i)2 t(ti)2因为ti时r (t)0