16-5驻波解析

1、16.6 16.6 驻波驻波16.16.5 5 驻波驻波 16.5.1 驻波的形成驻波的形成 16.5.2 驻波的特征驻波的特征 16.5.3 半波损失半波损失 16.5.4 弦线上的驻波与简正模式弦线上的驻波与简正模式 16.6 16.6 驻波驻波 当海浪从悬崖或码头反射的时候，能看到它与当海浪从悬崖或码头反射的时候，能看到它与入射波叠加后形成一个固定的浪头，这就是驻波入射波叠加后形成一个固定的浪头，这就是驻波16.6 16.6 驻波驻波16.5.1 驻波的形成驻波的形成 沿沿x 轴正、反两方向传播轴正、反两方向传播的两列简谐波，如果它的两列简谐波，如果它们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定

2、，就会叠加们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，就会叠加形成形成驻波驻波 F 驻波的形成驻波的形成BAF弦线一端弦线一端A系在一固定的音叉上，另一端系在一固定的音叉上，另一端B跨过定滑跨过定滑轮吊一重物，使弦线中有一定张力，轮吊一重物，使弦线中有一定张力，B是支点，使弦是支点，使弦线在线在B处不能振动。处不能振动。16.6 16.6 驻波驻波F当音叉振动时，产生一列沿弦线向右传播的波，当当音叉振动时，产生一列沿弦线向右传播的波，当此波传到此波传到B点时反射形成向左传播的反射波点时反射形成向左传播的反射波16.6 16.6 驻波驻波 )2 cos(1xtAy21yyy cos2cos2txA )

3、2 cos(2xtAy)2 cos()2 cos(xtAxtAF 驻波方程驻波方程16.6 16.6 驻波驻波O cos2cos2txAy演示程序：驻波演示程序：驻波16.6 16.6 驻波驻波16.5.2 驻波的特征驻波的特征 一、驻波的振幅一、驻波的振幅 12cosx,.3, 2, 1, 0,2kkx波腹波腹 02cosx,.3, 2, 1, 0,4) 12(kkx波节波节 2 kx cos2cos2txAy2) 12(2kx16.6 16.6 驻波驻波演示程序：驻波的波腹和波节演示程序：驻波的波腹和波节n在波腹位置，质点的振幅最大在波腹位置，质点的振幅最大n在波节位置，质点始终静止（振幅

4、为零）在波节位置，质点始终静止（振幅为零） 相邻相邻波腹（节）波腹（节）间距间距 24相邻波相邻波腹腹和波和波节节间距间距,.3, 2, 1, 0,2kkx,.3, 2, 1, 0,4) 12(kkx16.6 16.6 驻波驻波二、驻波的相位二、驻波的相位 txAy cos2cos2在波节在波节x = /4两侧两侧 左侧：左侧： /4 x /4 02cos2xA右侧：右侧： /4 x 3 /4 02cos2xA演示程序演示程序 ：驻波的相位：驻波的相位 在波节两侧，在波节两侧，质点的振动相位相反，振动质点的振动相位相反，振动的速度方向相反；的速度方向相反； 在相临两波节之间，在相临两波节之间，

5、质点的振动相位相同，质点的振动相位相同，振动的速度方向相同。振动的速度方向相同。在在波节波节处产生处产生 的的相位跃变相位跃变16.6 16.6 驻波驻波选择题选择题. . 某时刻驻波波形曲线如图所示，则某时刻驻波波形曲线如图所示，则a，b两两点处振动的相位差是点处振动的相位差是A. B. / 2 C. 0 D. 无法确定无法确定yxoab16.6 16.6 驻波驻波三、驻波的能量三、驻波的能量 体积元体积元dV 的振动动能和弹性势能的振动动能和弹性势能 2k)d(21dvmE )(d21d2pxyVEEtxAy cos2cos2txAVE sin)2(cosd2d2222k2p)(d21dx

6、yVEE2)(d(21tyV )(d2122xyVutxAV cos2sind2222216.6 16.6 驻波驻波txAVE sin)2(cosd2d2222ktxAVE cos2sind2d2222p(1) cos t = 1 各质点的位移达到最大各质点的位移达到最大,dEk为零，为零，势能势能dEp不为零。波节处势能最大；在波腹处势不为零。波节处势能最大；在波腹处势能最小。能最小。势能集中在波节附近势能集中在波节附近。(2) cos t = 0 各质点都回到平衡位置，此时所有各质点都回到平衡位置，此时所有质点的势能质点的势能dEp都为零；而都为零；而动能动能dEk达到最大，而达到最大，而

7、且且动能集中在波腹附近动能集中在波腹附近。波腹处势能始终为波腹处势能始终为0 0波节处动能始终为波节处动能始终为0 016.6 16.6 驻波驻波q 驻波中能量没有向前传播驻波中能量没有向前传播q 驻波是媒质的一种特殊运动状态，它是稳定态驻波是媒质的一种特殊运动状态，它是稳定态 演示程序：驻波的能量演示程序：驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节。主要集中在波腹，势能主要集中在波节。. .Xy当波节点间质点振幅最大时：当波节

8、点间质点振幅最大时：AB势能曲线势能曲线16.6 16.6 驻波驻波16.5.3 半波损失半波损失 媒质的媒质的特性阻抗特性阻抗 Z = u 波密媒质：波密媒质： Z 值较大值较大波疏媒质：波疏媒质： Z 值较小值较小 16.6 16.6 驻波驻波1u2u122211uu2n 即在反射点反射波的即在反射点反射波的相位有相位有 突变突变半波损失半波损失16.6 16.6 驻波驻波2u1u12n 即在反射点即在反射点入射波和反射波同相入射波和反射波同相2211uu16.6 16.6 驻波驻波n反射波和入射波叠加形成驻波反射波和入射波叠加形成驻波 n反射点的振动是入射波和反射波在该点引反射点的振动是

9、入射波和反射波在该点引起振动的叠加起振动的叠加演示程序：驻波演示程序：驻波16.6 16.6 驻波驻波B概念检测概念检测 图中画出一向右传播的简谐波在t 时刻的波形图，BC为波密介质的反射面，波由P 点反射，则反射波在t 时刻的波形图为16.6 16.6 驻波驻波l当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反射时，有半波损失，观察射时，有半波损失，观察反射波波形反射波波形16.6 16.6 驻波驻波例题例题 有一平面简谐波有一平面简谐波向右传播，在距坐标原点向右传播，在距坐标原点O 为为l=5 的的B 点被垂直界点被垂直界面反射，设反射有半波损失，反射波的振

10、幅近似等面反射，设反射有半波损失，反射波的振幅近似等于入射波振幅。试求：于入射波振幅。试求：(1) 反射波的表达式；反射波的表达式；(2) 驻波驻波的表达式；的表达式；(3) 在原点在原点O 到反射点到反射点B 之间各个波节和之间各个波节和波腹的坐标。波腹的坐标。 )(2cosxTtAy入 OxlBXP入射波入射波反射波反射波解解 (1) (1) 入射波在入射波在B点的振动方程为点的振动方程为 )(2coslTtAyB入16.6 16.6 驻波驻波反射波在反射波在B点的振动方程点的振动方程 )(2coslTtAyB反 任取一点任取一点P，其坐标为其坐标为x，P点的振动比点的振动比B点点的振动相

11、位落后的振动相位落后 )(2xl OxlBXP入射波入射波反射波反射波反射波的表达式反射波的表达式 )(2)(2cosxllTtAy反16.6 16.6 驻波驻波反射波的表达式反射波的表达式 l=5 21)(2cosxTtAy反)(2cosxTtAy反(2) (2) 驻波的表达式为驻波的表达式为 反入yyytTxA2sin2sin2)(2cos)(2cosxTtAxTtA)2(2coslxTtAy反16.6 16.6 驻波驻波(3) (3) 驻波波节驻波波节 02sinx2kx 2kx 点点O 到点到点B 之间的波节之间的波节 5 , 29, 4 , 27, ,3 25, 2 , 23, ,2

12、, 0 x波腹的坐标波腹的坐标 12sinx4) 12(kx2) 12(2kx419, 417, 415, 413, 411, 49, 47, 45, 43,4x16.6 16.6 驻波驻波例题例题* * 两人各执长为两人各执长为l 的绳的一端，以相同的角的绳的一端，以相同的角频率和振幅在绳上激起振动，右端的人的振动比频率和振幅在绳上激起振动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前左端的人的振动相位超前 ，试以，试以绳的中心绳的中心为坐标为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，可不考虑反射。原点描写合成驻波。由于绳很长，可不考虑反射。绳上的波速设为绳上的波速设为u 。 解解 设左端的振动为设左端的

13、振动为y1 =Acos t，则右端的振动则右端的振动为为 y2=Acos ( t + ）。）。)(cos11uxtAy设左行波的波动表达式设左行波的波动表达式(以以绳的中心绳的中心为坐标原点为坐标原点) )(cos22uxtAy设右行波的波动表达式设右行波的波动表达式(以以绳的中心绳的中心为坐标原点为坐标原点) 16.6 16.6 驻波驻波绳的中心为坐标原点，在左端绳的中心为坐标原点，在左端 2lx y1 =Acos t )2(cos11ultAyul2 1在右端即在右端即x=l/2处，处，y2=Acos ( t + ） )2(cos22ultAyul2 2tA cos) cos(tA16.6

14、 16.6 驻波驻波)2(cos1uluxtAy)2(cos2uluxtAy21yyy当当 = 0 = 0 时，时， x = 0处为波腹；处为波腹；当当 = = 时，时， x = 0处为波节处为波节 )2(cos)2(cosuluxtAuluxtA)22 cos()2 cos(2ultuxA16.6 16.6 驻波驻波16.6.4 弦线上的驻波与简正模式弦线上的驻波与简正模式 在两端拉紧、绳长为在两端拉紧、绳长为L 的弦上的波经两端的弦上的波经两端反射后在弦上形成驻波，两端点均为反射后在弦上形成驻波，两端点均为波节波节。 ,.3 , 2 , 1 ,2nnlnnln2 这些频率称为弦振动的这些频

15、率称为弦振动的本征频率本征频率，对应的，对应的振动方式称为振动方式称为简正模式简正模式。最低的频率称为最低的频率称为基频基频，其它整倍数频率为，其它整倍数频率为谐频谐频。演示程序：弦线上的驻波演示程序：弦线上的驻波 驻波波长必须满足条件驻波波长必须满足条件 2lunn不连续不连续16.6 16.6 驻波驻波, 2 , 12nnln两端两端固定固定的弦振的弦振动的简正模式动的简正模式一端一端固定固定一端一端自由自由 的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式, 2 , 12)21(nnln21l222l233l41l432l453l16.6 16.6 驻波驻波笛中的驻波笛中的驻波4)12(nnL122

16、nLnLununn4)12(1,2,3.n Lu41Lu432Lu453第一谐频第一谐频Second harmonicsn=1n=2n=3n=4基频：基频：16.6 16.6 驻波驻波小小 结结一、一、驻波的形成驻波的形成 沿沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波，如轴正、反两方向传播的两列简谐波，如果它们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，果它们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，就会叠加形成驻波就会叠加形成驻波 。二、二、驻波的特征驻波的特征 n波腹处质点的振幅最大；波节处质点始终静止。波腹处质点的振幅最大；波节处质点始终静止。n在波节两侧质点的振动相位相反，振动的速度方在波节两侧质点的振动

17、相位相反，振动的速度方向相反；在相临两波节之间质点的振动相位相同，向相反；在相临两波节之间质点的振动相位相同，振动的速度方向相同。振动的速度方向相同。n驻波中能量没有向前传播。驻波中能量没有向前传播。三、弦线上的驻波与简正模式三、弦线上的驻波与简正模式nln216.6 16.6 驻波驻波例：图中画出一向右传播的简谐波例：图中画出一向右传播的简谐波在在t时刻的波形图，时刻的波形图，BC为波密介质为波密介质的反射面，波由的反射面，波由P点反射，则反射点反射，则反射波在波在t时刻的波形图为时刻的波形图为:A-AOP(B)A-AOPA-AOP（A）A-AOP(C)A-AOP(D)BC16.6 16.6

18、 驻波驻波例例7.6 有一平面简谐波有一平面简谐波)(2cosxTtAy入向右传播，在距坐标原点向右传播，在距坐标原点O为为l=5的的B点被垂直界面反射，点被垂直界面反射，设反射处有半波损失，反射波的振幅近似等于入射波振设反射处有半波损失，反射波的振幅近似等于入射波振幅。求：幅。求：OPXBxl入射波入射波反射波反射波（1）反射波波动方程）反射波波动方程 （2）驻波方程）驻波方程 （3）在原点）在原点O到反射点到反射点B之间各个波节和波腹的坐标。之间各个波节和波腹的坐标。解（解（1）入射波在）入射波在B点的振动方程点的振动方程)(2coslTtAyB入16.6 16.6 驻波驻波)(2cosl

19、TtAyB入反射波在反射波在B点的振动方程点的振动方程)(2coslTtAyB反反射波的表达式反射波的表达式)(2)(2cosxllTtAy反)(2cos)2212cos(xTtAxTtAy反16.6 16.6 驻波驻波（2）驻波的表达式为）驻波的表达式为 tTxAxTtAxTtAyyy2sin2sin2)(2cos)2cos（反入（3）波节处）波节处02sinx)10,2, 1 ,0( ,2kkx2kx16.6 16.6 驻波驻波)10,2, 1 ,0( ,2kkx5 ,29,4 ,27,3 ,25,2 ,23,21, 0 x（3）波腹处）波腹处12sinx)9 , 2, 1 , 0( ,2)12(2kkx4