2020届贵州贵阳高三8月月考数学理试题解析版

1、2020届贵州省贵阳市高三8月月考数学(理)试题一、单选题1.已知函数f(元)=lg(l-元)的定义域为M，函数g(x)=-的定义域为N，则xMN二()A.h|x<1B.x|x<1且x丰0C.x|x>1D.x|x<1且x丰0【答案】D【解析】根据对数型和分式型函数定义域的要求求出集合M和集合N,根据交集定义求得结果.【详解】由题意得：M二x|1-x>0=lx|x<1；N二:|x丰0.McNx<1且x丰0本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域的求解，关键是能够明确对数型和分式型函数定义域的要求，属于基础题.2i_2.若复数

2、z=-(i是虚数单位)，则z的共轭复数z=()1 -iA.1+iB.1iC.1+iD.1i【答案】D【解析】根据复数除法运算法则可化简复数得z=-1+i,由共辗复数定义可得结果.【详解】2i2i(1+i)1.z=口=(1-i)(1+i)J+''zii本题正确选项：D【点睛】本题考查共辗复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.3 .二项式(%浪1)6的展开式中的常数项为()xA.-15B.20C.15D.-20【答案】C【解析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令X幕指数为零，可求得r=2，代入展开式通项可求得常数项.【详解】二项式（JX-1丫展开式通项

3、为:IX）T=Cr.r+16r*一一IX)=(-1)rCrX丁6令一-=0得：r=2本题正确选项：C二常数项为：（-1>C2=156【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式.4 .三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值314,这就是著名的“徽率”,如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n值为（）（参考数据：siL5p0.1305n近50）2OOA.6B.12C.24D.48【答案】C【解析】根据程序

4、框图运行程序，直到满足s>3.10时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入n=6则s=3sin60=主3，不满足s>3.10,循环;。2n=12,s=6sin30=3，不满足s>3.10,循环;n=24s=12sin15氏3.1056，满足s>3.10,输出结果：n=24本题正确选项：C【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于基础题.yv25.已知实数，y满足约束条件,，+y>4，则z=3x+y的最小值为（）x-y<1A.11B.9C.8D.3【答案】C【解析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求

5、解y=-3x+z在y轴截距的最小值；通过平移直线y=-3X可知当直线过A时，截距取最小值；求出A点坐标后代入即可得到所求结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当z=3x+y取最小值时，y=-3x+z在y轴截距最小由y=-3X平移可知，当y=-3x+z过图中A点时，在y轴截距最小由1y=2得：A（2,2）z=3x2+2=8Ix+y=4min本题正确选项：C【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为求解直线在y轴截距的最值，属于常考题型.6.“m=4”是“直线x-my+4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的（）3A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充

6、分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当m=3时，可得直线方程，通过点到直线距离公式可求出圆心到直线距离等于半径，可知直线与圆相切，充分条件成立；当直线与圆相切时，利用圆心到直线距离八4等于半径构造方程可求得m=0或§，必要条件不成立，从而得到结果.【详解】由圆的方程知，圆心坐标为（0,0），半径r=2当m=4时，直线为：x4y+10=0，即3x-4y+10=0圆心到直线距离d=10<9+16当m=4时，直线与圆相切，则充分条件成立3|4m24当直线与圆相切时，圆心到直线距离d二2，解得：m=0或不1 +m23则必要条件不成立综上，“m=4”是“直线x-my+4m

7、-2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够掌握直线与圆位置关系的判定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径.7.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：508：30,课间休息10分钟,某同学请假后返校，若他在8：509：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（）D.【答案】B【解析】确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于20分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】由题意可知，第二节课的上课时间为

8、：8:40口9:20，时长40分钟若听第二节课的时间不少于20分钟，则需在8:50口9:00之间到达教室，时长10分钟二听第二节课的时间不少于20分钟的概率为：p101本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.8.在AABC中，sinA56A一A65513，33_3cosB=-，贝UcosC=(J56C65或166516D.65【答案】D【解析】根据B的范围和同角三角函数关系求得sinB，由大边对大角关系可知A为锐角，从而得到cosA；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果.【详解】B式0,兀），sinA<sinB34cosB二一二.siiB=555.A为锐角

9、，又sinA=-,cosA二U13工cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-x3+*x4=-13513565本题正确选项：D【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）1C.3【答案】A【解析】由三视图还原几何体，可确定几何体的底面和高，根据棱锥体积公式可求得结第5页共19页果.【详解】由三视图可得几何体如下图所示的三棱锥:可知AB±BC,AB=2BC=2，三棱锥的高h

10、=21c,11,2/.V=Sh=xABxBCxh=P-ABC3ABC323本题正确选项：A【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图准确还原几何体，属于常考题型10 .等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则loga+loga+loga=()A.12B.10C.8D.2+log35【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：a5aJa4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.aa=aa=aa=aa=9贝Uloga.+loga+loga=log(a.a)5=5log9=10,故选：B.n11 .定义引为n个正数u,u,u，u的“快乐数”.若已知正项数列Z的前n项的U1

11、23nnii=1136“快乐数”为-一-，则数列，；卜的前2019项和为()3n+1(a+2)(a+2)nn+12018201920192019A2019&2020C2018D1010【答案】B【解析】根据“快乐数”定义可得数列的前n项和Sn=3n2+n；利用an与Sn关系可求得数列)的通项公式，从而得到Q+23a+2)=n(n+1)，采用裂项相消法可求得结果.【详解】设Sn为数列an的前n项和由“快乐数”定义可知：3二丁77，即S=3n2+nS3n+1nn/.a=6n22(ngN*)n当n>2且ngN*时，经验证可知a=4满足a=6n221n36_36(a+2)(a+2)6n-

12、(6n+6)nn+1I36数列(a+2)(a+2)的前刈9项和为:nn+111111201912+2M223201920202020本题正确选项：B【点睛】本题考查根据Sn求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前n项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到Sn；从而利用an与Sn的关系求解出数列的通项公式.12.已知点是抛物线C:x2=2py的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，设其中一个切点为A，若点A恰好在以F勺为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A.<221B.2<221C.22+1D."6；【答案】C/11【解析】由抛物

13、线方程得到F,F坐标；设切点Ax，丁x2，利用导数和两点连线12I02p0)斜率公式构造方程可解出，利用抛物线焦半径公式求得IAl，勾股定理求出IAF,I;由双曲线定义可知AFJAFaG2T）p二2a，又焦距|FFJ=2c=p，可求得离心率.【详解】由题意得:由X2=2py得：1c，1y=x2，则y=-x2pp，则切线斜率k_1丫Av-xp01px2十工-2口02，解得:x一00x0-±p由抛物线对称性可知，x0-±p所得结果一致当x0-p时，由抛物线定义可知：.AF|-p2+p2-2ppA在双曲线上又|FF-2c-p/.IAF2I-|AF1|-(72-1)p-2a，双曲线

14、离心率：e-2c-（茯）Jp=J2+1本题正确选项：C【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是能够利用导数和两点连线斜率公式求解出切点坐标，从而得到所需的焦半径的长度.二、填空题13.已知a,b均为单位向量，若a-2b-33，则a与b的夹角为.冗【答案】与-一-3一【解析】由a-2b|-小，根据向量的运算化简得到ab-1，再由向量的夹角公式，乙即可求解.【详解】由题意知，a,b均为单位向量，且a-2b=J3,贝ija一2b2_f(a-2b)2=a2-4ab+4b2m1-4ab+4=3，解得ab=-,2所以cosb=

15、-b=2，因为a,be0,兀，所以a,b二：,一一->>兀44所以则a与b的夹角为一.一一3【点睛】-»-»本题主要考查了向量的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中根据向量的基本运算，求得ab=1，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.214.若f(x)=a-是奇函数，则a=.2x+1【答案】1【解析】根据奇函数在x=0处有意义时f(0)=0可构造方程，解方程求得结果.【详解】f(x)为奇函数且在x=0处有意义，f(0)=a-1=0，解得：a=1本题正确结果：1【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特

16、殊值的方式来进行求解，属于基础题.15.数式1+11中省略号“代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下1H方法求得：令原式x，则x，则12-1-1=0，取正值得t=避上1.用类似方法可得222+：'2+<H=【答案】4【解析】根据类比的方式，设原式=t，构造方程2+<7=t，解出t的值即可.【详解】令原式=7，则2+71=t，解得：t=4.：2+</24=本题正确结果：4【点睛】本题考查类比推理的应用，关键是能够准确理解已知中的式子的形式，属于基础题16 .在四面体ABCD中，若AB=CD=55，AC=BD=<6，AD=BC=3，则四面体ABCD的外接球的表

17、面积为.【答案】1【解析】根据四面体对棱长度相等可知其为长方体切割所得，各棱为长方体各个面的对角线，可知四面体外接球即为长方体外接球；根据长方体外接球半径为体对角线长度一半，求得体对角线长度即可得到外接球半径，代入球的表面积公式即可求得结果【详解】由题意可知，四面体ABCD是由下方图形中的长方体切割得到，A,B,CD为长方体的四个顶点，则四面体ABCD的外接球即为长方体的外接球设长方体长、宽、高分别为a，b，ca2+c2=6则<b2+c2=5a2+b2+c2=10a2+b2=9即长方体体对角线长度为：<10长方体外接球半径为体对角线长度一半，即R=902四面体ABCD外接球表面积：

18、S=4兀R2=10K本题正确结果：1e【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据四面体对棱相等的特征，将其变为长方体的一个部分，从而将问题转化为长方体外接球表面积的求解问题三、解答题17 .AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosB=acosC+ccosA.(2)若b=2，求KABC面积的最大值.【答案(1)-;(2)v3.3一、，一八1【解析(1)利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得cosB=5,根据B£(0,兀)可求得结果；(2)利用余弦定理可得a2+c2-ac=4，利用基本不等式可求得（ac）mx=4，代入三角形面积公

19、式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）A+B+C=-/.sii（A+C）=siB又B£（0,兀）siiB丰01.2cosB=1，即cosB=-2由Be（0,-）得：B=（2）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=4又a2+c2>2ac（当且仅当a=c时取等号）/.4=a2+c2-ac>2ac-ac=ac即(ac)=41二三角形面积S的最大值为：-x4sinB=v3【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不

20、等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.18.2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：年份(t)2012201320142015201620172018贫困发生率y(%)10.28.57.25.74.53.11.4（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码x=t-2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫

21、困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率.八附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：£(x-X)(y-y)£xy-nxyib-i=£(x-x)2ii=1ii11人1人专，a=y-bx（b的值保留到小数点后三位）£x2-nx-2ii=11【答案（1）7；（2）回归直线为：y=T.425x+5.8；2012年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%；2019年的贫困发生率预计为0.1%【解析】（1）分别计算出总体事件个数和符合题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）根据表中数据计算出最

22、小二乘法所需数据，根据最小二乘法求得回归直线；根据回归直线斜率可得贫困发生率与年份的关系；代入x=4求得2019年的预估值.【详解】（1）由数据表可知，贫困发生率低于5%的年份有3个从7个贫困发生率中任选两个共有：c7=21种情况选中的两个贫困发生率低于5%的情况共有：°；=3种情况31二所求概率为：P=乙JL/（2）由题意得：X=-3-2-1+0+1+2+3八=0.10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.4<o15.8.£xy=-3*10.2-2*8.5-7.2+0+4.5+2*3.1+3*1.4=-39.9；iii=1£x2=9+4+1+0

23、+1+4+9=28ii=1八39.9.b=-1.425，a=5.8二线性回归直线为：y=-1.425x+5用28-1.425<0:.2012年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%当x=2019-2015=4时，y=-1.425x4+5.8=0.12019年的贫困发生率预计为0.1%【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预估值的问题，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD,/DAB=60.0(1)证明：AD1PB；(2)若PB=v,6,AB=PA=2，求直

24、线PB与平面PDC所成角的正弦值.【答案(1)证明见解析；(2)90.【解析(1)取AD中点E，连接PE,BE，易知AABD为等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD1BE,AD1PE；由线面垂直判定定理可知AD1平面PBE；根据线面垂直的性质可证得结论；(2)以E为原点建立空间直角坐标系，首先求得平面PDC的法向量，根据直线与平面所成角的向量求法求得结果【详解】(1)证明：取AD中点E，连接PE,BE,BD/AZ4£二,四边形ABCD为菱形AD=AB又ZDAB=60:.ABD为等边三角形，又E为AD中点/.AD1BEQPA=AD,E为AD中点AD1PEBE,PEu平面pb

25、e,BEcPE=E：.AD1平面PBE又PBu平面PBE.AD1PB(2)以E为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系：由题意知：AD=AB=2,AE=1,PE=pPAiAE2=.右,BE=PBB2PE2=<3Q,0,c3），BQ,J3,0）D（1,0,0），C（2,3,0）.PB="3短），dp=1,0,%3），dc=（1,%3,0）n人/3,1,一）1设平面pdc的法向量n-G,y,z)DPn-x+3Zz-0l4，令x-v3，则y-1，z-1DCn-x+6y-0设直线PB与平面PDC所成角为0PBn_2gPB即直线PB与平面PDC所成角的正弦值为：工05【点睛】本题考查立体几

26、何中的线线垂直关系的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到线面垂直判定与性质定理的应用、空间向量法求解立体几何中的线面夹角问题等知识；证明线线垂直关系的常用方法是通过线面垂直关系，根据线面垂直性质证得结论20.己知椭圆C:x2+y2-13>b>0)的离心率为零,F,F分别是椭圈C的左、a2b2212右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线3y2-1渐近线的距离为今.求椭圆C的方程；直线l:y-kx+m(k<0)与椭圆C交于A,B两点，以线段AB为直径的圆经过点f2，且原点。到直线l的距离为,，求直线l的方程.x21【答案】(1)+y2=1；(2)y=-x+L2乙【解析（1）利用焦点F到

27、双曲线渐近线距离为亘可求得c；根据离心率可求得a；13由b2=Q2-C2求得b2后即可得到所求方程；（2）由原点到直线l距离可得m2=4（k2+1）；将直线方程与椭圆方程联立，整理得到韦达定理的形式；根据圆的性质可知AF2.BF2=0,由向量坐标运算可整理得3m2+4km-1=0,从而构造出方程组，结合k<0求得结果.【详解】由题意知，F1（-C0），F2（c，0）双曲线方程知，其渐近线方程为：y=±豆x2:焦点F到双曲线渐近线距离：d=二=£，解得：c=11/33由椭圆离心率e=C=五得：a=<2:b2=a2-c21a2:椭圆c的方程为：3+y2=1m（2）原

28、点O到直线距离为：-jk2+12<54()=，整理得：m2=5kk2+1/x2+y2=12得：U+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0y=kx+m贝|A=16k2m2-4G+2k2)(2m2-2)>0，即：2k2m2+1>04km：x+x=-，xx121+2k212二,以AB为直径的圆过点F2:AF2BF2=0又F(1,0):AF=(1-x，y)，BF=(1-x,-y)221122:.AF.BF=(1-x)(1-x)+22=1-(x+x)+xx+(kx+m)(kx+m)4km(km-1)+m2+11+2k2=(k2+1)XX+(km-1)(X+X)+m2+1=mm-'

29、;2+'3m2+4km一1=01+2k2即：3m2+4km-1=04 (Am2=k2+175 且k<0得:3m2+4km-1=0k=-1.2，满足A=2k2-m2+1>0m=1、11二直线i方程为：y=-X+1【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、点到直线距离公式的应用、垂直关系的向量表示等知识；解决此类问题的常用方法是将直线与圆锥曲线方程联立，整理得到一元二次方程，进而利用韦达定理表示出已知中的等量关系，得到所需的方程.21.已知f(x)=ex,g(x)=x+1(e为自然对数的底数).(1)求证f(X)之g(X)恒成立；设m是正整数，对任意正

30、整数n,(1+1)(1+g)(1+!)<m，求m的最小值.3323n【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】(1)令F(X)=f(X)-g(X)，通过导数可得F(X)单调性，从而得到F(x)=F(0)=0，进而证得结论；根据(1)的结论可得1+<ej,通过放min3n乙1V缩可得1+3I3八乙1)1+<e3+32+3；利用等比数列求和公式可证得I3n1111+-+<-，可知若不等式恒成立，只需m>°1，从而得到结果.3323n2m-e2【详解】(1)令F(X)=f(x)g(x)=ex-X-1，贝UF'(x)=ex-1当X£(-8,0

31、)时，F'(x)<0；当X£(0,+8)时，F'(x)>0F(X)在(-8,0)上单调递减；在(0,+8)上单调递增F(x)=F(0)=eo0-1=0，即F(x)=f(x)-g(x)>0恒成立：f(x)>g(x)恒成立1,(2)由(1)知：1+<e3n3nf1Y.1+k3人1L1,工1+,+,又1+L=3323n1xf1-=1xf1-1+<e3e32e3n=e3323nx1-；)<e2f1Y.1+-k3人“111+<m恒成立m为正整数二m的最小值为：2【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到不等关系的证明、恒成立问

32、题的求解等知识;解决问题的关键是能够对不等号左侧的式子根据所证函数不等关系的结论进行合理的放缩，结合等比数列求和公式求得结果.1百22.已知直线l的参数方程为1X=2+2（22（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正、尸2t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=2cos6.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点尸（；,0）,直线1与曲线C交于A,B两点，求|PA|+pB|的值.【答案】（1）直线l普通方程：2x-2v3y-1=0，曲线C直角坐标方程:（x-1»+y2=1；（2）15.2【解析（1）消去直线l参数方程中的参数即即可得到其普通方程；将曲线C极坐标方程化为P2=2pcos6，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线I参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数t的几何意义可知PAI+IPI=1t1TJ,利用韦达定理求得结果.【详解】(1)由直线l参数方程消去t可得普通方程为：2%-2v;3y-1=0曲线C极坐标方程可化为：P