2020届二轮复习数列求和学案(全国通用)

1、2020届二轮复习 数列求和 学案（全国通用）1 .等差数列的前n项和公式n ai+ ann n 1Sn =2= na1 +2 d.2 .等比数列的前n项和公式Sn =a1 anq 1 na1 1 q1-q1-q3 . 一些常见数列的前 n项和公式n n+ 1 (1)1+2+3+4+ n=-2一.(2)1+ 3+5+7+ 2n - 1= n2.(3)2 + 4+6+8+ 2n= n(n+ 1).(4)12 + 22+n2 =n n+ 1 2n+ 16-数列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和.(2)分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数

2、列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式一n n+ 1 n n+ 1 1=1 ；2n- 1 2n+ 12 2n- 1 2n+ 1 下11= njm-1 一诉.Vn+ Vn+ 1(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和.an=(1)nf(n)类型，可(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如采用两项合并求解.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)ai an+1如果数列an为等比数列，且公比不等于1

3、,则其前n项和Sn=-.(,)1 q1 111当n*时，乃=2。 .( V )求Sn=a + 2a2+3a 1 + 2x+3x2+ nxn =.(xw。且 xw1)+ nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(x )1 1(4)数列 ”+ 2n1的刖n项和为n2 +了.(x )(5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin21 0+sin22o+sin230+-+ sin288 +sin289=44.5.( V )(6)如果数列an是周期为k的周期数列，那么 Skm = mSk(m, k为大于1的正整数).(V ) 题组二教材改编2. 一个球从1

4、00 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10次 着地时，经过的路程是()A. 100+200(1 2 9)B. 100+ 100(1 2 9)C. 200(1 -2 9)D. 100(1 -2 9)答案 A解析 第10次着地时，经过的路程为100+ 2(50+ 25+ 100X 2-9)= 100 + 2X 100X(2 12 1 1-2 9+ 2 2+ + 2 9)= 100+200X；= 100+200(1 2 9).1 2 1解析 设 Sn=1+2x+3x2+ +nxn 1则 xSn=x + 2x2+3x3+ nxn,一得(1 x)Sn= 1 + x + x2

5、+ + xn 1- nxn1 xn -nxn,1 -x1 xnSn=1-x 2n nx1-x题组三易错自纠4. （2017潍坊调研）设an是公差不为0的等差数列，a1=2,且a1, a3, a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于（n2+7nA. 4n2+5nB.3-2n2+3nD. n2 + n答案 A解析设等差数列的公差为d,a3=2 + 2d, a6=2+5d.又二21, a3, a6成等比数列,a2= a1 a6.即(2+2d)2=2(2 + 5d),整理得 2d2d=0.1. dw0, ，d= 2.Sn= na1 + n n 1 d=5 7n. 24 45. （2018日照质检）数列

6、an的通项公式为an=（-1）n 1 （4n-3）,则它的前100项之和S100等于（）A. 200 B. - 200 C. 400 D. 400答案 B解析Si00= (4X 1 3)(4X 23)+ (4X 33)一(4X 100 3) = 4X (1 -2)+(3-4)+ 十 (99 100) =4X(50)= 200.6.数列an的通项公式为an= ncos竽其前n项和为Sn,则S2 017=.答案 1 008解析 因为数列an= ncos 和周期性变化，观察此数列规律如下：ai = 0, a2=- 2, a3= 0,a4= 4.故 S4= ai + a2 + a3+ a4= 2.a5

7、0, a66, a7 0, a88,故 a5 + a6 + a7 + a8 = 2, 周期 T = 4.S2 017= S2 016+ a2 017=246X2 + 2 017 cos 227 兀=1 008.题型一分组转化法求和 n2 + n典例(2018合肥质检)已知数列an的前n项和Sn = n-2, nC N + .(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=2an+ (-1)nan,求数列bn的前 2n 项和.解(1)当 n=1 时，ai = s = i ；当 n2 时，an= Sn Sn 1 =2n2+ nn 1 2+ n 1=n.a1也满足an=n,故数列an的通项公式为an=

8、n.(2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(1)nn记数列bn的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+ + 22n)+( 1+ 23+4+2n).记 A=21+22+ +22n, B= 1 + 23+4+ 2n,2 1 22n则 A= 22n+ 1-2,1-2B = (-1 + 2)+(-3+4)+ -(2n-1)+2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1 + n-2.引申探究 本例(2)中，求数列bn的前n项和Tn.解 由(1)知 bn=2n+(1)nn.当n为偶数时,Tn=(21 + 22+ -+2n)+-1 + 2-3+4-一(n1) +

9、n2-2n + 11-2 =2n+1+；n-2；当 n 为奇数时，Tn=(21 + 22+ + 2n)+ -1+2-3+4-(n-2)+ (n-1)-n n 1= 2n+1-2+-2- nn+_n_522 2.2n+1 + n-2, n为偶数, T n =. n 52n+1 万一5, n为奇数.思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若an= bng,且bn, Cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前n项和.bn, n为奇数，(2)通项公式为 an=的数列，其中数列bn, Cn是等比数列或等差数列，Cn, n为偶数可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新

10、数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.跟踪训练 等差数列an的前n项和为Sn,数列bn是等比数列，满足 ai=3, bi=1, b2+S2= 10, a52b2=a3.(1)求数列an和bn的通项公式；M n为奇数，(2)令Cn= Sn设数列Cn的前n项和为Tn,求T2n.bn, n为偶数，解(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,b2+S2= 10,q+6 + d=10,d=2由得解得a52b2=a3,3+4d2q= 3 + 2d,q=2 -an=3+2(n-1)=2n+1, bn=2n 1n a + an(2)由 a1 = 3, an = 2n+ 1

11、 得 Sn=2= n(n+ 2),2，一一n1, n为偶数,T2n= (C1+ C3+ + C2n 1) + (C2 + C4+ C2n)一，n为奇数,n n + 2Cn2n1, n为偶数,即Cn =1n n+2n为奇数,11 113+ 3.5+ +2n1 2n+1(2 + 23+ + 22n1)12 1 一 4 2n+1+ 1-42n2n+ 1+ |(4n-1).题型二错位相减法求和典例(2017天津)已知an为等差数列，前n项和为0(nCN+), bn是首项为2的等比数歹U,且公比大于 0, b2+b3=12, b3=a4-2a1, Sn= 11b4.求an和bn的通项公式；(2)求数列a

12、2nb2n 1的前n项和(nC N + ).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2) = 12,而 b = 2,所以 q2 + q-6=0.又因为q0 ,解得q = 2,所以bn= 2n.由 b3= a4 2a1,可得 3da1=8,由 S11 = 11b4,可得 a +5d=16,联立，解得a1= 1, d = 3,由此可得an=3n 2.所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列 bn的通项公式为bn= 2n.(2)设数列a2nb2n 1的前 n项和为 Tn,由 a2n = 6n 2,b2n 1 = 2 x 4n-1,得 a

13、mbm 1 = (3n 1) x 4n故 Tn = 2 X 4 + 5 X 42 + 8 X 43+ +(3n1)X4n,4Tn=2X 42+ 5X 43+ 8X44+ + (3n 4) X 4n+ (3n 1) X 4n+1, (J一，得一3Tn= 2 X 4 + 3 X 42 + 3 X 43+ 3X4n(3n1)X4n+112X 14nd4-(3n-1)X 4n + 11-4=-(3n-2)X4n+1-8,3n-2得 Tn =73X 4n+ 1 + 83.所以数列a2nb2n_1的前n项和为一-x4n+1+8. 33思维升华错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列

14、公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.跟踪训练(2018阜阳调研)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为 q,已知 b1 = a1, b2 = 2, q=d, S10= 100.求数列 an , bn的通项公式；(2)当d1时，记cn=? 求数列Cn的前n项和Tn.10a1+45d= 100,(1)由题意得2a1+9d=20,ad= 2,a1d= 2,a1 = 1解得d = 2a1 = 9

15、,2 d= 9.an= 2n 1故bn=2n 11 an=- 2n+799(2)由 d1 ,知an=2n- 1, bn=2nM 故2n 1Cn=J7，3 5792n- 1 Tn=1+2+ 呼+於+呼+ + 2n1，113579 2n- 12Tn = 2+ 22+ 23+ 24+ 25+ + 2n可得/=2+产好+1 2n 12n2n+ 33-2n-,1 12 n2n+3故 Tn = 6一.2n 1题型三裂项相消法求和多维探究1 一, 命题点1形如叫n77k型典例(2017郑州市第二次质量预测1)已知数列an的刖n项和为a = 2,且满足Sn=2an+1+ n+ 1(nC N + ).(1)求数

16、列an的通项公式;(2)若 bn=log3(an+1),设数列bnbn+23的前n项和为Tn,求证：Tn2, nC N + ),两式相减，并化简，得 an+1=3an2,即 an+1 1 = 3(an 1),又 a1- 1=- 2-1 = - 3W0,所以an1是以一3为首项，3为公比的等比数列, 所以 an 1 = (3) 3n1= 3n.故 an= 3n + 1.(2)证明由 bn= log3(an+ 1) = log33n= n,/曰 得bnbn+2 n n+ 21111111所以Tn = 2 1 3+2 4 +打5+工n+ 1n+ 2=11+1-22n+1 n+ 22n+32 n+ 1

17、 n+ 234.命题点2 an= 1型Mn +4n+ k1典例 已知函数f(x)=x的图像过点(4,2),令an=f n+1+f n，nCN+.记数列an的前n项和为Sn,贝 U S2 017 =答案72-0i8-1解析11二由 f(4) = 2,可得 4a= 2,解得 a= 2,则 f(x)= x2., , an =f n+ 1 + f n1=_ = n+1 - 5, n+ 1 + nS2 017 = a1 + a2+ a3+ a2 017= (V2 1)+ (V3-V2) + (也一V3) + 32 017 2 016) 十(亚 018 20 017) = 20 018- 1.思维升华(1

18、)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如:厂 1/W+k-Vn), Vn + n+k k111，)=k n- n+k，裂项后可以产生连续相互抵消的项.(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.跟踪训练(2018届贵州遵义航天高级中学模拟 )已知等差数列2口满足团+22)+但2+23)+-+(an+ an+1)= 2n(n+ 1).(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn =an an+1,求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d, 当 n= 1 时)a1 + a2= 4,当 n = 2 时，ai + a2+a2 + a3= 12,即 4a2

19、=12, a2=3, ai=1, d = a2ai = 2,，等差数列an的通项公式an= 1+ 2(n - 1)=2n 1,an= 2n 1.,1(2)由(1)得 bn=2n 1 2n+1= 1_2 2n-1 2n+ 1 Sn= b+ b2 + b3+ + bn1 1 _1+1_1+.+_23 3 5 2n-1 2n+1212n+ 1n2n+ 1四审结构定方案1 一典例(12分)已知数列an的前n项和Sn=2n2+kn(其中 底N + ),且S的最大值为8.(1)确定常数k,并求an；9 2an 一、， 一一、，(2)设数列 2 一 的刖n项和为Tn,求证：Tn1 2 , k= 4; Sn=

20、 2n2+ 4n根据Sn求a9an=2- n(2)9 2ann2n-2口-1.2 ,3 , n 1 , nTn=1+2 +22 11 2n 2 2n 1错位相减 法求和,根据数列结构特征 确定求和方法计算可得Tn证明：Tn2时,11 cc即 8 = Sk= 2k2+k2=2k2,故 k2= 16, k= 4.17ai = Si = 2+4=2，3 分c c 9an=SnSn1 = 2 n.当n=1时,上式也成立.一 9综上，an=2n.6 分9 一 2an证明: 2n-n2n-1，2 3.-1=1 + 2+22+n1 n2门_2+2门_1 3 n 1 n2Tn=2+ 2+2+” + Q .7

21、分，得2Tn-Tn = 2+ 1 + +1 + n722 n 2 2n 112n 2n=4 2n 1n+ 22n 111 分T n= 4 n+ 22n- 1 .，Tn2）且 b1 = a2,则 |b1|+|b2|+|b3|+ |bn| =.答案 4n 1解析 由已知得 b1=a2 = -3, q=- 4,bn= （-3）x （-4）n 1,|bn| = 3X4n 1,即|bn|是以3为首项，4为公比的等比数列，3 1 4n |b1|+ |b2|+ + |bn|= 4n 1.1 4项和，ai, a4, ai3成等比数列.求an和Sn；(2)设数列 1的前n项和为Tn,求Tn.Sn解 (1)因为

22、a4=ai+3d=ai + 6, ai3= ai+ 12d= ai+ 24,而al, a4, a13成等比数列,所以 a2 = a1a13 ,即(ai + 6)2=ai(ai+24),解得 a1 = 3,所以 an = 3+(n- i) 2=2n + 1,n 3+ 2n+ 1Sn =n2+ 2n.(2)由(1)知1_1_1_ 1 1_LSn=n2+2n=nn+2 =2 n n+211 i i i i所以 Tn = 2 1-3 + 2-4 + 3-5+亡-士 + 1-七n 1 n+1 n n+2_1 1+1-一2211n+1 n+23 2n+34 2n2+ 6n + 412. (2017天津河西

23、区二模)数列an的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(nCN+).(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：an= 3;1 + 32b2 1 + 33b3 1+ 3nbn 1,求数列bn的通项公式; anbn(3)令cn=(n N+),求数列cn的前n项和Tn.解(1)当 n=1 时，ai = Si = 2；当n2时，an= Sn Sn i = 2n,可知ai = 2满足该式,数列 an的通项公式为 an= 2n(n C N + ).bib2(2) a n =+ +3+1 32 + 1b3bn+-(n1),33+ 13 + 1bib23n+ 1 =+ +3+1 32+1bsbnbn+

24、 133+ 13n+ 1 3n+1+ 1bn+ 1一得一-=an+i-an=2, bn + i = 2(3n+1+ 1), 3n+1+1而 bi=8,故 bn=2(3n+1)(n N + ).anbn -nn(3) .1 cn= = n(3 + 1) = n 3 + n,Tn= C1+ C2+ C3+ + Cn(1 X 3+2X 32+ 3x 33 + - + nX3n)+(1 + 2+ + n).令 Hn= 1X 3+2X 32+3x33+ nx 3, 则 3Hn= 1 X 32 + 2 X 33 + 3 X 34+- + nx 3n+1,一得一2Hn= 3+ 32+ 33+- + 3n-n

25、X3n + 13 1- 31-nx 3n+ , 1-32n- 1 3n+1+ 3Hn= 4，:数列Cn的前n项和2n-1 3n+1+ 3 n n+ 113. （2018届广东珠海一中等六校联考）数列an满足ai=1,且对于任意的 nCN+都有an+i =an+ ai+ n,2 0164032A.2 017BN 01720174034C.2 018D.2 018答案 D解析由题意可得 an+1 an = n+ 1,则 a1= 1, a2a1=2, a3a2 = 3,，an an 1 = n,以上各式相加可得an =n n+ 121一=2an11n n+1答案1 008解析- f(x) =4x41

26、 x4x+2， f(1x)-41 x+2- 2+4x， f(x)+f(1x)=4x4x+ 2 + 2+4x-1.工+2 016十,得4f本+f绑+1 2 017 十 f 2 017 十 十 f 2 017 十 f 2 017 =2 016, +a1 a2a2 01711 111=2X 1-2 + 2-3 + 2 0172 018_4 034=2 018.122 016S=f 2 017 +f 2 017 + f 2 017 2 0162 0151S=f 2 017 +f 2 017 + f 2 017，. Q 2016-S=1 008.ex15. （2017贵州一中、凯里一中联考 ）已知函数f（x） = exe口，an为等比数列，an0且a1 009=1,则 f(ln a)+ f(ln a2)+f(ln a2 017)等于()A. 2 007C. 11B.1 009D 2 017答案 Dex解析 : f(x)=ex+ 1f( x)+f(x) =exe x+ 1+ex+1-1,;数列an是等比数列,aia2 oi7= a2a2 016 = = ai oo8ai 010 = a2 009= 1设 S2017= f(ln a)+ f(ln a2)+ +f(ln a2017),则 S