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天津
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数学试卷
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天津高考理科数学试卷,天津,高考,理科,数学试卷
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2017年天津市高考数学试卷（理科）解析版参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A1，2，6，B2，4，CxR|1x5，则（AB）C（）A2B1，2，4C1，2，4，5DxR|1x5【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合【分析】由并集概念求得AB，再由交集概念得答案【解答】解：A1，2，6，B2，4，AB1，2，4，6，又CxR|1x5，（AB）C1，2，4故选：B【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题2（5分）设变量x，y满足约束条件2x+y0x+2y-20x0y3，则目标函数zx+y的最大值为（）A23B1C32D3【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：变量x，y满足约束条件2x+y0x+2y-20x0y3的可行域如图：目标函数zx+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由y=3x=0可得A（0，3），目标函数zx+y的最大值为：3故选：D【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用3（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A0B1C2D3【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】39：运动思想；4O：定义法；5K：算法和程序框图【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可【解答】解：第一次N24，能被3整除，N=243=83不成立，第二次N8，8不能被3整除，N817，N73不成立，第三次N7，不能被3整除，N716，N=63=23成立，输出N2，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键4（5分）设R，则“|-12|12”是“sin12”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质；5L：简易逻辑【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论【解答】解：|-12|12-12-121206，sin12-76+2k6+2k，kZ，则（0，6）（-76+2k，6+2k），kZ，可得“|-12|12”是“sin12”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题5（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，离心率为2若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）Ax24-y24=1Bx28-y28=1Cx24-y28=1Dx28-y24=1【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的离心率为2，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为yx，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程【解答】解：设双曲线的左焦点F（c，0），离心率e=ca=2，c=2a，则双曲线为等轴双曲线，即ab，双曲线的渐近线方程为ybaxx，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k=4-00+c=4c，则4c=1，c4，则ab22，双曲线的标准方程：x28-y28=1；故选：B【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题6（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）xf（x）若ag（log25.1），bg（20.8），cg（3），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcbaCbacDbca【考点】4M：对数值大小的比较菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）xf（x）偶函数，且在（0，+）单调递增，则ag（log25.1）g（log25.1），则2log25.13，120.82，即可求得bac【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x0，f（x）f（0）0，且f（x）0，g（x）xf（x），则g（x）f（x）+xf（x）0，g（x）在（0，+）单调递增，且g（x）xf（x）偶函数，ag（log25.1）g（log25.1），则2log25.13，120.82，由g（x）在（0，+）单调递增，则g（20.8）g（log25.1）g（3），bac，故选：C【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题7（5分）设函数f（x）2sin（x+），xR，其中0，|若f（58）2，f（118）0，且f（x）的最小正周期大于2，则（）A=23，=12B=23，=-1112C=13，=-1124D=13，=724【考点】H1：三角函数的周期性菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意求得T4，再由周期公式求得，最后由若f（58）2求得值【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2，得T42，又f（58）2，f（118）0，得T4=118-58=34，T3，则2=3，即=23f（x）2sin（x+）2sin（23x+），由f（58）=2sin(2358+)=2，得sin（+512）1+512=2+2k，kZ取k0，得=12=23，=12故选：A【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查yAsin（x+）型函数的性质，是中档题8（5分）已知函数f（x）=x2-x+3，x1x+2x，x1，设aR，若关于x的不等式f（x）|x2+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A-4716，2B-4716，3916C23，2D23，3916【考点】3R：函数恒成立问题；5B：分段函数的应用菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】讨论当x1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得x2+12x3ax2-32x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x1时，同样可得（32x+2x）ax2+2x，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围【解答】解：当x1时，关于x的不等式f（x）|x2+a|在R上恒成立，即为x2+x3x2+ax2x+3，即有x2+12x3ax2-32x+3，由yx2+12x3的对称轴为x=141，可得x=14处取得最大值-4716；由yx2-32x+3的对称轴为x=341，可得x=34处取得最小值3916，则-4716a3916当x1时，关于x的不等式f（x）|x2+a|在R上恒成立，即为（x+2x）x2+ax+2x，即有（32x+2x）ax2+2x，由y（32x+2x）23x22x=-23（当且仅当x=231）取得最大值23；由y=12x+2x212x2x=2（当且仅当x21）取得最小值2则23a2由可得，-4716a2另解：作出f（x）的图象和折线y|x2+a|当x1时，yx2x+3的导数为y2x1，由2x1=-12，可得x=14，切点为（14，4516）代入y=-x2-a，解得a=-4716；当x1时，yx+2x的导数为y1-2x2，由1-2x2=12，可得x2（2舍去），切点为（2，3），代入y=x2+a，解得a2由图象平移可得，-4716a2故选：A【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）已知aR，i为虚数单位，若a-i2+i为实数，则a的值为2【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简a-i2+i，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值【解答】解：aR，i为虚数单位，a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-1-(2+a)i4+1=2a-15-2+a5i由a-i2+i为实数，可得-2+a5=0，解得a2故答案为：2【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题10（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为92【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；5F：空间位置关系与距离【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可【解答】解：设正方体的棱长为a，这个正方体的表面积为18，6a218，则a23，即a=3，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即3a2R，即R=32，则球的体积V=43（32）3=92；故答案为：92【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键11（5分）在极坐标系中，直线4cos（-6）+10与圆2sin的公共点的个数为2【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5B：直线与圆；5S：坐标系和参数方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系【解答】解：直线4cos（-6）+10展开为：4(32cos+12sin)+10，化为：23x+2y+10圆2sin即22sin，化为直角坐标方程：x2+y22y，配方为：x2+（y1）21圆心C（0，1）到直线的距离d=3(23)2+22=341R直线4cos（-6）+10与圆2sin的公共点的个数为2故答案为：2【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）若a，bR，ab0，则a4+4b4+1ab的最小值为4【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4R：转化法；5T：不等式【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么【方法二】将1ab拆成12ab+12ab，利用柯西不等式求出最小值【解答】解：【解法一】a，bR，ab0，a4+4b4+1ab2a44b4+1ab=4a2b2+1ab 4ab+1ab24ab1ab=4，当且仅当a4=4b44ab=1ab，即a2=2b2a2b2=14，即a=142，b=148或a=-142，b=-148时取“”；上式的最小值为4【解法二】a，bR，ab0，a4+4b4+1ab=a3b+4b3a+12ab+12ab44a3b4b3a12ab12ab=4，当且仅当a4=4b44ab=1ab，即a2=2b2a2b2=14，即a=142，b=148或a=-142，b=-148时取“”；上式的最小值为4故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题13（5分）在ABC中，A60，AB3，AC2若BD=2DC，AE=AC-AB（R），且ADAE=-4，则的值为311【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用AB、AC表示出AD，再根据平面向量的数量积ADAE列出方程求出的值【解答】解：如图所示，ABC中，A60，AB3，AC2，BD=2DC，AD=AB+BD=AB+23BC =AB+23（AC-AB）=13AB+23AC，又AE=AC-AB（R），ADAE=（13AB+23AC）（AC-AB）（13-23）ABAC-13AB2+23AC2（13-23）32cos60-1332+23224，1131，解得=311故答案为：311【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题14（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5O：排列组合【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53C4140种取法，将取出的4个数字全排列，有A4424种顺序，则有4024960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+9601080个；故答案为：1080【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论三.解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a5，c6，sinB=35（）求b和sinA的值；（）求sin（2A+4）的值【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】15：综合题；33：函数思想；4A：数学模型法；58：解三角形【分析】（）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案【解答】解：（）在ABC中，ab，故由sinB=35，可得cosB=45由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB=25+36-25645=13，b=13由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=31313b=13，sinA=31313；（）由（）及ac，得cosA=21313，sin2A2sinAcosA=1213，cos2A12sin2A=-513故sin（2A+4）=sin2Acos4+cos2Asin4=121322-51322=7226【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题16（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14（）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】12：应用题；38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计【分析】（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值【解答】解：（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X0）（1-12）（1-13）（1-14）=14，P（X1）=12（1-13）（1-14）+（1-12）13（1-14）+（1-12）（1-13）14=1124，P（X2）（1-12）1314+12（1-13）14+1213（1-14）=14，P（X3）=121314=124；所以，随机变量X的分布列为X0123P14 1124 14 124 随机变量X的数学期望为E（X）014+11124+214+3124=1312；（）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z1）P（Y0，Z1）+P（Y1，Z0）P（Y0）P（Z1）+P（Y1）P（Z0）=141124+112414 =1148；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题17（13分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长【考点】LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角【分析】（）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF平面BDE，NF平面BDE得到平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）由PA底面ABC，BAC90可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值；（）设AHt，则H（0，0，t），求出NH、BE的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为721列式求得线段AH的长【解答】（）证明：取AB中点F，连接MF、NF，M为AD中点，MFBD，BD平面BDE，MF平面BDE，MF平面BDEN为BC中点，NFAC，又D、E分别为AP、PC的中点，DEAC，则NFDEDE平面BDE，NF平面BDE，NF平面BDE又MFNFF平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）解：PA底面ABC，BAC90以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系PAAC4，AB2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则MN=(1，2，-1)，ME=(0，2，1)，设平面MEN的一个法向量为m=(x，y，z)，由mMN=0mME=0，得x+2y-z=02y+z=0，取z2，得m=(4，-1，2)由图可得平面CME的一个法向量为n=(1，0，0)cosm，n=mn|m|n|=4211=42121二面角CEMN的余弦值为42121，则正弦值为10521；（）解：设AHt，则H（0，0，t），NH=(-1，-2，t)，BE=(-2，2，2)直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，|cosNH，BE|NHBE|NH|BE|2t-25+t223|=721解得：t=85或t=12线段AH的长为85或12【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题18（13分）已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN+），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b312，b3a42a1，S1111b4（）求an和bn的通项公式；（）求数列a2nb2n1的前n项和（nN+）【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8M：等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解an和bn的通项公式；（）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由已知b2+b312，得b1（q+q2）12，而b12，所以q+q260又因为q0，解得q2所以，bn2n由b3a42a1，可得3da18由S1111b4，可得a1+5d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2所以，数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n（II）设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n1=124n，有a2nb2n1（3n1）4n，故Tn24+542+843+（3n1）4n，4Tn242+543+844+（3n1）4n+1，上述两式相减，得3Tn24+342+343+34n（3n1）4n+1=12(1-4n)1-4-4-(3n-1)4n+1=-（3n2）4n+18得Tn=3n-234n+1+83所以，数列a2nb2n1的前n项和为3n-234n+1+83【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力19（14分）设椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12已知A是抛物线y22px（p0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为62，求直线AP的方程【考点】K3：椭圆的标准方程；K7：抛物线的标准方程；KI：圆锥曲线的综合；KL：直线与椭圆的综合菁优网版权所有【专题】38：对应思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为xmy+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案【解答】（）解：设F的坐标为（c，0）依题意可得ca=12a=p2a-c=12，解得a1，c=12，p2，于是b2a2c2=34所以，椭圆的方程为x2+4y23=1，抛物线的方程为y24x（）解：直线l的方程为x1，设直线AP的方程为xmy+1（m0），联立方程组x=-1x=my+1，解得点P（1，-2m），故Q（1，2m）联立方程组x=my+1x2+4y23=1，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my0，解得y0，或y=-6m3m2+4B（-3m2+43m2+4，-6m3m2+4）直线BQ的方程为（-6m3m2+4-2m）（x+1）（-3m2+43m2+4+1）（y-2m）0，令y0，解得x=2-3m23m2+2，故D（2-3m23m2+2，0）|AD|1-2-3m23m2+2=6m23m2+2又APD的面积为62，126m23m2+22|m|=62，整理得3m226|m|+20，解得|m|=63，m63直线AP的方程为3x+6y30，或3x-6y30【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题20（14分）设aZ，已知定义在R上的函数f（x）2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x0，2，函数h（x）g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且pq1，x0）（x0，2，满足|pq-x0|1Aq4【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用【分析】（）求出函数的导函数g（x）f（x）8x3+9x26x6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可（）由h（x）g（x）（mx0）f（m），推出h（m）g（m）（mx0）f（m），令函数H1（x）g（x）（xx0）f（x），求出导函数H1（x）利用（）知，推出h（m）h（x0）0（）对于任意的正整数p，q，且pq1，x0)(x0，2，令m=pq，函数h（x）g（x）（mx0）f（m）由（）知，当m1，x0）时，当m（x0，2时，通过h（x）的零点转化推出|pq-x0|=|f(pq)g(x1)|f(pq)|g(2)=|2p4+3p3q-3p2q2-6pq
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