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天津高考理科数学试卷,天津,高考,理科,数学试卷
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考点卡片1交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB符号语言：ABx|xA，且xBAB实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集运算形状：ABBAAAAAABA，ABBABAABAB，两个集合没有相同元素A（UA）U（AB）（UA）（UB）【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同；无限集用数轴、韦恩图【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题2充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“pq”等价的逆否命题是“qp”它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件例如：p：x2；q：x0显然xp，则xq等价于xq，则xp一定成立2、充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”p与q互为充要条件【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【命题方向】 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广3指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a1，0a1的情况再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断2、同增同减的规律：（1）yax 如果a1，则函数单调递增；（2）如果0a1，则函数单调递减3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小反之亦然，因此可得“异减”4函数与方程的综合运用【知识点的知识】 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题宇宙世界，充斥着等式和不等式5利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f（x）；（3）求出f（x）0的根；（4）用f（x）0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1）2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C（，1）D（，+）解：设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）2，g（1）f（1）+24440，则由g（x）g（1）0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)=x3+x2f(x)+m2在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：ln22ln33ln44lnnn1n(n2，nN*)解：（）f(x)=a(1-x)x(x0)（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a0时，f（x）不是单调函数（4分）（）f(2)=-a2=1得a2，f（x）2lnx+2x3g(x)=x3+(m2+2)x2-2x，g（x）3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）2g(t)0g(3)0(8分)由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：g(1)0g(2)0g(3)0，-373m-9（10分）（）令a1此时f（x）lnx+x3，所以f（1）2，由（）知f（x）lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，0lnnnn-1nln22ln33ln44lnnn122334n-1n=1n(n2，nN*)【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f（x）0，在其余的点恒有f（x）0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）即在区间内f（x）0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件6等差数列的前n项和【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示其求和公式为Snna1+12n（n1）d或者Sn=n(a1+an)2【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d1，S515，则S10解：d1，S515，5a1+542d5a1+1015，即a11，则S1010a1+1092d10+4555故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可eg2：等差数列an的前n项和Sn4n225n求数列|an|的前n项的和Tn解：等差数列an的前n项和Sn4n225nanSnSn1（4n225n）4（n1）225（n1）8n29，该等差数列为21，13，5，3，11，前3项为负，其和为S339n3时，TnSn25n4n2，n4，TnSn2S34n225n+78，Tn=25n-4n2，n34n2-25n+78，n4点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用7等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0） 注：q1 时，an为常数列 等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：第n项的通项公式，ana1qn1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和若m+nq+p，且都为正整数，那么有amanapaq例：2，x，y，z，18成等比数列，则y解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则182q4，解得q23，y2q2236故答案为：6 本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*） （2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：a10q1或a100q1an是递增数列；a100q1或a10q1an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列8数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明常用的放缩方法有：2n-12n2n2n+1，2n2n-12n+12n，12n+112n，1n31n(n2-1)=121n(n-1)-1n(n+1)1n-1n+1=1n(n+1)1n21n(n-1)=1n-1-1n（n2），1n21n2-1=12（1n-1-1n+1）（n2），1n2=44n244n2-1=2(12n-1-12n+1)，2（n+1-n）=2n+1-n1n=22n2n+n-1=2（n-n-1）1n+1+1n+2+12n12n+12n+12n=n2n=12n(n+1)n+(n+1)2【解题方法点拨】 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：a2+1|a|；n(n+1)n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；n(n+1)n+(n+1)2；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性（7）常见模型：等差模型；等比模型；错位相减模型；裂项相消模型；二项式定理模型；基本不等式模型【典型例题分析】题型一：等比模型典例1：对于任意的nN*，数列an满足a1-121+1+a2-222+1+an-n2n+1=n+1（）求数列an的通项公式；（）求证：对于n2，2a2+2a3+2an+11-12n解答：（）由a1-121+1+a2-222+1+an-n2n+1=n+1，当n2时，得a1-121+1+a2-222+1+an-1-(n-1)2n-1+1=n，得an-n2n+1=1(n2)an=2n+1+n(n2) 又a1-121+1=2，得a17不适合上式综上得an=7，n=12n+1+n，n2；（）证明：当n2时，2an=22n+1+n22n=12n-12a2+2a3+2an+112+122+12n=12(1-12n)1-12=1-12n当n2时，2a2+2a3+2an+11-12n题型二：裂项相消模型典例2：数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，Sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=1an2，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tnnn+1分析：（1）根据anSnSn1，整理得anan11（n2）进而可判断出数列an是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案（2）由（1）知bn=1n2，因为1n21n(n+1)=1n-1n+1，所以bn1n-1n+1，从而得证解答：（1）由已知：对于nN*，总有2Snan+an2成立2Sn-1=an-1+an-12（n2）得2anan+an2an1an12，an+an1（an+an1）（anan1）an，an1均为正数，anan11（n2）数列an是公差为1的等差数列又n1时，2S1a1+a12，解得a11，ann（nN*）（2）解：由（1）可知bn=1n21n21n(n+1)=1n-1n+1Tn(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=nn+1【解题方法点拨】（1）放缩的方向要一致（2）放与缩要适度（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象所以对放缩法，只需要了解，不宜深入9向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB、BC，字母表示，用小写字母a、b，表示有向向量的长度为模，表示为|AB|、|a|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量【向量的模】AB的大小，也就是AB的长度（或称模），记作|AB|【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的长度为0，方向不确定【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB（与AB共线的单位向量是AB|AB|）【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性10复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则11分层抽样方法【知识点的认识】1定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”2三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本【命题方向】（1）区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是（）A简单随机抽样法 B抽签法 C随机数表法 D分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为500：4005：4，所抽取的比例也是5：4故选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题（2）求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数解答：每个个体被抽到的概率等于1654+42=16，5416=9，4216=7故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35 B.25 C.15 D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为7715=15故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值12互斥事件与对立事件【知识点的认识】1互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件 如果A1，A2，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，An彼此互斥 （2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有： P（A+B）P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥推广：一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即： P（A1+A2+An）P（A1）+P（A2）+P（An）2对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A 注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一（2）对立事件的概率公式： P（A）1P（A）3互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件【命题方向】1考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个红球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件属简单题例2：下列说法正确的是（）A互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案2互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）P（A）+P（B）可求解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）P（A）+P（B）=12+13=56故答案为：56点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用3对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）0.4，则P（B）（）A.0 B.0.4 C.0.6 D.1分析：根据对立事件的概率公式p（A）1P（A），解得即可解答：因为对立事件的概率公式p（A）1P（A）0.6，故选C点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题13古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的则称这种随机试验的概率模型为古典概型*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可2古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=mn=A中所含的基本事件数基本事件总数【解题技巧】1注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么2解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件A的概率3解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型14离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，a+b，其中a、b是常数，则也是随机变量（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母X，Y，表示，也可以用希腊字母，表示（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，pn，则得下表： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列（2）性质：pi0，i1，2，3，n；p1+p2+pn115离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称Ex1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，则有p1p2pn=1n，E（x1+x2+xn）1n，所以的数学期望又称为平均数、均值 期望的一个性质：若a+b，则E（a+b）aE+b 2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么，称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的ED是随机变量的期望标准差：D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作方差的性质：方差的意义：（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛16二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理公式（a+b）n=i=0n niaibni通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开例1：用二项式定理估算1.01101.105（精确到0.001） 解：1.0110（1+0.01）10110+C101190.01+C102180.0121+0.1+0.00451.105故答案为：1.105 这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型例2：把(3i-x)10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 解：由题意T8C107(3i)3(-1)7=12033i3603i 故答案为：3603i 通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式其中各项的系数叫做二项式系数注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题2、二项展开式的通项公式 二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是nr；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n3、二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当kn+12时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值当n为偶数时，则中间一项Cnn2的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项Cnn-12，Cnn+12相等，且同时取得最大值17程序框图【知识点的知识】1程序框图（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置处理框赋值、计算算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”流程线算法进行的前进方向以及先后顺序连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图（3）程序框图的构成一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字18同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2+cos21（2）商数关系：sincos=tan2诱导公式公式一：sin（+2k）sin ，cos（+2k）cos_，其中kZ公式二：sin（+）sin_，cos（+）cos_，tan（+）tan 公式三：sin（）sin_，cos（）cos_公式四：sin（）sin ，cos（）cos_公式五：sin（2-）cos，cos（2-）sin公式六：sin（2+）cos，cos（2+）sin3两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（）：cos （）coscos+sinsin；（2）C（+）：cos（+）coscossinsin；（3）S（+）：sin（+）sincos+cossin；（4）S（）：sin（）sincoscossin；（5）T（+）：tan（+）=tan+tan1-tantan（6）T（）：tan（）=tan-tan1+tantan4二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2：sin 22sin_cos_；（2）C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；（3）T2：tan 2=2tan1-tan2【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀： 对于角“k2”（kZ）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”19二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：sin22sincos；其可拓展为1+sin2（sin+cos）2二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：tan2=2tan1-tan2对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可【例题解析】例：ysin2x+2sinxcosx的周期是 解：ysin2x+2sinxcosx=1-cos2x2+sin2xsin2x-12cos2x+12=52sin（2x+）+12，（tan=-12）其周期T=22=故答案为： 这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式【考点点评】 本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式20正切函数的定义域和值域【知识点的知识】三角函数的定义域和值域的规律方法1求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法（1）形如yasin x+bcos x+c的三角函数化为yAsin（x+）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如yasin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如yasin xcos x+b（sin xcos x）+c的三角函数，可设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求解【正切函数的值域】 正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R【例题解析】例：函数y=|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域为2，0，2 解：当角是第一象限中的角时，y1+12，当角是第二象限的角时，y112，当角是第三象限的角时，y1+10，当角是第四象限的角时，y110，可知函数的值域是2，0，2，故答案为：2，0，221正切函数的单调性和周期性【知识点的知识】三角函数的单调性的规律方法 1求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定2求形如yAsin（x+）或yAcos（x+）（其中，0）的单调区间时，要视“x+”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错【正切函数的周期性】 正切函数ytanx的最小正周期为，即tan（k+x）tanx22三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）（2）利用余弦定理可以求解：解三角形；判断三角形的形状；实现边角之间的转化包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式S=12aha（ha表示边a上的高）；S=12absinC=12acsinB=12bcsinAS=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）（2）面积问题的解法：公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：当角度在090间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0sin1；余弦值随着角度的增大而减小，且0cos1；正切值随着角度的增大而增大，tan0当角度在90180间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0sin1；余弦值随着角度的增大而减小，且1cos0；正切值随着角度的增大而增大，tan023轨迹方程【知识点的认识】1曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线2求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合M|p（M）；（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）0；（4）化简：化方程f（x，y）0为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0f（x，y），y0g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）0中，即得所求一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点转换代入化简（4）待定系数法（5）参数法（6）交轨法24圆的切线方程【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程【实例解析】 例1：已知圆：（x1）2+y22，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 解：圆：（x1）2+y22，的圆心为C（1，0），半径r=2当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x2，圆心到直线x2的距离等于12，直线l与圆不相切，即x2不符合题意；当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y1k（x2），即kxy+12k0直线l与圆：（x1）2+y22相切，圆心到直线l的距离等于半径，即d=|k+1-2k|k2+1=2，解之得k1，因此直线l的方程为y1（x2），化简得x+y30综上所述，可得所求切线方程为x+y30 这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是 例2：从点P（4，5）向圆（x2）2+y24引切线，则圆的切线方程为解：由圆（x2）2+y24，得到圆心坐标为（2，0），半径r2，当过P的切线斜率不存在时，直线x4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标为（4，5），可得切线方程为y5k（x4），即kxy+54k0，圆心到切线的距离dr，即|5-2k|k2+1=2，解得：k=2120，此时切线的方程为y5=2120（x4），即21x20y+160，综上，圆的切线方程为x4或21x20y+160 这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种【考点分析】 本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分25直线与圆的位置关系【知识点的认识】1直线与圆的位置关系2判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C0与圆（xa）2+（yb）2r2（r0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断 圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2相交：dr相切：dr相离：dr（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式判断 由Ax+By+C=0x2+y2+Dx+Ey+F=0消元，得到一元二次方程的判别式相交：0相切：0相离：026椭圆的性质【知识点的认识】1椭圆的范围2椭圆的对称性3椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点顶点坐标（如上图）：A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长4椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0e1离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆当且仅当ab时，c0，椭圆变为圆，方程为x2+y2a25椭圆中的关系：a2b2+c227抛物线的性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：28直线与圆锥曲线的综合【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解【实例解析】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率e=12（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使PAPB的值是常数 解：（1）依题意，设曲线C的方程为x2a2+y2b2=1（ab0），c1，e=ca=12，a2，b=a2-c2=3，所求方程为x24+y23=1（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为yk（x1），由x24+y23=1y=k(x-1)，得（3+4k2）x28k2x+4（k23）0，从而xA+xB=8k23+4k2，xAxB=4(k2-3)3+4k2，设P（t，0），则PAPB=(xA-t)(xB-t)+yAyB=(k2+1)xAxB-(t+k2)(xA+xB)+(k2+t2)=3t2-12+(-5-8t+4t2)k23+4k2 当3t2-123=-5-8t+4t24，解得t=118此时对kR，PAPB=-13564；当ABx轴时，直线AB的方程为x1，xAxB1，yA(yB)=32，对t=118，PAPB=(xA-t)(xB-t)+yAyB=964-94=-13564，即存在x轴上的点P(118，0)，使PAPB的值为常数-13564 这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法【考点分析】 必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做29由三视图求面积、体积【知识点的认识】1三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度2三视图的画图规则：（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等3常见空间几何体表面积、体积公式（1）表面积公式：圆柱：S圆柱=2r(r+l)圆锥：S圆锥=r(r+l)圆台：S圆台=(r2+r2+rl+rl)球：S球=4r2（2）体积公式：柱体：V柱=Sh锥体：V锥=13Sh台体：V台=13(S+SS+S)h球：V球=4r33【解题思路点拨】1解题步骤：（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）（2）选对应公式（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）（4）代公式计算2求面积、体积常用思想方法：（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.82B.8C.8-2 D.8-4分析：几何体是正方体切去两个14圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，几何体的体积V232141228故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键30异面直线及其所成的角【知识点的知识】1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a，b，并使aa，bb我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角异面直线所成的角的范围：（0，2当90时，称两条异面直线互相垂直2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：31直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面互相垂直，记作l，其中l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面，ll垂直于内的任一条直线（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线与平面垂直的性质：定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号表示为：a，bab由定义可知：a，bab32二面角的平面角及求法【知识点的知识】1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角AB有时为了方便，也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作PABQ如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角l或PlQ2、二面角的平面角- 在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的平面角AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；
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