理学线性代数教程学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)线性代数教程线性代数教程第一页，共144页。 .正交矩阵的定义与性质正交矩阵的定义与性质一一 .正交变换正交变换二二第1页/共144页第二页，共144页。 .正交矩阵的定义与性质正交矩阵的定义与性质一一1. 定义定义(dngy) . , 正交矩阵正交矩阵为为则称则称满足满足阶方阵阶方阵若若AEAAAn 2. 性质性质(xngzh) ; 1 )1( A.)1, 1,(2 AAAEAA ;, )2(也是正交矩阵也是正交矩阵则则为正交矩阵为正交矩阵ABBA.)()()(EBBBAABABAB ; )3(1AAA 是正交矩阵是正交矩阵.)(EAA ; )4(也是正交矩阵也是正

2、交矩阵是正交矩阵是正交矩阵AA .)(1EAAAAAA 第2页/共144页第三页，共144页。 .)( )5(量组量组向量组是正交的单位向向量组是正交的单位向行行的列的列是正交矩阵是正交矩阵方阵方阵AAProof. nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 设设),(21n nnnnnnaaaaaaaaaA212221212111 则则 n 21第3页/共144页第四页，共144页。EAA Enn ,2121Ennnnnn 212221212111Ennnnnn ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111 ., 2 , 1, , 0 , 1)

3、,(njijijiji 第4页/共144页第五页，共144页。ex1. 下列下列(xili)矩阵是不是正交矩阵：矩阵是不是正交矩阵：,622232320021216521616121212121 )1( .102211403 )2( Solution.是是不是不是(b shi)第5页/共144页第六页，共144页。., . 2*也是正交矩阵也是正交矩阵则则为正交矩阵为正交矩阵若若AAexProof.,为正交矩阵为正交矩阵A. 1,1 AAA1* AAA又又 11*)( AAAAAA,AA 1 AAAA1 AAAA12 AAA.E 第6页/共144页第七页，共144页。. )1, 1, 1 ,

4、1(, )1 , 1 , 1 , 1( . 321为前两列的正交矩阵为前两列的正交矩阵求以求以 exMethod1. )1 , 0 , 0 , 0(,)0 , 0 , 0 , 1(43 取取 .,4321线性无关线性无关显然显然 正交化正交化, ,)1 , 1 , 1 , 1(11 取取 ),(),(1111222 则则 ,)1, 1, 1 , 1( ),(),(),(),(222231111333 ),0 , 0 ,21,21( ),(),(),(),(),(),(33334222241111444 ).21,21, 0 , 0(4 第7页/共144页第八页，共144页。单位单位(dnwi)

5、化化, ,)21,21,21,21(1 p ,)21,21,21,21(2 p ,)0 , 0 ,22,22(3 p .)22,22, 0 , 0(4 p .2202121220212102221210222121 P第8页/共144页第九页，共144页。Method2.则则正交正交与与设设,),(214321 xxxx 0043214321xxxxxxxx 11111111A 11000011 44432221xxxxxxxx 11000011424321xxxxxx第9页/共144页第十页，共144页。 .)1, 1 , 0 , 0(,)0 , 0 , 1 , 1(43 取取单位单位(dn

6、wi)化化, ,)21,21,21,21(1 p ,)21,21,21,21(2 p ,)0 , 0 ,22,22(3 p .)22,22, 0 , 0(4 p .2202121220212102221210222121 P第10页/共144页第十一页，共144页。 .正交变换正交变换二二定义定义. 若若P为正交矩阵为正交矩阵(j zhn), 则线性变换则线性变换y=Px称为正交变换称为正交变换. 定理定理(dngl). 正交变换不改变向量的长度正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间也不改变两向量间 的内积及夹角的内积及夹角.Proof. ,为正交变换为正交变换设设Pxy yyy , E

7、PP 则则PxPx)( .xxxPxPx The end 第11页/共144页第十二页，共144页。第12页/共144页第十三页，共144页。教学要求：教学要求：1. 理解方阵理解方阵(fn zhn)的特征值和特征向量的概念及性质的特征值和特征向量的概念及性质;2. 会求方阵会求方阵(fn zhn)的特征值和特征向量的特征值和特征向量.第13页/共144页第十四页，共144页。 .义义特征值与特征向量的定特征值与特征向量的定一一 .质质特征值与特征向量的性特征值与特征向量的性二二 .法法特征值与特征向量的求特征值与特征向量的求三三第14页/共144页第十五页，共144页。 .义义特征值与特征向

8、量的定特征值与特征向量的定一一. , , 的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为非零向量非零向量的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果存在数如果存在数阶方阵阶方阵是是设设 AxAxAxxnnA 定义定义. 注意注意(zh (zh y)y)., 0言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x第15页/共144页第十六页，共144页。 .质质特征值与特征向量的性特征值与特征向量的性二二.)0( , . 10000的特征向量的特征向量的对应于的对应于也是也是则则的特征向量的特征向量的对

9、应于特征值的对应于特征值是是如果如果 AkkpAp Proof. ,000pAp )()(00ApkkpA )(00pk )(00kp .00的特征向量的特征向量的对应于的对应于是是 Akp. )0,( , . 20212211021特征向量特征向量的的的对应于的对应于也是也是不同时为不同时为则则的两个特征向量的两个特征向量的对应于特征值的对应于特征值是是与与如果如果 AkkpkpkApp 第16页/共144页第十七页，共144页。Proof. ,101pAp )(2211pkpkA )()(202101pkpk )(22110pkpk ,202pAp )()(2211ApkApk .0221

10、1的特征向量的特征向量的对应于的对应于是是 Apkpk 推广推广(tugung):.)0,( ,012211021的特征向量的特征向量的对应于的对应于也是也是不同时为不同时为则非零线性组合则非零线性组合的特征向量的特征向量的对应于的对应于是是如果如果 AkkpkpkpkApppssss 第17页/共144页第十八页，共144页。., , , 3.212121线性无关线性无关则则向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征个特征值个特征值的各不相同的的各不相同的是方阵是方阵若若mmmppppppmA Proof. 使使设有常数设有常数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx , 0 2

11、211 mmpxpxpxA则则, 0 222111 mmmpxpxpx 即即类推类推(litu)之之, 有有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk第18页/共144页第十九页，共144页。把上述把上述(shngsh)各式合写成矩阵形式，得各式合写成矩阵形式，得 mmmmmmmpxpxpx22111121121111 000于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端的的系系数数矩矩., 0,i ,0,0,0,2211 mmpxpxpx ., 2

12、, 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线性无关线性无关所以向量组所以向量组mppp第19页/共144页第二十页，共144页。注意注意(zh y)(1) 属于属于(shy)不同特征值的特征向量是线性无关不同特征值的特征向量是线性无关的的(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合组合(zh)仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量

13、不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值第20页/共144页第二十一页，共144页。 .法法特征值与特征向量的求特征值与特征向量的求三三, xAx ,)(OxAE ,解解即上述矩阵方程有非零即上述矩阵方程有非零Ox 也就是也就是(jish)含有含有n个未知数个未知数n个方程的方程组有非个方程的方程组有非0解解. . 0 AE 0 212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa 即即由此可求得特征值由此可求得特征值.第21页/共144页第二十二页，共144页。; 的特征多项式的特征多项式叫做叫做AAE ; )(的特征矩阵的特征矩阵叫做叫做AAE . 0的特征方程的特征方程叫

14、做叫做AAE .0 )( 解解的非的非特征向量即为特征向量即为OxAE ,)( OxAEi 代入方程代入方程现将已求得的特征值现将已求得的特征值 , 01 的解的解若求得一个非若求得一个非 的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于i ).0( 1 kk , , 021 的解的解若求得两个非若求得两个非 的全部特征向量为的全部特征向量为则对应于则对应于i ).0,( 212211不同时为不同时为kkkk .)( , 21的一个基础解系的一个基础解系就是就是且且OxAEi 第22页/共144页第二十三页，共144页。求特征值与特征向量的步骤求特征值与特征向量的步骤(bzhu): 0; )1

15、( AEA 的特征方程的特征方程写出写出 ; 0 )2(iAE的全部根的全部根求出求出 . 0 , ,)( )3(的全部特征向量的全部特征向量线性组合即为对应于线性组合即为对应于其非其非求得一个基础解系求得一个基础解系代入代入将每个将每个iiOxAE . 1111111111111111 . 1量量的全部特征值与特征向的全部特征值与特征向求矩阵求矩阵 Aex第23页/共144页第二十四页，共144页。Solution. 1111111111111111 AE)2()2(3 ,0得得令令 AE . 2, 24321为全部特征值为全部特征值 .)2(,2)1(1OxAE 有有时时当当 311113

16、1111311113)2(AE而而 0000110010101001第24页/共144页第二十五页，共144页。 44434241 xxxxxxxx从而从而 111144321xxxxx ).0( )1 , 1 , 1 , 1(21 kk的全部特征向量为的全部特征向量为对应于对应于 .)2(,2)2(432OxAE 有有时时当当 1111111111111111)2(AE而而 0000000000001111第25页/共144页第二十六页，共144页。 4433224321 xxxxxxxxxx从而从而 1001010100114324321xxxxxxx 2的全部特征向量为的全部特征向量为对

17、应于对应于 ).0,( )(1,0,0,1)(1,0,1,0)0 , 0 , 1 , 1(321321不同时为不同时为kkkkkk 第26页/共144页第二十七页，共144页。.201034011 . 2的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 AexSolution. 的特征多项式为的特征多项式为A. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A. 0)2(,21 xAE解方程组解方程组时时当当 201034011 AE,)1)(2(2 第27页/共144页第二十八页，共144页。 001014013)2(AE 332100 xxxx从而从而.2)0(1111的全部特征向量的全部特

18、征向量是对应于是对应于所以所以 kpk . 0)(,132 xAE解方程组解方程组时时当当 ,000010001 ,1003321 xxxx,100 1 p基础解系为基础解系为第28页/共144页第二十九页，共144页。 101024012)(AE 3332312xxxxxx从而从而.1)0(32222的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kpk,000210101 ,121 2 p基础解系为基础解系为,1213321 xxxx第29页/共144页第三十页，共144页。注意注意(zh y): ,)1(0的特征值的特征值是是若若A AE0 则则)(0AEr OxAE )(0 ,

19、0, n 有非有非0解解.的的为为则称则称重根重根的的为为若若00,0)2( kkAE .代数重数代数重数的的称其为称其为的个数为的个数为的基础解系中所含向量的基础解系中所含向量得得对应于对应于0000),( )(, AEranknOxAE .几何重数几何重数结论结论(jiln)1. 方阵方阵A的特征值的几何的特征值的几何(j h)重数不超过重数不超过它的代数重数它的代数重数.结论结论2. 对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素即为其主对角线上的元素.结论结论3. .的特征值相同的特征值相同与与方阵方阵AA 第30页/共144页第三十一页，共

20、144页。结论结论(jiln)4. ,)(21则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设nijaAn ; )1(221121nnnaaa . )2(21An 结论结论(jiln)5. 若若 是矩阵是矩阵(j zhn) A的特征值的特征值, x是是 A的属于的属于 的特征的特征向量向量, 则则 .)1(是任意常数是任意常数的特征值的特征值是是kkAk .,)3(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA .)2(是正整数是正整数的特征值的特征值是是mAmm .,)4(*1的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当AAA .)()(,)5(的特征值的特征值是是为多项式函数时为多项式函数时当当Aff

21、f 第31页/共144页第三十二页，共144页。Proof. ,)1(xAx ),()(xkAxk ,)()(xkxkA .的特征值的特征值是是kAk ,)2(xAx xAAxA Ax x 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA , 0,)3( 可逆时可逆时当当A可可得得由由xAx ,11xAAxA ),(1xAx 第32页/共144页第三十三页，共144页。xxA11 .,1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA, 0,)

22、4( 可逆时可逆时当当A可可得得由由xAx ,*xAAxA ),(*xAxA ,*xAxA .,*的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AAxAA(5) 类似类似(li s)可证可证, 第33页/共144页第三十四页，共144页。xEaAaAaxAfnnnn)()(011 ExaxAaxAannnn011 xaxaxannnn011 xaaannnn)(011 xf)( .)()(,)()(的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 fAfxAff第34页/共144页第三十五页，共144页。.5,5 , 2 , 1, 1 3 .

23、 3*23EABAAABAex 与与的特征值的特征值计算计算设矩阵设矩阵的特征值为的特征值为阶矩阵阶矩阵已知已知Solution. , 22)1(1 A,* AA 的特征值的特征值. 1, 2 , 2 即即, 2 , 1, 1 时时的特征值为的特征值为当当 A, 8 , 1, 1 3 的特征值为的特征值为A, 4 , 1 , 1 2的特征值为的特征值为A,12, 6, 4 的特征值为的特征值为B288)12)(6)(4( B, 3, 6, 4 )5( 的特征值为的特征值为EA.72)3)(6)(4(5 EA第35页/共144页第三十六页，共144页。. 0,)2( . 10,(1) . 42的

24、特征值全为的特征值全为则则若若和和的特征值只有的特征值只有则则若若AOAAAAexk Solution. 则则对应的特征向量为对应的特征向量为有特征值有特征值设设,xA xAx ,(1)得得左乘左乘A)(2xAxA x2 ,2AA 又又xAx2 xx2 , 0)1( x ,Ox 又又, 0)1( . 1, 0 或或,1(2)得得次左乘次左乘Ak xxAkk ,OAk ,Oxk ,Ox 又又. 0 第36页/共144页第三十七页，共144页。 . 0 , 0, . 5 则则若若的特征值的特征值为方阵为方阵设设AAexProof. xAx 法法1. , 0 反设反设)( 1xAx 则则, 0)(1

25、 xA . 0 矛盾矛盾与与 x . 0 法法2. , 0 反设反设, 0 xAx 则则, 0 x又又,00 解解有非有非则则 Ax, 0 A故故. 0 矛盾矛盾与与 A . 0 法法3. , 0 反设反设, 0)1(0 AAAEn故故. 0 矛盾矛盾与与 A . 0 法法4. , 021 nA . 0 i 第37页/共144页第三十八页，共144页。ex6. 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为n 0111aaaAEfnnnA .的的特特征征多多项项式式求求ATSolution. AEfTAT 0111aaannn TAE AE 第38页/共144页第三十九页，共144页

26、。.1, 1, . 7的特征值的特征值是是证明证明已知已知AAEAAex Proof. AEAEn )1(0 ? AAAAE 而而AEA)( AEA)( AEA)( AAE AE 0 AE0 AE.1的特征值的特征值是是即即A 第39页/共144页第四十页，共144页。., 0,2 , 03 :4的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAEAAAEAT思考题思考题., 0可逆可逆故故AA ,3的一个特征值的一个特征值是是A ,162 2 EAAEAATT得得又由又由,162 A即即.34有一个特征值为有一个特征值为故故A Solution.知知由由AEAE 303 ,

27、4 A于是于是, 4 , 0 AA因此因此但但The end 第40页/共144页第四十一页，共144页。第41页/共144页第四十二页，共144页。教学要求：教学要求：1.了解相似矩阵的概念了解相似矩阵的概念(ginin)、性质及相似对角化的、性质及相似对角化的2. 充要条件充要条件.第42页/共144页第四十三页，共144页。 .相似矩阵的定义与性质相似矩阵的定义与性质一一 .矩阵的对角化矩阵的对角化二二第43页/共144页第四十四页，共144页。 .相似矩阵的定义与性质相似矩阵的定义与性质一一1. 定义定义(dngy) ., ,1相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则

28、称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶方阵阶方阵都是都是设设BAABBAPPPnBA . BA记为记为. ,1的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对进行运算进行运算对对BAPAAPPA 第44页/共144页第四十五页，共144页。2. 性质性质(xngzh); )1(AA.)(1AAEE ;, )2(ABBA则则若若,(1BAPP ,1APBP .)(111ABPP 即即;, )3(CACBBA则则若若,(1BAPP ,1CBQQ ,11CAPQPQ .)()( 1CPQAPQ 即即 );)()4(2111211PAPPAPPAAP ;)

29、5(21211122111PAPkPAPkPAkAkP .,21是任意常数是任意常数其中其中kk第45页/共144页第四十六页，共144页。;, )6(BABA 则则若若,(1BAPP .)11APAPAPPB ;, )7(mmBABA则则若若,(1BAPP APPAPPAPPBm111 .)1PAPm ;, )8(11 BABA则则若若,(1BAPP .)111PAPB ;),()(, )9(为多项式函数为多项式函数其中其中则则若若fBfAfBA ;, )10(的特征值相同的特征值相同与与则则若若BABA第46页/共144页第四十七页，共144页。,(1BAPP APPEBE1 11APPE

30、PP )(1PAEP .)AE 反之反之(fnzh)不一定成立不一定成立!.10111001 与与如如 ;, ),( )11(2121个特征值个特征值的的是是则则若若nAdiagAnn nAE 1( )()(1n .),01的特征值的特征值是是得得令令AAEn 第47页/共144页第四十八页，共144页。 ., . 1相似相似与与证明证明可逆可逆如果如果BAABAexProof. ,)(1BAAABA .相似相似与与BAAB第48页/共144页第四十九页，共144页。 .矩阵的对角化矩阵的对角化二二 .,可对角化可对角化则称则称即即相似相似与对角阵与对角阵若若AAA ., 1对角化对角化这就称

31、为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 定理定理(dngl)1.)(个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有能对角化能对角化即即与对角阵相似与对角阵相似阶方阵阶方阵nAAAnProof. ,),(21相似相似与与设设ndiagA .,1 APPP 使使则存在可逆阵则存在可逆阵 . PAP则则 .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为把把第49页/共144页第五十页，共144页。 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 nnppp ,2211 ., 2

32、 , 1 nipApiii 于是有于是有.,的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA 第50页/共144页第五十一页，共144页。,可逆可逆又又P. 0 P.,21线性无关线性无关nppp.立立反推回去即得充分性成反推回去即得充分性成. ; .,1的特征值的特征值的对角线上的元素是的对角线上的元素是对角矩阵对角矩阵作为列构成作为列构成个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量的的由由阵阵的最简单形式为对角矩的最简单形式为对角矩的的满足满足可见可见AnAPBBAPP 注意注意P与与的对应的对应(duyng)写法写法!结论

33、结论(jiln)1.若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互不相等的特征值个互不相等的特征值, 则则A与对角与对角(du jio)阵相似阵相似.第51页/共144页第五十二页，共144页。说明说明(shumng)如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA结论结论(jiln)2.重数重数的几何重数等于其代数的几何重数等于其代数的每个特征值的每个特征值与对角阵相似与对角阵相似阶矩阵

34、阶矩阵iAAn 结论结论(jiln)3.实对称矩阵一定可对角化实对称矩阵一定可对角化. ., , 1, 2 , 1 , 0 . 2BEABnnAnex 求求相似相似与与且方阵且方阵个特征值个特征值有有阶方阵阶方阵设设Solution.!321nnBE 第52页/共144页第五十三页，共144页。ex3. 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(ASolution.AE 由由)1( 722 0 242422221 . 7, 2321 得得 有有代入代入将将, 0221 xAE 第53页/共144页第五十四页，共144页。

35、442442221)2(AE 000000221 213)2(3 221 AEr的几何重数为的几何重数为 =其代数其代数(dish)重数重数.因而因而(yn r)A可对角化可对角化. 有有代入代入将将, 073 xAE 542452228)7(AE 000110452 1)7(3 73 AEr的几何重数为的几何重数为 =其代数其代数(dish)重数重数.第54页/共144页第五十五页，共144页。201335212 )2( AE 31 . 1321 的特征值为的特征值为所以所以A 有有代入代入把把, 01 xAE .31)(3 1代代数数重重数数的的几几何何重重数数为为 AEr 故故 不能化为

36、对角矩阵不能化为对角矩阵.A 101325213AE 000110101第55页/共144页第五十六页，共144页。,163053064 . 4 Aex设设 A能否对角化？若能对能否对角化？若能对角化角化,则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵P, .1为为对对角角阵阵使使APP Solution.163053064 AE 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 0121得得方方程程组组的的系系数数阵阵为为代代入入将将 xAE 063063063)(AE 000000021第56页/共144页第五十七页，共144页。 3322212xxxxxx得基础得基础(jch)解系解系,

37、0121 .1002 10001232321xxxxx , 023得得方方程程组组的的系系数数阵阵为为代代入入将将 xAE 363033066)2(AE 000110101第57页/共144页第五十八页，共144页。 333231xxxxxx.1113 .,321线性无关线性无关由于由于 ,110101102,321 P令令 .200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A 1113321xxxx得基础得基础(jch)解系解系第58页/共144页第五十九页，共144页。注意注意(zh y) , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 0000

38、2 11即矩阵即矩阵(j zhn) P 的列向量和对角矩阵的列向量和对角矩阵(j zhn)中特征值的位置中特征值的位置要相互对应要相互对应第59页/共144页第六十页，共144页。,1111321 . 5 xxAex设设且知且知A有一特征值为有一特征值为1, 求求x的的值及值及A的其它特征值的其它特征值, 并判断并判断A是否能与对角阵相似？是否能与对角阵相似？ Solution. 0 , 1 AEA有特征值有特征值xxAE 11110320 而而)2)(12( xx.21 2 xx或或,211112321,2 Ax时时当当第60页/共144页第六十一页，共144页。211112321 AE)4

39、)(1)(1( . 4, 1, 1 321 特征值为特征值为.,2可对角化可对角化时时且当且当Ax ,21111121321,21 Ax时时当当第61页/共144页第六十二页，共144页。21111121321 AE)52)(1(212 .25, 1, 1 321 特征值为特征值为.,21可对角化可对角化时时且当且当Ax 第62页/共144页第六十三页，共144页。.,340430241 . 6100AAex求求设设 Solution.)5)(5)(1( AE. 5, 5, 1321 的特征值为的特征值为A.)1 , 2, 1( ,)2 , 1 , 2( ,)0 , 0 , 1( 321 pp

40、p可分别求得特征向量可分别求得特征向量,120210121 P存在存在.500050001 1 APP使得使得第63页/共144页第六十四页，共144页。,5152057510301 1 P而而1100100 PPA,5152057510301500050001120210121100100 .5000501501100100100 The end 第64页/共144页第六十五页，共144页。第65页/共144页第六十六页，共144页。教学要求：教学要求：1.掌握实对称矩阵掌握实对称矩阵(j zhn)的性质的性质;2. 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角掌握用相似变换化实对称矩阵为对角(du j

41、io)矩阵的矩阵的 方法方法.第66页/共144页第六十七页，共144页。 .特征向量的性质特征向量的性质实对称矩阵的特征值与实对称矩阵的特征值与一一 .实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化二二第67页/共144页第六十八页，共144页。 .特征向量的性质特征向量的性质实对称矩阵的特征值与实对称矩阵的特征值与一一1.1.实对称实对称(duchn)(duchn)矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数. .Proof. ,的特征值的特征值为为设设A . 0, xxAx 则则, 的的表示表示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 Ax ,1的共轭向量的共轭向量表示表示xxxxn .1为对应的特征向量为对

42、应的特征向量 nxxx)( xxxx )(Axx xxA )( . xx xAx xxxx )(第68页/共144页第六十九页，共144页。0)( xx 即即 nnxxxxxx11 而而011 nnxxxx . ., 0,0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 AExAEAiii 2.2.实对称实对称(duchn)(duchn)矩阵的特征向量为实向量矩阵的特征向量为实向量. .第69页/共144页第七十页，

43、共144页。3.3.实对称实对称(duchn)(duchn)矩阵矩阵A A对应于不同特征值的特征对应于不同特征值的特征 向量是正交的向量是正交的. .Proof. ,21222111 且且pAppAp, ,AAA 对称对称于是于是(ysh)212pp . 02121 pp ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 pp21App 21)(pAp 4.4.实对称矩阵实对称矩阵(j zhn)(j zhn)的每个特征值的代数重数的每个特征值的代数重数 与几何重数相等与几何重数相等. .221pp 21pAp 211)(pp .211pp 第70页/共144页第七十一页，共144页。 .实对称矩阵

44、的对角化实对称矩阵的对角化二二., ),( ,111的的特特征征值值是是其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶实实对对称称矩矩阵阵为为设设AdiagAPPPnAnn 定理定理(dngl).利用正交矩阵将实对称利用正交矩阵将实对称(duchn)(duchn)矩阵对角化矩阵对角化, ,其具体步骤为：其具体步骤为： ;, 0 )2(1niAxAE 的特征向量的特征向量求出求出由由 ; )1(iA 的特征值的特征值求求;, )3(11nnpp 单位化得单位化得正交化正交化将将 ).,( ),( )4(111nndiagAPPppP 则则令令第71页/共144页第七十二页，共144页。利用可逆矩阵

45、将实对称利用可逆矩阵将实对称(duchn)(duchn)矩阵对角化矩阵对角化, ,其具体步骤为：其具体步骤为： ;, 0 )2(1niAxAE 的特征向量的特征向量求出求出由由 ; )1(iA 的特征值的特征值求求).,( ),( )3(111nndiagAPPP 则则令令 . 0111101111011110 . 11为对角阵为对角阵使使求一正交矩阵求一正交矩阵已知已知APPPAex 第72页/共144页第七十三页，共144页。Solution.)3()1(3 AE3, 14321 特征值为特征值为有有代入代入将将, 0)(11 xAE 1111111111111111AE 00000000

46、00001111 4433224321xxxxxxxxxx求得基础求得基础(jch)解系解系,00111 ,01012 .10013 第73页/共144页第七十四页，共144页。正交化正交化,)0 , 0 , 1 , 1(1 ,)0 , 1 ,21,21(2 .)1 ,31,31,31(3 单位单位(dnwi)化化,)0 , 0 ,21,21(1 p,)0 ,62,61,61(2 p.)123,121,121,121(3 p有有代入代入将将, 0)(34 xAE 31111311113111133AE 0000110010101001第74页/共144页第七十五页，共144页。 4443424

47、1xxxxxxxx求得基础求得基础(jch)解系为解系为)1 , 1, 1, 1(4 单位单位(dnwi)化化,)21,21,21,21(4 p,211230021121620211216121211216121 P令令.3000010000100001 1 APP则则第75页/共144页第七十六页，共144页。 ., . 22OAOAAex 则则若若为实对称矩阵为实对称矩阵设设Proof. ,为实对称矩阵为实对称矩阵A故存在故存在(cnzi)正交矩阵正交矩阵Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdiagAn 从而从而(*)12212),( QQdiagAn 12可逆得可逆得与与

48、及及由由 QQOAOQAQdiagn 21221),( , 02 i ), 2 , 1( 0nii . (*)OA 可得可得再由再由第76页/共144页第七十七页，共144页。 . 1 1 . 3 或或的特征值为的特征值为试证实对称的正交矩阵试证实对称的正交矩阵AexProof. ,为实对称正交矩阵为实对称正交矩阵AEAAAAA 2 故故又由又由A为实对称矩阵为实对称矩阵(j zhn), 故存在正交矩阵故存在正交矩阵(j zhn)Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdiagAn 从而从而EQQdiagAn 12212),( EQQdiagn 1221),( 故故, 12 i .

49、 1 i 第77页/共144页第七十八页，共144页。 . 1 , . 4 EAnAex证明证明其特征值全为非负数其特征值全为非负数阶实对称矩阵阶实对称矩阵为为设设Proof. ,为实对称矩阵为实对称矩阵A故存在故存在(cnzi)正交矩阵正交矩阵Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdiagAn 从而从而11)1 , 1( QQdiagQQE11)1, 1( QQdiagEAn 11)1, 1( QQdiagEAn . 1)1()1(1 n . 0 i 不妨设不妨设ex5. 见见P95/例例例例第78页/共144页第七十九页，共144页。思考题思考题1.,111111111 A.

50、00100100 nB.,是否相似是否相似判断下列两矩阵判断下列两矩阵BASolution.,)(1 nnAE . 0,21 nnA 的特征值为的特征值为使得使得存在可逆矩阵存在可逆矩阵是实对称矩阵是实对称矩阵又又,1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)(1 nnBE 又又.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB第79页/共144页第八十页，共144页。,1, 02特征向量特征向量个线性无关的个线性无关的有有对应特征值对应特征值 nn 使得使得故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵,2P, 212 PBP, 212111BPPAPP 从而从而, 121112BPAPPP 即即.相似相似

51、与与故故BA,)()( 1211121BPPAPP 即即The end 第80页/共144页第八十一页，共144页。思考题思考题2. .2,2的值的值试求行列式试求行列式的秩为的秩为且且满足满足阶实对称矩阵阶实对称矩阵设设AErAAAAn Solution. , 0 1 2或或的特征值为的特征值为可得可得由由AAA .,000 1-阶单位阵阶单位阵是是其中其中rEEAPPrr 1122 PPPPAE E2 rnrEE200det.2rn 使得使得故存在可逆阵故存在可逆阵且秩为且秩为是实对称阵是实对称阵又又,PrAThe end 第81页/共144页第八十二页，共144页。第82页/共144页第

52、八十三页，共144页。一、内容一、内容(nirng)小结小结1. 正交矩阵的定义正交矩阵的定义(dngy)与性质与性质3. 相似矩阵的定义相似矩阵的定义(dngy)与性质与性质4. 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件2. 特征值特征向量的定义与性质特征值特征向量的定义与性质5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质实对称矩阵特征值特征向量的性质第83页/共144页第八十四页，共144页。二、题型与方法二、题型与方法(fngf)2. 判别矩阵判别矩阵(j zhn)是否可对角化，是否可对角化， 找可逆矩阵找可逆矩阵(j zhn)使其与对角阵相似使其与对角阵相似1. 求特征值特征向量求特征值特征向量3.

53、 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化(jio hu)（可逆变换与正交变换）（可逆变换与正交变换）第84页/共144页第八十五页，共144页。., ,4000000512422421.yxyxA求求相似相似与与设方阵设方阵一一 Solution.5242424254 xAE由由52424290931 xrr12444200913 xcc)4(9x , 0 . 4 x得得第85页/共144页第八十六页，共144页。124242421 AE由由12424250531 rr124242101)5( 324442001)5(13 cc8)3)(4)(5( )20)(5(2 )4)(5)(5( , 0

54、. 4, 5321 得得. 5 y; 321可得可得或由或由 A. 332211321可得可得或由或由aaa 第86页/共144页第八十七页，共144页。., )2 , 1, 2( , )1 , 2, 2(, )2 , 2 , 1( ; 1, 0, 13.321321ApppA求方阵求方阵特征向量依次为特征向量依次为对应的对应的的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设二二 Solution 1.,212122221),(321 pppP取取,1000000011 APP则有则有11212122221 P又又第87页/共144页第八十八页，共144页。 636366663271,2121222219

55、1 1 PPA 21212222191100000001212122221 21212222120210220191.06663060391 第88页/共144页第八十九页，共144页。或者或者(huzh) ),(),(332211321ppppppA ), 0 ,(31pp A1212122221202102201 A 21212222191202102201.06663060391 第89页/共144页第九十页，共144页。.,)1 , 1 , 1( 6, 3 , 3 , 63.1ApA求矩阵求矩阵的特征向量为的特征向量为对应对应与特征值与特征值的特

56、征值为的特征值为阶实对称矩阵阶实对称矩阵设设三三 Solution 1., ),(3321 xxxx对应的特征向量为对应的特征向量为设特征值设特征值, 0321 xxx则有则有 10101121kkx. )1 , 0 , 1(, )0 , 1 , 1( 332 pp的特征向量为的特征向量为故对应特征值故对应特征值,101011111),(321 pppP取取第90页/共144页第九十一页，共144页。,3000300061 APP则有则有,121211111311 P又又1 PPA,12121111131300030006101011111 .411141114 Solution 2. ),(

57、),(332211321ppppppA .),(1332211 PpppA 第91页/共144页第九十二页，共144页。Solution 3., ),(3321 xxxx对应的特征向量为对应的特征向量为设特征值设特征值, 0321 xxx则有则有 10101121kkx. )1 , 0 , 1(, )0 , 1 , 1( 321 的特征向量为的特征向量为故对应特征值故对应特征值:, 21正交化得正交化得将将 , )0 , 1 , 1(11 , )1 ,21,21(),(),(1112122 :, 211单位化得单位化得将将 p, )31,31,31(1 , )0 ,21,21(2 , )62,

58、61,61(3 第92页/共144页第九十三页，共144页。,62031612131612131),(321 P取取,626161021213131311 PP从而从而1 PPA.411141114 第93页/共144页第九十四页，共144页。.56)(,122221212.8910AAAAA 设设四四Solution.0)1)(1)(5(122221212 AE由由, 1, 1, 5321 得得,)1 , 1 , 1( 511 p的特征向量为的特征向量为对应对应 , )0 , 1 , 1( 122 p的特征向量为的特征向量为对应对应 , )2, 1 , 1( 133 p的特征向量为的特征向量

59、为对应对应 第94页/共144页第九十五页，共144页。,),(1321 APPpppP使得使得存在可逆阵存在可逆阵,1 PPA则则,100010005 且且 3161613267613131311P891056)(AAAA 181911056 PPPPPP18910)56( PP1)1(000)1(000)5( PP 第95页/共144页第九十六页，共144页。 3161613267613131311200000000201111113 422000000201111113.844422422 The end 第96页/共144页第九十七页，共144页。第97页/共144页第九十八页，共14

60、4页。一、内容一、内容(nirng)小结小结2. 相似矩阵的定义相似矩阵的定义(dngy)与性质与性质3. 矩阵可对角化矩阵可对角化(jio hu)的条件的条件1. 特征值特征向量的定义与性质特征值特征向量的定义与性质4. 正交矩阵的定义与性质正交矩阵的定义与性质5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质实对称矩阵特征值特征向量的性质第98页/共144页第九十九页，共144页。1. 特征值特征向量的定义特征值特征向量的定义(dngy)与性质与性质. , , 的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为非零向量非零向量的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式