理学工程数学学习教案

1、会计学1理学工程理学工程(gngchng)数学数学第一页，共107页。2111212122212nnmmmnaaaaaaaaa第1页/共107页第二页，共107页。3 数称为矩阵的元.ija111212122212a (1,2,.,;1,2,., )(). 1 由个数排成定个横行 个竖列的阵式称为 行 列矩阵阵义矩ijnnmmmnmnim jnaaamnmaaaaaamnn ABA; (). 阶 表示为 、 、.； 当矩阵的时称为方阵：行数与列数方相等阵m nijm nan第2页/共107页第三页，共107页。4ij A.2 AAA如果矩阵 的每个元都是实数，矩阵 称为实矩阵；如果 的元是复数

2、， 称为 定义复矩阵a. ()本书只讨论实矩阵 ABAB3相同的行数与相同的如果矩阵 与 有，则、 称为 定义列数同型矩阵.1231 (,)1 3,解析几何中用坐标表示空间三维向量 实矩例阵.aa a a 第3页/共107页第四页，共107页。511112211211222221122(21 )线性方程组例nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb (1)系数由方程组中未知量的所构成的矩阵.ijamn 111212122212(1)2).(系数 称为方程组的矩阵nnmmmnaaaaaaAaaa 第4页/共107页第五页，共107页。6111122112112222

3、21122(21 )线性方程组例nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 12 (1)1 (3)(1).由右端的常数项 构成的矩阵称为方程组的矩阵常数列mibbbbmb 11121212221212 B=( , ) (4)(1)由构系数和常成的矩阵称为方程组的阵数项增广矩mnnmmmnaaaaaaAaaabbbb 第5页/共107页第六页，共107页。7 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaAa11121212221122( , )nnm

4、mnmmbbaaaaaaaaabBA b增广矩阵常数列矩阵12mbbbb第6页/共107页第七页，共107页。8A=B ，|A|=|B| ? 当A=(aij)是一个n阶矩阵(方阵(fn zhn)时，与它对应的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|.|A|=|B|，A=B ?第7页/共107页第八页，共107页。9（2）列矩阵 当 时，即只有一列的矩阵，也称为列向量。1n （1）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵，也称为行向量。1m ),(21naaaa nbbbb21第8页/共107页第九页，共107页。10111212122212=nnmmmnaaaaaaAaaa矩阵 的每一行都是一个 n

5、维行向量，记作nmA miaaaainiii, 2 , 1,),(21 则矩阵(j zhn)可表示为：12maaa第9页/共107页第十页，共107页。11111212122212nnmmmnaaaaaaAaaanjaaaAmjjjj,2, 121 矩阵 的每一列都是一个 m 维行向量，记作nmA 则矩阵(j zhn)可表示为：12=(,)nA AA第10页/共107页第十一页，共107页。12Om n000000000m nO第11页/共107页第十二页，共107页。13nnAnn111212122212nnnnnnnaaaaaaAAaaa 其中元素 称为 阶方阵的主对角元素，过元素 的直线

6、称为 阶方阵的主对角线1122,nnaaan1122,nnaaan第12页/共107页第十三页，共107页。14nnn0 (; ,1,2, )ijaij i jn记为12120000diag(,)00nnaaa aaa 或12naaa其中未写出的元素全为零第13页/共107页第十四页，共107页。15n1(1,2, )iiain0 (; ,1,2, ),ijaij i jnnn100010001nEE111第14页/共107页第十五页，共107页。16k000000kkkEkkkknnn| ?kE 第15页/共107页第十六页，共107页。171.定义(dngy)与基本性质定义1 如果同型矩阵

7、A=(aij)、B=(bij)的对应元都相等，即aij=bij，则称A与B相等，记为A=B.定义2 两个同型矩阵A=(aij)mn和B=(bij)mn的对应元相加所得的同型矩阵C=(aij+bij)mn称为矩阵A与B之和，记为C=A+B， 即(aij+bij)mn=(aij)mn+(bij)mn第16页/共107页第十七页，共107页。18同型矩阵只有才能相加：1-304312A B= C=25-12-55-1例如：， A+B无意义-304312B+C=+5-12-55-1 0+A=A0+A=A，或者m nm nm n-3+30+14+2016=.5-5-1+52-1041第17页/共107页

8、第十八页，共107页。19 AB A+(-B)A4BA-B.矩阵 、 是同型矩阵，则称矩阵为 与的差，记为定义 ABABA-A. A+(-A)=0 . 3 若与 同型的矩阵 的每个元是矩阵 的对应元的相反数，则称矩阵负矩阵为 的，记为定义第18页/共107页第十九页，共107页。20 A=()()AA 5A 是一个数，是矩阵，则同型矩阵称为数 与矩阵 的乘积，记为或，定即义ijm nijm naa2156315 3=0-210-63例如：()矩阵的加 减 法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算.|=(|AA|)行列式？n nn n111212122212A= ()=() nnijm nijm

9、nmmmnaaaaaaaaaaa 第19页/共107页第二十页，共107页。21矩阵的性质：(1) A+B=B+A,加法交换律(2) (A+B)+C=(A+B)+C,加法结合律(3) (A+B)= A+ B, ( + )A=数乘的分配律AA (4) ( A)=()A,数乘的结合律 (5) 1A=A.第20页/共107页第二十一页，共107页。2232 ,15A例 设11127B32X.AXB且，求矩阵111322332715XBA1119627273 1558712712585242X3A32AXB解 在 等式两端同加上 ，得第21页/共107页第二十二页，共107页。232 、线性组合12A

10、 ,A ,.,A .设给定了若干个同型矩阵m112211212 A +A +.AA()BA ,A ,.,ABA ,A ,.,A经线性运算为常数 得线性组合线到的矩性表出阵 称为的,或称 可经.mmmjjjjmmB 12341212343410010000 M,M,M,M,00001001AM ,M , M ,M.1 设证明任何一个二阶矩阵都是的线性合例组aaaa 第22页/共107页第二十三页，共107页。241211221 (,.,),1,2,., ,=.2 设求线性组合例iiiminiinniaaainxxxx 1=解：niiix 211(,.,=)niiiimiaaax 121=(,.,

11、)niiiiimiix ax ax a 12111=,.,.nnniiiiimiiiix ax ax a第23页/共107页第二十四页，共107页。25121212 ,.,2(,.,). ,.3,同例 ，又问 可否用线性表出？例nmnb bb 假设能够解：线性表出，1211112= .,=bbb=这个问题就变成了判断线性方程组，是否有解。nininiimiimiiiaaxxxa 21111=,.,.nninimiiiiiiixx aaax 12(,.,)mbbb 112212,.,=.则得存在使，nnnxxxxxx2利用例 的结果，第24页/共107页第二十五页，共107页。26第25页/共1

12、07页第二十六页，共107页。27 每个线性方程组由它的系数矩阵 和常数列矩阵 所唯一确定。Ab1.矩阵(j zhn)乘法的定义矩阵(j zhn)乘法最初是从线性方程组的研究中产生的121 若引入一个由 个未知量构成的矩阵，则线性方程组可以地记为：形式nxxnnXx 1112111212222212 .或者nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxAXbb 第26页/共107页第二十七页，共107页。281112111212222212 .或者nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxAXbb .把线性方程组用它的系数矩阵、常数列向量和未知量列向量简单表示出来，记法与一元一次方程一致axb

13、 第27页/共107页第二十八页，共107页。2911 (),()(1)(1,2,.,)() 11 设，则规定矩阵 与 维列向量矩阵相乘的乘积是以为分量的 维列向量矩阵定义，即ijm njnniijjjAaCcmnAnnCACda c immm 11121121222212nnmmmnnaaacaaacACaaac：矩阵 的第 个行向量与列向量 的对应分量相乘与再相乘的相加得规到乘积的第 个分量；则AiCACiAC11 1122121 122221 122.nnnnmmmnna ca ca ca ca ca cacacac 相乘的条件矩阵 与列向量 能够是： 的列数等于 的行数。ACAC第28

14、页/共107页第二十九页，共107页。30 (),B()ABAB 2 设, 与 相乘的乘积定义如定义下ijm nijn sAah111211112121222212221212BnsnsmmmnnnnsaaabbbaaababAaaabbb111211112122211112111 (2)nnnkkkkkkskkknnnkkkkkkskkknnnmkkmkknkkskkka ba ba ba ba ba bDababa b 第29页/共107页第三十页，共107页。311AB=ABm s(1,2,.,;1,2,., )B A 与 相乘所得的矩阵是矩阵，它的元由 的第 行与 的第 列的对应分量相

15、乘再相加。nijikkjkCim jsijca b ABAB: ( ) (B)的列数必须等于矩阵 与 能相乘的，.数件的行条m nk lA 第30页/共107页第三十一页，共107页。3231230A=B=AB?BA?201-1 1 2，例， AB无意义；30312936BA=-122011-10但第31页/共107页第三十二页，共107页。331212 A=(,.,) B= 2例,则nnbba aab AB=1212BA=(,.,)=nnbba aab ABBAABBA与是的矩不同型阵，显然。 1212(,.,)=nnbba aab 1 122(+.)nna ba ba b111212122

16、212nnnnnnb ab ab ab ab ab ab ab ab a第32页/共107页第三十三页，共107页。34111-1A=B=-1- 3 1-11，则例111-100AB=-1-1-1100， 1-11122BA=-11-1-1-2-2，ABBA()一般结论：来说不满足交换律 ABAB=0()与 为非与数零矩阵，却乘不同有AB=AC(A0)B=C()推不能消去律出不成立 ABBAABBA.与是同型矩阵，但 第33页/共107页第三十四页，共107页。35第34页/共107页第三十五页，共107页。3612121111122122112222112212121111122122112

17、2224 ,.,.,.,(3),.,例 设变量都是变量的线性函数而变量又是变量的线性函数mkkkkkmmmmkkknnnz zzyyyza ya yayza ya yayzayayayyyyxxxyb xb xb xyb xb xb 11221212 (4 ,.,.,.)求变量与的函数关系nnkkkknnmnxyb xb xb xz zzxxx 第35页/共107页第三十六页，共107页。37111222 (3)(4)解： 令，则函数关系可表示为nkmxyzxyzXYZxyz ，ZAY ；YBX ()()(3)(4).其中：，分别为的系数矩阵ijm kijk nAaBb()(). ZA BXA

18、B X1()kippjm npABab 第36页/共107页第三十七页，共107页。38称为(chn wi)n阶单位矩阵，简记E显然(xinrn)nmnnmAEAmnmnnBBEn阶方阵(fn zhn)nn00111nE单位矩阵：第37页/共107页第三十八页，共107页。39 对角(du jio)矩阵其中 aij = 0, i jnn00nnaaa2211特别：称为数量矩阵nkEK00kkk第38页/共107页第三十九页，共107页。40结论(jiln)：0000nnaaa2211nnbbb221100nnnnbababa22221111第39页/共107页第四十页，共107页。41 只有方

19、阵，它的乘幂才有意义。由于(yuy)矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：0()kkEk ，为正数AAAAA方阵的乘幂(chn m)：设 A 是 n 阶方阵，定义：kkkBAABABABAB)()()(k个 (1) Ak Al = Ak+l (2) ( Ak )l= Akl (3) ( AB )k Ak Bk (A、B皆为方阵(fn zhn)，k2)第40页/共107页第四十一页，共107页。42 当 为方阵时，称矩阵A1011( ).mmmmf Aa Aa AaAa E A为矩阵 的多项式，1011( ) ( ).也称是普通式当的值.mmmmf Af xa xa xaAxx

20、a 第41页/共107页第四十二页，共107页。433. 阶矩阵乘积的行列式n| | 当 、 皆为 阶矩阵时,也是一个 阶矩阵,、的关系？ABnABnABAB| |.若 、方阵，、不存在，但注：不为可能存在ABABAB | |定理若 、 为 阶矩阵：，则ABnABAB1()()().证明:设,其中nijn nijn nijn nijikkjkAaAbABcca b 第42页/共107页第四十三页，共107页。44|A|B|=1nijikkjkca b 111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabbbbbbbbb

21、 (1)()(1)将第 列的倍加到列自己第化jkjjnbnkkn111211112121222212221212100000010000001000nnnnnnnnnnnnaaacccaaacccaaaccc 111212122212( 1)( 1)nnnnnnnn nccccccccc 第43页/共107页第四十四页，共107页。45| A 1 A 2 A m | = | A 1| | A 2 | | A m | 推广(tugung)：第44页/共107页第四十五页，共107页。46第三节 逆矩阵(j zhn)与矩阵(j zhn)的初等变换第45页/共107页第四十六页，共107页。47除法

22、对任意(rny)给定矩阵A、B，当A0时，是否有唯一的矩阵X使AX=B(或XA=B)成立？定义：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = E 则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。第46页/共107页第四十七页，共107页。48证明(zhngmng)：设 A有两个逆矩阵B、C，则 B= BE = B(AC) = (BA)C =EC =CA的逆矩阵(j zhn)唯一，可记为A-1，即AA-1=E.(A-1)-1=A第47页/共107页第四十八页，共107页。49矩阵(j zhn)1121112222*12nnnnnnAA

23、AAAAAAAA称为矩阵(j zhn)A 的伴随矩阵(j zhn)定义(dngy)设 A = (aij)nn , Aij 是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, , n );矩阵可逆的条件第48页/共107页第四十九页，共107页。50 ()| .2 0ijn nAaA矩阵可逆的充分必要条件是定理 证明：必要性-1 . .AAst设 是可逆矩阵，存在逆矩阵，11.A AAAE111| | | | 1A AAAAAE于是| 0.A 所以第49页/共107页第五十页，共107页。51 充分性11121112112122212222122*1.nnnnnnnnnnn

24、naaaAAAaaaAAAaaaAAAAAMMAAA O*| 0(), ().11AAAAAAEAE由假设得同理可得成立 11211-1*1222212. .1.nnnnnnAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA于是， 可逆且其逆矩阵为 L111A O|.A E第50页/共107页第五十一页，共107页。52求逆矩阵(j zhn)的第一种方法：*1|1AAA方阵 A满足 |A |0时， 可逆矩阵(j zhn)也称为非奇异矩阵(j zhn)或者满秩矩阵(j zhn)第51页/共107页第五十二页，共107页。53112 3-11 2 3 A= -1 3-3B = 2 2 11 15 -11

25、3 4 3 B1.A已知，例求=0A,A解：因为| |故 无逆矩阵；1|B|=|2B|BB因为53222222111 第52页/共107页第五十三页，共107页。54 推论(tuln)：设A、B为n阶矩阵，若AB=E(或BA=E)成立，则B=A1. 证明(zhngmng)：由AB=E知|A|B|=|E|=1，则| A|0，故A有逆矩阵A1, 但B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1 .第53页/共107页第五十四页，共107页。55定理(dngl)3：若A、B均n阶可逆矩阵，则AB也可逆，且 (AB)1B1A111111211().mmmA AAA AALL证明：

26、 A、B均可逆， A1，B1存在(cnzi)且为n阶矩阵，因此 (AB)(B-1A-1) A(BB1)A1=AA1E (A)1=1A1 推论：若A1,A2,Am皆为n阶可逆矩阵，则乘积(chngj)A1A2Am也是一个n阶可逆矩阵且第54页/共107页第五十五页，共107页。56定理4 设A是n阶可逆矩阵，那么(n me)对任意的B=Bnm(或者B=Bmn)，矩阵方程 AX=B(或者XA=B) 有唯一解X=A-1B(或者X=BA-1).证明：由于A可逆，用其逆矩阵A-1左乘方程(fngchng)AX=B的两端得A-1(AX)=A-1B=X，X=A-1B是方程(fngchng)的解。 若方程(f

27、ngchng)还有另一解C，即AC=B，则C=EC=(A-1A)C =A-1(AC)=A-1B.第55页/共107页第五十六页，共107页。5711 1122121 122221 122111,11211,1121. (). . . .| det().1.5(5).|nnnnnnnnnijjjnjna xa xa xa xa xa xna xa xa xAaaaaaaAbbxbb克莱姆法则 元线性方程组当其系数行列式零时，存在定理不等于唯解一：2,12,121,1,12. . . . (1,.|2,., ).jjnnjjn jnnnnDbAbaaaaaaajn说明当|A|0时，方程组有唯一解：

28、xj=把系数行列式|A|中第j 列的元素换成方程组的常数项所得的行列式(Dj)/系数行列式|A|Dj第56页/共107页第五十七页，共107页。58(5)AXb证明：首先方程组可表为矩阵形式，-11A0,XA=A=|bA bA由于| |知 是可逆矩阵，有唯一解11122111122112111122222222111222.1.|.1. . . . . .|.nnnnnnnnnnnnnnnnb AAAAb Ab Ab Ab AbbAAAbAbAAAAAb Ab Ab A 比较等式两端第57页/共107页第五十八页，共107页。59Dj11122111122222112212.1. . . .

29、. .|.X=nnnnnnnnnnb Ab Ab Ab Ab Ab AxxxAb Ab Ab AM比较等式两端得jx 11221(|.)|.jjnnjAb Ab Ab A1111,11,11212,12,121112,. . .1.|.jjnjjnnjnnnnn jaaaaaaaabbaaAaab (1,2,. ., ).|.jDAjn第58页/共107页第五十九页，共107页。60123412423412342 -5 8 -3 -69 2- 2-52 4-760.xxxxxxxxxxxxxx，例解线性方程组2 1 -5 11 -3 0 -6 |2700 2 -1 21 4 -7 6A 解 因

30、为系数行列式，.可用克莱姆法则求方程组的解11 -5 1-3 0 -681,2 -1 24 -89-57 60D 计算出2342-5 12 112 1 -510 -61 -3-61 -3 0-108,-2888999-7,27.0-1 20 220 2 -11-7 65-5-501 4601 4 -70DDD12341234,3,-4,-1,1| | | |DDDDx x x xAAAA方程组的解为第59页/共107页第六十页，共107页。61第60页/共107页第六十一页，共107页。62定义 对矩阵的行(列)施行下列三种(sn zhn)变换都称为矩阵的初等行(列)变换： (1) 互换矩阵两

31、行(列)的位置-(rirj); (2)用非0常数 乘矩阵的某行(列)-(ri); (3)将矩阵某行(列)的r倍加到矩阵的另一行(列)上-(ri+rj)第61页/共107页第六十二页，共107页。63 AB表示(biosh)A经初等变换得到B，则必可经同一种初等变换使B还原为A第62页/共107页第六十三页，共107页。64 对n阶单位矩阵E分别(fnbi)实施上述三种初等变换后，所得的矩阵称为初等矩阵。相应的三种(sn zhn)初等矩阵分别为：第63页/共107页第六十四页，共107页。65(1) 互换E的i,j两行(lin xn)(列)所得的矩阵ri rj110.111.011ijE第i行第

32、j行i列j列第64页/共107页第六十五页，共107页。66(2) 乘E的第i行(列) 所得(su d)矩阵11( )11iiE00i行 i列第65页/共107页第六十六页，共107页。67(3) 将E的j行(i列)的r倍加(bi ji)到i行(j列)上去所得矩阵 11.( )11ijrEri行j行 j列 i列第66页/共107页第六十七页，共107页。68 ()()()().ijm nAaAmn对矩阵施行某一列，其结果等于对右一个相初等行应的 阶阶变换左乘初引等矩阵理1112111121121212( )1. . 1 . . . . . . . 1 . . . . .1.ijnniiinjj

33、jnnnnnE r Aaaaaaaaaaraaaaaa： 仅以第三种初等行变换为例进证明行验证LLLLLLLLOOO11221212.ijijinjnjjjnnnnnaraaraaraaaaAaaa等式右端恰好为对 施行第三种初等行变换之结果LL第67页/共107页第六十八页，共107页。69 可以把矩阵的初等变换归结为左乘或用某些右乘初等矩阵该矩阵， 由于初等变换对应初等矩阵，而初等变换是可逆的，所以初等矩阵也可逆，且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵。1ijEijE1 ( )iikE1( )iikE1( )ijkE()ijkE第68页/共107页第六十九页，共107页。70 用矩

34、阵的初等变换求逆矩阵的方法：行12 ,mnAnAF FFAE相若 是 阶可逆矩阵，必可经将 化成单位矩阵。这就用一系列初等矩一系列初等行变阵左乘 后得到单位矩阵即当于换，L21 . (1)mnFF F AEL-121 (2)nmFF FAE 由此式知L-1(1)(2)nnnAEAEEAA比较知，若对 和进行完全相同的一系列，则当初等行变换原化成化成单位矩阵时，单的逆矩阵位矩阵就：-1()().nnAEEA 初等行变换，第69页/共107页第七十页，共107页。71-1()().nnAEEA 初变换行等，第70页/共107页第七十一页，共107页。72-10 1 2 1 A= 1 1 4A =?

35、2 -1 0例，求(1)(2)1 1 4 0 1 00 1 2 1 0 02 -1 0 0 0 1换行互-2(1)+(3)1 1 4 0 1 00 1 2 1 0 00 -3 -8 0 -2 1 行行-1(2)+(1)3(2)+(3)1 0 2 -1 1 00 1 2 1 0 00 0 -2 3 -2 1 行行行行1(3)+(1)1(3)+(2)1-(3)212 -1 14 -20 00 1 0=0 0131-1 -221 行行行行行-1( ,).E A-12 -1 14 -2 131-1 -22A0 1 2 1 0 0 ( ,)1 1 4 0 1 02 -1 0 0 0 1A E解：第71页

36、/共107页第七十二页，共107页。732-1-2-311 .1. . . . .21.nnnanAaaaaaa求 阶矩阵的逆矩阵例 | 1,A 解 因： 为可逆；.a从最后一行起减去前一行的 倍，即可化成单位矩阵-11-1-1-1aAaaO O2-1-2-3111111. . . .1.1nnnaaaaaaa因此111-11-11-1aaaOO O第72页/共107页第七十三页，共107页。74同样，也可以利用初等列变换来求可逆矩阵的逆矩阵：AE定理：可逆矩阵必可表为若干个初等矩阵的乘积.-1EA 列初等变换-121nmFFEFAL21 .mnFF F AEL-1 -1-1-1-1-1211

37、2()mnmEAAFF FF FFLL第73页/共107页第七十四页，共107页。75第74页/共107页第七十五页，共107页。762.4.1 转置矩阵 .设 是一个矩阵，若将 的，所得到的矩阵称为 的转置矩阵，记为定义行顺序改成列AmnAnmAA 111212122212 nnmmmnaaaaaaAaaa 112111222212mmnnmnaaaaaaAaaa 如果分别用与表与 中第 行第 列处的元，则有ijijaaAAij (1,2,., ;1,2,.,).ijjiaain jm 第75页/共107页第七十六页，共107页。77转置矩阵满足下面的运算规律：( ) ()iAA ( ) (

38、);iiABAB() () ()为数iiiAA ()() ABvBiA -1-1 A()()=(若 是可逆矩阵，则 AAv第76页/共107页第七十七页，共107页。78() ()ivABB A ()().(1)证： 证明同型： 设,则ijm nijn sAaBb()于是为矩阵,也是矩阵。ABsmB Asm )2)(证明与对应相：元等ABB A ().用表中第 行第 列处的元，则中第 行第 列处的元应记为ijijcABijABijc 111 . (1,2,., ;1,2,.,)于是中第 行第 列处的元 nnnijjijkkjkikjiikkkkkcca ba bijin jmB Ab a ()

39、 故 ABB A 第77页/共107页第七十八页，共107页。79-1-1 (A ) =(A )至于：-1AA =E()由于和知ABB A -1(AA ) -1-1A(A )因此，() =-1(A ) A = ,E =E 第78页/共107页第七十九页，共107页。80几个(j )重要的方阵第79页/共107页第八十页，共107页。811. 对称矩阵1 若实矩阵 满足条件，则定义称为对称矩阵。AAAA .由定义可知，对称矩阵为 阶方阵n (),( ,1,2,., )一个 阶矩阵是对称矩阵的充要条件是jiijjianAai jan 是一个实矩阵，则是一个 阶的对称矩阵：例如 BmnBBm ()(

40、)BBBBBB ,.设都是 阶对称矩阵，则都是对称矩阵，但一般对称矩阵不是A BnABAAB 第80页/共107页第八十一页，共107页。822. 反对称矩阵 2-若矩阵 满足条件，则 称为反对称阵定义矩。AAAA 充一要个 阶条矩阵件是反对称矩阵的是它的元满足条件：n- 0, . 0 反号， 对角线两侧对称的元，的元全为 。 主对角线上jiijaijaij 0奇数阶反对称矩阵的行列式必为 ： -| | |-| (-1) |,有nAAAAAA| -| 0.当 为奇数时得到nAAA第81页/共107页第八十二页，共107页。833. 对角形矩阵123 形为的 阶矩阵称为对角形矩阵。定义nddDn

41、d 12-1naaAa结论(jiln)：0000nnaaa2211nnbbb221100nnnnbababa22221111-11-12-1naaa第82页/共107页第八十三页，共107页。844. 正交矩阵 4 若 阶实矩阵 满足，则 称为正交矩阵。定义nAA AEA 正交矩阵是可逆矩阵，并且具有下列性质：-1(1) 充分 阶矩阵 为正交矩阵的条件是必要nAAA (2) ()充分必要阶矩阵是正交矩阵的条件是ijn nnAa 111, ( ,1,2,., )0, 1, ( ,1,2,., ) 0, 等式中有一个至少成立nikjkknkikjkija ai jnijija ai jnij ()

42、1;()0.每行 列个元的平方和等于 不同行 列 的对应元乘积之和等于n第83页/共107页第八十四页，共107页。85-1(3)AA =A为正交矩阵，则也是正交矩阵。 (4)AA1为正交矩阵，则 的行列式必为： (5)ABnAB(BA).若 、 均为 阶正交矩阵，则乘积也是正交矩阵：有限多个同阶正交矩阵的乘积仍推广是正交矩阵。A+B不是一般正交矩阵。| A|=1 第84页/共107页第八十五页，共107页。86第85页/共107页第八十六页，共107页。871. 分块矩阵 1212和，nmaaAAAAABAba 水平直线和竖直一般地,对于任意一个矩阵 ,可以用若干条按某种需要把 划分成若干个

43、行数与列数的矩阵,称为线较少子阵或子块。的mnAAA ()被划分了的矩阵 称为矩阵,此时矩阵 的元可能,而是一些小矩分块阵不数块再是的子AAA第86页/共107页第八十七页，共107页。883 4例如，把下列矩阵 分成四块：A 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 111111221314则，aaaAAa21222322122431323334， 是矩阵 的子块，aaaaAaaaaAA 11111221221221222 2 A. 而 可记为:以子块为元的分块矩阵，ijAAAAAAAAAAA 第87页/共107页第八十八页，共107页。892. 分块矩阵的

44、运算可像普通矩阵一样进行运算分块时要矩阵注意的运算规则：(1)分块矩阵的加法：.的分块形式必须对 、 采用完全相同方块式的分ABAB 若,且与都是矩阵，则同型ijijijijl kl kijijl kAABBABABAB (),设 、 是两个矩阵型要到同矩阵得ABm n 第88页/共107页第八十九页，共107页。90,ijijAB其中与的行数相同 列数相同 那末，11111111.rrsssrsrABABABABAB11111111,rrssrssrAABBABAABB 加法(jif)设A、B 都是mn矩阵(j zhn)，将A、B按同样的方法进行适当分块，利用(lyng)分块相加时，A、B的

45、分法必须完全相同第89页/共107页第九十页，共107页。91(2) 分块矩阵的数乘： ijijl kl kAAA1111.rssrAAAAA ,数乘分块矩阵对于数乘矩阵的所得之个子块矩阵每即第90页/共107页第九十一页，共107页。92(3) 分块矩阵的转置矩阵.A111rAA1srsAA则11,srAAArA11sA设 分块矩阵的转置矩阵是将 中子块构成的，然后再将每个子块转置即得转置矩行顺次改为列阵 。ijl kAAAA 第91页/共107页第九十二页，共107页。93112111121312222122232 313233 2：分块矩阵 例如AAAAAAAAAAAAAA ,例，矩阵按

46、分如块行ijijm nm nAaBb1122，mmababABab 12.,， ，maaaA 111222，mmmabaabaabABAa 第92页/共107页第九十三页，共107页。94(4) 分块矩阵的乘法 矩阵 、 要能做出分块形式的乘积，不仅要求 的列数等于 的行数，而且还必须要求 关于的分块方式与 关于的分列行块方式要完全一致。ABABABAB1112112122221221. . ssllllssAAAmAAAmAmAAnnAn 1211112212122212.kkksssksnnnpppBBBBBBBBBB 第93页/共107页第九十四页，共107页。9511112122221

47、12122. .于是有，其中kklllkklCCCCCCCABCCpmmCppm11221 . ( 1,2,.,1,2,., )，sijijijissjimmjmCA BA BA BA Bilqk 第94页/共107页第九十五页，共107页。96 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵(j zhn)，而在主对角线上的矩阵(j zhn)均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵(j zhn)（或分块对角矩阵(j zhn)）。120 . 00. 0. . . .00 .sAAAA准对角(du jio)矩阵若矩阵(j zhn)A的分块矩阵(j zhn)具有以下形式第95页/共107页第九十六页，共107页。9711220 . 00 . 00. 00. 0. . . . . . .00 .00 .ssABABABAB则：11220.00.0.00.ssABABABAB11220.00.0.00.ssABA BABA B 对于准对角矩阵，有以下运算(yn sun)性质：若A与B