几何经典模型：手拉手模型

1、本文为word版资料，可以任意编辑修手拉手模型模型手拉手如图， ABC是等腰三角形、 ADE是等腰三角形，AB = AC, AD = AE, /BAC = / DAE = a .结论：连接 BD、CE,则有 BADA CAE.模型分析如图，Z BAD = Z BAC-Z DAC , Z CAE=Z DAE - Z DAC. / BAC=Z DAE= a , ./ BAD = Z CAE.在 BAD和 CAE中，fAB =AC ,“AD =NCAE ,AD =AE ,图、图同理可证.(1)这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.(2)如果把

2、小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰 三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型.(3)手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现.模型实例(1)(2)如图， ADC与4EDG都为等腰直角三角形， 连接AG、CE,相交于点H,问:AG与CE是否相等？AG与CE之间的夹角为多少度？解答：(1) AG = CE.理由如下:/ ADG = / ADC + / CDG , / CDE = / GDE + / CDG , / ADC = / EDG = 90°, ./ ADG = Z CDE.在 ADG和 CDE中,AD =CD ,.

3、! ZADG ZCDE ,DG=DE ,ADEACDE . . AG = CE.(2) ADGA CDE, ./ DAG = Z DCE. / COH = Z AOD, ./ CHA = Z ADC = 90°.AG与CE之间的夹角是 90°.例2 如图，在直线 AB的同一侧作 ABD和 BCE, ABD和 BCE都是等边三角 形，连接AE、CD,二者交点为 H.求证：(1) ABEA DBC ;(2)(3)AE = DQ;/ DHA =60°(4)(5)(6) AGBA DFB ; EGBACFB;连接 GF, GF/AC;连接HB, HB平分/ AHC.证明：

4、(1) Z ABE = 120°, Z CBD=120°, 在 ABE和 DBC中，BA = BD ,./ABE = . DBC , BE =BC ,ABEA DBC .(2) ABEADBC,AE= DC.(3) ABEA DBC,1 = / 2. ./ DGH =/ AGB. ./ DHA =/ 4= 60°.(4) / 5=180° / 4/ CBE=60°,4=/ 5. ABEA DBC,1 = / 2.又 AB = DB,AGBA DFB (ASA). 5)同(4)可证 EGBACFB (ASA).图 6)如图所示，连接 GF. (4

5、)得， AGBA DFB.BG= BF.又/ 5=60°, .BGF是等边三角形. / 3=60°. .GF / AC.(7)如图所示，过点 B作BM，DC于M ,过点B作BN XAE于点N.图 ABEA DBC, SaaBE = SDBC . 1 X AE X BN= 1 XCDXBM. 22 AE= CD, BM =BN. 点B在/ AHC的平分线上.HB 平分/ AHC .练习:AE1. 在4ABC中，AB=CB, /ABC=90°, F为AB延长线上一点，点 E在BC上, = CF.(1)求证：BE=BF;(2)若/ CAE =30°,求/ AC

6、F 度数.答案：(1)证明：/ ABC =90° .在 RtAABE 和 RtACBF 中，jCF =AE ,AB 二CB , RtAABE RtACBF (HL).BE= BF.(2) AB = CB, / ABC = 90°, ./ BAC=Z BCA = 45°. ./ CAE= 30°. ./ BAE=45 -30 = 15° . .RtAABE RtACBF, ./ BCF = Z BAE=15°. ./ ACF = / BCF + Z BCA= 15 +45° = 60° .2.如图， ABD与ABCE

7、都为等边三角形，连接 AE与CD,延长AE交CD于点H.求证：(1) AE=DC;(2) / AHD =60°(3)连接 HB, HB 平分/ AHC.答案：(1) . / ABE=Z ABD-Z EBD , Z DBC=Z EBC-Z EBD , Z ABD = Z EBC = 60°, ./ABE=/ DBC .在 ABE和 DBC中,AB =DB , 4/ABE =/DBC , BE =BC ,ABEA DBC .AE= DC.(2) /A ABEA DBC , ./ EAB=Z CDB .又 / QAB + Z OBA = Z ODH +Z OHD , ./AHD

8、=/ABD = 60°.(3)过B作AH、DC的垂线，垂足分别为点 M、N.ABEA DBC,-SaABE = SaDBC 即 1AE BM= 1CD BN.22又 ae = cd,BM =BN.HB 平分/ AHC .3.在线段AE同侧作等边 ABC和等边 CDE (/ ACEV120。)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点.求证： CPM是等边三角形.答案：证明：ABC和 CDE都是等边三角形,.AC=BC, CD=CE. ./ ACB=/ ECD = 60° . ./ BCE=Z ACD.BCEA ACD. ./ cbe=z cad, be = ad.又.点P与点M

9、分别是线段 BE和AD的中点, .BP= AM.在ABCP和 ACM中,BC =AC ,：._CBE =/CAD ,BP =AM ,BCPA ACM. .PC=MC, /BCP=/ACM. ./ PCM =Z ACB=60°.CPM是等边三角形.4,将等腰RtABC和等腰RtADE按图方式放置，/ A=90°, AD边与AB边重合， 人3=2人口 = 4.将4人口£绕人点逆时针方向旋转一个角度 a (0。京180°), BD的 延长线交CE于P.(1)如图，求明： bd = ce, bdxce；(2)如图，在旋转的过程中，当 ADLBD时，求CP长.答案：图图(1)二.等腰 RtABC 和等腰 RtAADE,，AB=AC, AD = AE, Z BAC=Z DAE = 90°. Z DAB= 90 -Z CAD, Z CAE=90°-Z CAD,DAB = Z CAE.ABDA ACE.BD = CE.DBA = Z ECA.CP