2021年九年级中考数学考点专题训练——专题十三：圆(含答案)

1、备战2021中考数学考点专题训练专题十三：圆1如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且BAC2CBF（1）求证：BF是O的切线；（2）若O的直径为4，CF6，求tanCBF2已知AB是O的直经，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d，B与直线CM上的连线距离的最小值为f，（1）求证：PC是O切线（2）设OPAC，求CPO的正切值（3）设AC9，AB15，求d+f的取值范围3在O中，弦AB与弦CD相交于点G，OACD于点E，过点B作O的切线BF交CD的延长线于点F（I）如图，若

2、F50°，求GBF的大小；（II）如图，连接BD，AC，若F36°，ACBF，求GBF的度数4已知ABC内接于O，点D在弦AB上，设CAB，ACD（1）如图1，当O的半径OB3，30°时，求的长；（2）如图1，试用含的代数式表示OBC的大小；（3）如图2，点P是DC延长线上的一点，连接PB若ABC，且PDPB，求证：PB是O的切线5如图，在RtABC中，ABC90°，以AB为直径的O交AC于点E，O的切线DE交BC于点F，交AB的延长线于点D（1）若BD2，DE4，求O的半径；（2）求证：BFCF6如图，AB是O的直径，OD弦BC于点F，交O于点E，连接

3、CE，AE，CD，若AECODC（1）求证：直线CD为O的切线；（2）若AB10，BC8，则线段CD的长为 7如图，AB是O的直径，点C、E位于O上AB两侧在BA的延长线上取点D，使ACDB（1）求证：DC是O的切线；（2）当BCEC时，求证：AC2AEAD；（3）在（2）的条件下，若BC4，AD：AE5：9，求O的半径8如图，四边形ABCD中，BD90°，C60°，O过点D，与AB相切于点A，与CD相交于点E，且ABDE（1）求证：BC与O相切；（2）若O的半径为5，求四边形ABCD的面积9如图，O1和O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交O1于点

4、D，点E为AD的中点，ADAB，连接O1E（1）求证：O1EO1C；（2）如果O1O210，O1E6，求AB的长10如图，AB是O的直径，点C为O上一点，CN为O的切线，OMAB于点O，分别交AC、CN于D、M两点（1）求证：MDMC；（2）若O的半径为5，AC4，求OD长；（3）在（2）的基础上求MC长11如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DEAB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AFFG（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AHAO，连结DH若点E是线段AO的中点求证：DH是O的切线12如图，在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作

5、O，交AC于点D，过点D作DEBC，垂足为点E（1）试证明DE是O的切线；（2）若O的半径为5，AC6，求此时DE的长13如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与O交于点D，E为O上一点，且满足EACACB，连接BD，BE（1）求证：ABE2CBD；（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE6，BF，求O的半径长14如图，AB为O直径，PA、PC分别与O相切于点A、C，PEPA，PE交OC的延长线于点E（1）求证：OEPE；（2）连接BC并延长交PE于点D，PAAB，且CE9，求PE的长15如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，连接AD，过点D作DEAC交

6、AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线（2）若直径AB6，求AD的长16如图，在RtABC中，ACB90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CGAB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为O的切线（1）求证：BC是O的切线（2）求证：（3）若sinABC，AC15，求四边形CHQE的面积17如图，在三角形ABC中，AB10，ACBC13，以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，直线DFAC，于点F，交CB的延长线于点E（1）求证：DF是O的切线；（2）求cosAD

7、F的值备战2021中考数学考点专题训练专题十三：圆参考答案1如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且BAC2CBF（1）求证：BF是O的切线；（2）若O的直径为4，CF6，求tanCBF【答案】（1）证明：连接AE，AB是O的直径，AEB90°，1+290°ABAC，21CABBAC2CBF，1CBFCBF+290°即ABF90°AB是O的直径，直线BF是O的切线；（2）解：过C作CHBF于H，ABAC，O的直径为4，AC4，CF6，ABF90°，BF2，CHFABF，FF，CHFABF，

8、CH，HF，BHBFHF2，tanCBF2已知AB是O的直经，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d，B与直线CM上的连线距离的最小值为f，（1）求证：PC是O切线（2）设OPAC，求CPO的正切值（3）设AC9，AB15，求d+f的取值范围【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：BP是圆的切线，BPOB，OBP90°，ACOP，OACBOP，ACOCOP， 又OAOC，OACACO，COPBOP，在OCP和OBP中，OCPOBP（SAS），OCPOBP90°，PCOC，PC是圆的切线；（2）解：连接BC，交

9、OP于H，如图2所示：由（1）得：COHBOH，OBOC，OHBC，BHCH，OAOB，OH是ABC的中位线，OHAC，OPAC，设AC2a，则OP3a，OHa，HP2a，OCP90°，OCH+PCH90°，CPH+PCH90°，OCHCPH，OHCCHP90°，OHCCHP，HC2OHHPa×2a2a2，HCa，tanCPO；（3）解：连接BC，过点A作ANCM于N，过点B作BSCM于S，如图3所示：则dANAMsinAMC，fBSBMsinSMB，d+fAMsinAMC+BMsinSMB，AMCSMB，d+fsinAMC（AM+BM）ABs

10、inAMC，当AMC最大，d+f最大，即CMAB最大，此时，d+fAB15，当AMC最小，d+f最小，即M在B点AMCABC，与M在A点AMCCAB时最小，AB是O的直经，ACB90°，由勾股定理得：BC12，BCAC，ABCACB，M在B点时，AMC最小，此时，d+fAC9，9d+f153在O中，弦AB与弦CD相交于点G，OACD于点E，过点B作O的切线BF交CD的延长线于点F（I）如图，若F50°，求GBF的大小；（II）如图，连接BD，AC，若F36°，ACBF，求GBF的度数【答案】解：（I）如图，连接OB，BF为O的切线，OBBF，OBF90°

11、，OACD，OED90°，AOB180°F180°50°130°，OAOB，OBAA（180°130°）25°，GBF90°OBA65°；（II）如图，连接OB，BO的延长线交AC于H，BF为O的切线，OBBF，ACBF，BHAC，与（）方法可得到AOB180°F180°36°144°，OAOB，OBAOAB（180°144°）18°，GBF90°OBA90°18°72°4已知ABC内接

12、于O，点D在弦AB上，设CAB，ACD（1）如图1，当O的半径OB3，30°时，求的长；（2）如图1，试用含的代数式表示OBC的大小；（3）如图2，点P是DC延长线上的一点，连接PB若ABC，且PDPB，求证：PB是O的切线【答案】解：（1）如图1，连接OC，CAB30°，COB2CAB60°，OB3，的长为即的长度为；（2）OBOC，OBCOCB，BOC2CAB2，（3）证明：如图2，延长BO交O于点E，连接OA、OC、AE，AOC2ABC2ACD2，BOC2CAB2，AOB2+2AOB2E，2E2+2E+PBPD，PBDPDB+BE是O的直径，E+ABE90&

13、#176;，+ABE90°PBD+ABE90°即EBP90°PB是O的切线5如图，在RtABC中，ABC90°，以AB为直径的O交AC于点E，O的切线DE交BC于点F，交AB的延长线于点D（1）若BD2，DE4，求O的半径；（2）求证：BFCF【答案】（1）解：连接OE，如图，DE为O的切线，OEF90°，设O半径为x，则OBOEx，BD2，ODOB+BDx+2，在RtDEO中，OE2+DE2OD2，x2+42（x+2）2，解得x3，即O半径为3；（2）证明：连接BE，如图，AB为O的直径，AEB90°，CEB90°，CBE

14、+C90°，CEF+FEB90°，ABC90°，BC为O的切线，DE为O的切线，BFEF，CBEBEF，CCEF，CFEF，BFCF6如图，AB是O的直径，OD弦BC于点F，交O于点E，连接CE，AE，CD，若AECODC（1）求证：直线CD为O的切线；（2）若AB10，BC8，则线段CD的长为 【答案】（1）证明：连接OC，CEACBA，AECODC，CBAODC，又CFDBFO，DCBBOF，COBO，OCFB，B+BOF90°，OCF+DCB90°，直线CD为O的切线；（2）解：连接AC，AB是O的直径，ACB90°，DCOAC

15、B，又DBOCDACB，ACB90°，AB10，BC8，AC6，即，解得；DC，故答案为：7如图，AB是O的直径，点C、E位于O上AB两侧在BA的延长线上取点D，使ACDB（1）求证：DC是O的切线；（2）当BCEC时，求证：AC2AEAD；（3）在（2）的条件下，若BC4，AD：AE5：9，求O的半径【答案】（1）证明：连接OCAB是O的直径，ACB90°，CAB+B90°，OAOC，CAOACO，ACO+B90°，又ACDB，ACD+ACO90°，DCO90°，DC是O的切线；（2）解：连接BEBCEC，CABCBE，四边形CAE

16、B内接于圆，CBE+CAE180°，又CAD+CAB180°，CADCAE，又ACDB，BAEC，ACDAEC，ACDAEC，AC2AEAD；（3）解：设AD5k，AE9k，则AC3k，ACDAEC，CD，DD，ACDCBD，DCADBC，CD2DADB，DB，AB5k，ACB90°，AC2+BC2AB2，（3k）2+（4）2（）2，整理得：81k4+684k23200，（9k2+80）（9k24）0，k2，k0，k，AB10，O的半径为58如图，四边形ABCD中，BD90°，C60°，O过点D，与AB相切于点A，与CD相交于点E，且ABDE（

17、1）求证：BC与O相切；（2）若O的半径为5，求四边形ABCD的面积【答案】解：（1）连接AE，D90°，AE是O的直径，过O作OFBC于F，AB是O的切线，OAB90°，B90°，OABBOFB90°，四边形ABFO是矩形，ABOF，BD90°，C60°，DAB120°，DAE30°，DEAEAO，ABDE，OFOA，BC与O相切；（2）由（1）知，ABAO5，AE10，过E作EHBC于H，则BHAE10，EHAB5，C60°，CHEH，BC10+，在RtADE中，DEAB5，ADDE5，四边形ABCD

18、的面积+（10+10+）×525+9如图，O1和O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交O1于点D，点E为AD的中点，ADAB，连接O1E（1）求证：O1EO1C；（2）如果O1O210，O1E6，求AB的长【答案】（1）证明：连接O1A，O1EAD，AE，O1和O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O1CAB，ACAB，ABAD，AEAC，在RtO1EA和RtO1CA中，RtO1EARtO1CA（HL）O1EO1C；（2）解：设O2的半径长为r，O1EO1C6，O2C1064，在RtO1EO2中，O2E8，RtO1EARtO1CA，ACAE8r，在Rt

19、ACO2中，O2A2AC2+O2C2，即r2（8r）2+42，解得，r5，AC853，AB2AC610如图，AB是O的直径，点C为O上一点，CN为O的切线，OMAB于点O，分别交AC、CN于D、M两点（1）求证：MDMC；（2）若O的半径为5，AC4，求OD长；（3）在（2）的基础上求MC长【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：CN为O的切线，OCCM，OCA+ACM90°，OMAB，OAC+ODA90°，OAOC，OACOCA，ACMODACDM，MDMC；（2）解：由题意可知AB5×210，AC4，AB是O的直径，ACB90°，BC2，AODACB

20、，AA，AODACB，即，可得：OD2.5，（3）解：设MCMDx，在RtOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2x2+52，解得：x，即MC11如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DEAB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AFFG（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AHAO，连结DH若点E是线段AO的中点求证：DH是O的切线【答案】证明：（1）如图1，连接AD、BC，AB是半圆O的直径，ADB90°，DEAB，ADEABD，又AFFG，即点F是RtAGD的斜边AG的中点，DFAF，DAFADFABD，又DACDBC，ABDDBC，

21、即点D平分；（2）如图2所示，连接OD、AD，点E是线段OA的中点，AOD60°，OAD是等边三角形，ADAOAH，ODH是直角三角形，且HDO90°，DH是O的切线12如图，在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，过点D作DEBC，垂足为点E（1）试证明DE是O的切线；（2）若O的半径为5，AC6，求此时DE的长【答案】（1）证明：连接OD、BD，AB是O直径，ADB90°，BDAC，ABBC，D为AC中点，OAOB，ODBC，DEBC，DEOD，OD为半径，DE是O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，ADCD3，O的半径为5，AB

22、6，BD，ABAC，AC，ADBCED90°，CDEABD，即，DE313如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与O交于点D，E为O上一点，且满足EACACB，连接BD，BE（1）求证：ABE2CBD；（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE6，BF，求O的半径长【答案】解：（1）AB是O的直径，ADB90°，即DAB+DBA90°，BM是O的切线，ABBC，ABC90°，即CBD+DBA90°，DABCBD，ABC90°，ACB90°BAC，EACACB，EAC90°BAC90&

23、#176;（EACBAE），BAE2EAC90°，AB是直径，AEB90°，ABE90°BAE90°（2EAC90°）2（90°EAC）2（90°ACB）2CAB2CBDABE2CBD；（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，DOB2BAD，ABE2CAB，DOBABE，DGBE，AGOAEB90°，AGEGAE3，AOGDOF，OAOD，AOGDOF（AAS）DFAG3，又OFOBBFOD，在RtDOF中，根据勾股定理，得OD2DF2+OF2，即OD232+（OD）2，解得OD答：O的半径长为14如图，AB为O直

24、径，PA、PC分别与O相切于点A、C，PEPA，PE交OC的延长线于点E（1）求证：OEPE；（2）连接BC并延长交PE于点D，PAAB，且CE9，求PE的长【答案】（1）证明：连接OPPA、PC分别与O相切于点A，CPAPC，OAPA，OAOC，OPOP，OPAOPC（SSS），AOPPOC，EPPA，EPBA，EPOAOP，EOPEPO，OEPE（2）设OArOBOC，OBCOCB，OBED，EDCB，OCBECD，ECDEDC，ECED9，EOEP，OCDPr，PC是O的切线，OCPC，OCPPCE90°，在RtPCE中，PE2PC2+EC2，（9+r）292+（2r）2，解得

25、：r6或0（舍弃），PE1515如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，连接AD，过点D作DEAC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线（2）若直径AB6，求AD的长【答案】（1）证明：连接OD，BOD180°60°，EADDABBOD30°，OAOD，ADODAB30°，DEAC，E90°，EAD+EDA90°，EDA60°，EDOEDA+ADO90°，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD，AB为O的直径，ADB90°，DAB30°，AB6，BDAB3，AD316如图，在RtABC中，ACB90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CGAB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦