动态电力系统课程第三章

1、电力系统小扰动稳定性分析(续)1小干扰稳定性 稳定性分析 Lyapunov第一方法 如果全部特征值具有负实部，则系统是渐近稳定的。 如果最少有一个特征值具有负实部，则系统是不稳定的。 如果有些特征值实部为0，其稳定性不定。When the eigenvalues have real parts equal to zero, it is not possible on the basis of the first approximation to sayanything in teral.2小干扰稳定性 状态矩阵特征性能 特征值设矩阵A的特征值为，则有以下方程成立A：F：n ´ n 矩

2、阵n ´1 矢量Af = lf( A - lI )f = 0也可以写为det( A - lI ) = 0行列式展开就是特征方程，决定了n个特征值l1L ,ln,3小干扰稳定性 特征向量对于任意li ，存在n维列向量 fi ，并满足Afi= lfiii = 1 , L , n称为 l 的右特征向量= fT其中 f, f, L fii1 i2 iniy类似，对于l 存在n维行向量i，并满足iy = lyiii则称y i 为li 的左特征向量y fl¹ l= 0特征向量性质：jiijy f= Cl= liiiij规格化后y f= 1ii4小干扰稳定性 模态矩阵引入下列矩阵F =

3、f1f nf2yLY = yTyT1T2TnLl2L = diagl1l nF = FLYF = I, L ,AFi = li FiYi Fi= 1Y = F-1i = 1, L,i = 1, L,nnYAF = LF-1AF = L5小干扰稳定性 动态系统的自由运动忽略， 即有Dx& = ADxD x = f ZZ& = f -1AfZ = LZ对状态变量作变换fZ&= A fZ= li ziL = diag (l1 ,L, ln )l tzi (t) = zi (0)e iz&i是zizi (0)的初始状态é z1 (t ) ùLfn &

4、#234;Mú反变换： Dx (t ) = fZ (t ) = f1f2êúêë zn (t )úû6小干扰稳定性nål tf z (0)eDx(t) =iiii=1Z (t) = F-1Dx(t) = YDx(t)zi (0) = y iDxi (0)nzi (t) = y i Dx(t)å iif c elD x ( t ) =tC = y Dx(0)iiii =1l tl tl tDx (t) = f c e+ f c e+Lf c e展开12ni1i 12i2nin 借助于特征值，左、右特征值向量

5、，可以表示出状态运动的轨迹。 状态轨迹可表示为n个特征值所对于的线性组合。7小干扰稳定性 特征值与稳定性实特征值对应振荡模式 （non-oscillatory mode）负特征值对应于衰减模式 （decaying mode）正特征值对应周期不稳定模式 （aperiodic instability）复特征值对应于振荡模式 （oscillatory mode）wf =定义： 振荡频率阻尼比l = s ±jw2px =- ss 2+ w2x 决定了振荡幅值的衰率， 1定义为幅值衰减s时间常数，即幅值衰减至初始幅值1 （37）时所用时es 。间为18特征值对应的轨迹行为：9特征值对应的轨迹行

6、为：10小干扰稳定性 灵敏度与参与因子Afi = lifi对于用特征值与特征向量表示的方程设 akj 是矩阵A的第k行第j列元素，上式对 akj 微分有f= ¶li¶fi¶¶Af + Af + liiii¶a¶a¶a¶akjkjkjkjy i用左乘上式方程有f¶li¶fi¶¶Ayf +y A=yf +y lii¶aii¶ai¶aiii¶akjkjkjkj¶lify¶A f -y¶f = y( A - l I

7、 )iiiiiii¶a¶a¶akjkjkj¶A f = ¶liy f = 1yy ( A - l I ) = 0iiii¶a¶aiikjkj11小干扰稳定性因为é00ùLLM 1L M 0LêMMúê=0ú0¶A第k行êúMúL¶aêMkjêêë0ú0úûL第j列¶li=yfl对 a故的灵敏度ikji¶akjikj引入参与矩阵

8、（participation matrix）PP = P P LPn 1212小干扰稳定性éf1iy i1 ùé P1i ùêP úêf yú其中P = P PL Pn 12P = ê2i ú = ê 2ii 2 úiê M úêMúêP úêf yúë ni ûë niin ûPki = fkiy ik意义为参与因子，它表示了第i个模式中第k个状态变量的相

9、对参与度。fki表示第i个模式中 x k因为的activityy ik衡量这种activity对这个模式的贡献显然，规格化以后，参与因子的和总为1，即nnå Pkik =1å Pki= 1= 1i=1¶li其次有P=参与因子与灵敏度关系ki¶a13kk小干扰稳定性。+RL例题一 对于RLC电路v0Cvi。-v0 到 vi的微分方程为d 2vdvLC0 + RC0 + v0= vidtdt写成d 2v0dv0+ (2xwn )+ w v0 = wn vi22dt 2dt其中1wn =无阻尼自然频率LCx=(R 2)阻尼比L C14小干扰稳定性= dv0x=

10、 vu = vy = v= x,定义xi01102dt则有状态方程dx1= x2dtdx 22 x2 u= -w- (2xw)x+ wn1n2ndtéxùé01- 2xwù éùxé0ùu&Þ1=1+êx&úê- wú êx úêw2 ú2ë2 ûën û ë2 ûënûnéùxy = 1A特征值的0+ 0u1&

11、#234;x úë2 û- l1= 0- w2- 2xw- lnn15小干扰稳定性l = -xw + wx2x 2-1-1求出1nnl = -xw- w2nn右特征向量(A - lI)f = 0é - liéf1i ù = é0ùù1ê- w- l úêfúê0ú2- 2xwëi ûë 2i ûë û(A - lI)f = 仅0 给出 n-1个nn一般，一个 n 阶系统，或f1i，f若2

12、if1i，= 1程， 因此对于以上2 阶系统，需给定一个令对l1 有féùééù11 ùf=11=ê- xw- 1úêfúêl ú1+ wx2ë 21 ûë 1 ûëûnn对 l2有féùé ùéù11f=12=êfúêl úê- xw- 1ú2- wx2ë 22 ûë

13、2 ûëû16nn小干扰稳定性显然：l1 l2x > 1 ,x = 1 ,x < 1 ,都是实的并且为负l1 = l2 = -wnl = -xwn± jwn1 - x2= s ± jw1 - x2q =cosx = tan-1 (-1)x17小干扰稳定性 电力系统小干扰稳定性计算 采用经典模型的单机无穷EtEB无穷大母线GZeq=RE +jXE设发电机采用经典模型，即E恒定，并忽略所以电 阻，其等值电路可表示为18小干扰稳定性其功率表Se = Pe +为 ¢jQe = E I t*j E¢(E¢ - E

14、B cosd )= E¢EB sind +XSXS= E¢EBsin dPe其中XS由发电机的转子运动方程d& = wo (wr - 1)1w&(Pm - KD(w=- 1) - Pe)r2HrDd& = w0Dwr在d = d 0 点线性化有1KD1Dw&r =Dwr -DPm -DPe2H2H2H19小干扰稳定性= E¢EBcosd 0Dd = KdDdDPe因为XS其向量矩阵形式为w0éùéù00é Dd ùé Dd& ùú =

15、ê- Ks + êúD- KD ú 1 PmêêúDwëDw&r ûêë2H úûêë 2H úûër û2H20小干扰稳定性其状态框图如下图所示21小干扰稳定性从上图可以推出 Dd 的表为w0é1ùDd =êë 2Hs (-KsDd - KDDwr + DPm)úûsw0Ddw0é1ùDd -=(-K+ DPm)

16、50;KDSêss2Hsëûw0K 0KSw0)Dd =整理后得：(S 2+S +DPm2H2H2HK 0KS特征方程为w0 = 0+S +S 22H2H其通用形式为+ 2xwnS + wn 2= 0S 222小干扰稳定性可知无阻尼自然振荡频率w0 2Hrad/swn =KSx = 1KD= 1KD阻尼比2 2HwnKSw02注释：当同步转矩系数KS 增加时，自然振荡频率增加，阻尼比下降。 当阻尼系数KD增加时，阻尼比增加。和 x 当惯性常数H增加时，均下降。n23小干扰稳定性 考虑同步发电机励磁绕组动态的单机无穷考虑励磁动态的发电机微分方程组ìd&am

17、p; = w (w- 1)ïï0r1ïw&r(Tm - Te - KD (wr - 1)=í2H1ïïE& ¢ =(-E¢ - ( X- X ¢ )I+ E)ïqqdddfdTîdo= Eq¢Vssin d=&TP其中ee'XdS= Eq¢ - Vs cosdIdX ¢dSE fd 是励磁绕组的输入电压24小干扰稳定性上式的线性化方程：Dd& = w0Dwr1K1K2KDw&Dd -Dw¢=DT-D

18、1E -Drmqr2H2H2H2H1KDE& ¢ = -¢Dd +D-DEE4qT ¢ KqfdTTdo3dodo= Eq¢oVscosdK式中10'XdSVssin dK=2X ¢0dSXdSK=3X ¢dS- X d¢ VXdsin dK=X ¢4s025dS小干扰稳定性其小信号框图为T3 = Tdo K3 = Td¢DTe = K1Dd + K2DEq¢图中由DTe= DTe若d恒定K=若E¢恒定K2DE ¢Ddq1q26小干扰稳定性因为转矩分量K1Dd

19、与Dd同相位，称其为同步转矩分量当励磁不调节，即 DEfd = 0 ，由框图可导出DTe= - K2 K3K4由DE ¢引起的Dd1 + ST ¢qdLad因为yE¢ =qfdLffds = jw ® 0注： 当振荡频率非常低时，即由DEq¢调节引起的电磁矩阵DTe = -K2 K 3K4Dd是一个负的同步转矩27小干扰稳定性定义同步转矩系数KS若KS= K1KS= K1 KS= K1- K2 K3K4- K2 K3K4- K2 K3K4> 0= 0< 0系统稳定系统临界稳定系统单调失稳1时，则由DE¢调节引起的电磁矩阵当

20、振荡频率s = jw >>q'Td» - K2 K 3K4 Dd = K2 K 3K4jDdDTejwT ¢wT ¢dd与Dwr同相位，因此由DEq¢调节产生的电磁转矩称为阻尼转矩。28小干扰稳定性 产生正阻尼或负阻尼取决于系数K4。若精确计算，考虑输电线的电阻，则( Xd - X d¢ )VS( X+ X ) sin d- R cosd K=4qe0e02R+ ( X+)eqe（若Re=0时，上述系数与前面导出的K4是相同的）当发电机接入电力系统的方式是远距离，并且传输功率比较大时，即意味着输电线路组抗不可忽略、发电机的功

21、角运行点比较大，有可能发生K4 < 029小干扰稳定性 励磁的作用实际中，励磁对电力系统稳定性是非常重要的。为分析方便起见，通常采用以下的简化：它的线性化方程1+ KADE&= -DE(DV- DE )fdfdreftTTRR30小干扰稳定性因为相端电压Et可表示为d和Eq¢函数，故d + K DDE = K D'qEt56其中= ¶Et= Vs Xd Etqo A Rcosd) sin d - ( X+ XK¶d5e0qe0EtoV X EA¢X ) cosd+ R sin d -sqtdo+( Xde0e0Eto= ¶

22、Et= Etqo) - Etdo1 - AKAX R6¶E¢eqeEEqtoto1A =2R+ ( X+)eqe31小干扰稳定性相应的传递函数Gex (s) = KA若采用可控硅快速励磁由图可以导出由DE¢q变化引起的电磁转矩变化- K2 K3K4 (1 + STR ) + K5KA DT =eS 2T T + S(T + T ) + 1 + K K KR3R334A32小干扰稳定性例题分析：某单机无穷的参数有K1 = 1.591 ,K5 = -0.12K2 = 1.5 ,K3 = 0.333 ,K4 = 1.8, K6 = 0.3 , T3 = 1.91 , T

23、R = 0.02H = 3.0 , KD = 0.0稳定的同步转矩系数jw = 0时，由DE¢q引起的同步转矩系数当s = 0.06KA - 0.9 DdDTe1 + 0.1KA= 0.06KA - 0.9K即S ( DEq¢ )1 + 0.1KA= 1.591 + 0.06KA- 0.9总的同步转矩系数K= K + KS ( DEq¢ )S11 + 0.1KA33小干扰稳定性注： 当KA = 15 时KS = K1当 KA > 15 时= 0即KS ( DE¢ )qKS = K1 + K> K1提供正的同步转矩¢S ( DE )q

24、当 KA < 15 时KS = K1 + K< K1提供负的同步转矩¢S ( DE )q当 K5 由负变正的时候,AVR提供负的同步转矩34小干扰稳定性 在振荡时的阻尼和同步转矩分析= 1.5(-0.6 - 0.333K5KA - 0.012S ) DdDTDEq¢e0.0382S 2 + 1.93S + 1 + 0.1KA当 s = jw = j10 时，即= 10 2p =& 1.6Hzf，= - 0.9 - 0.5K5KA - j0.18 DdDTDEq¢e- 2.82 + 0.1K+ j19.3AK5 = -0.12， KA = 200设11.1 - j0.18DdDT=DEq¢e17.18 + j19.3= 0.2804Dd - 0.3255( jDd ) = KS ( DE+ K)35小干扰稳定性总的同步转矩系数为K