第12章 液体流动的流场理论

1、第十二章第十二章 液体三元流理论基础液体三元流理论基础12-1 概述12-2 运动液体质点的流速、加速度12-3 流线方程及迹线方程12-4 液体微团运动的基本形式12-5 有旋流和无旋流12-6 液体流动的连续性方程第十二章 液体三元流理论基础 探索液体运动规律有流束理论和流场理论两种不同的途径。流束理论： 将液体看作是一元流动，只考虑沿流束轴线方向的运动，而忽略与轴线垂直方向的横向运动，因而不是液体运动的普遍理论。12-1 概述流场理论： 把液体运动看作是充满一定空间（流场）而由无数液体质点组成的连续介质运动，研究流场中每个液体质点的空间位置、流速、加速度、压强等运动要素之间的关系。是研究

2、液体的三元流动，具有普遍意义。),(),(),(tzyxfutzyxfutzyxfuzzyyxx12-2 运动液体质点的流速、加速度描述液体的运动有两种方法： 拉格朗日法和欧拉法。在水力学中应用广泛的是欧拉法。 一般情况下同一时刻不同空间点( x , y , z)上液体的运动要素是不同的，即使在同一空间点上运动要素也是随时间 t 而变化的。所以各种运动要素是空间位置( x , y , z )和时间 t 的连续函数。在时刻 ，A点的流速变为 ，而 点的流速则变为在时刻t，某一液体质点通过渐变段上的A点，经过时间 该液体质点运动到新的位置 。在时刻t，A点流速为 ， 点的流速为 。AxuAdxxu

3、uxxdxxuuttAddddxxxxxxxuuuuudxuxtuxtxtxxtdtdttdddxxxxxxxxuuuxtuuuxtauttx因此该液体质点通过A点时的加速度应为式中第一项叫做时变加速度，第二项叫做位变速度。zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx 恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看液体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。ddxyzuuuttxyzddxyzpppppuuuttxyz 由此可知一个液

4、体质点在空间点上的全加速度应为时变加速度和位变加速度之和。这种概念同样适用于液体的密度与压强。恒定流000ttptututuzyx 流场中液体质点通过任一空间点时所有运动要素都不随时间而改变叫恒定流。 如果流场中液体质点通过任一空间点时至少有一个运动要素是随时间而改变的这种流动叫非恒定流。12-3 流线方程及迹线方程拉格朗日法：研究液体中各个质点在不同时刻运动的 变化情况；欧拉法：研究在同一时刻研究不同质点的运动情况。 前者引出了迹线的概念，后者建立了流线的概念。在右图流线AB上取微分段 dsddddxyzxyzsuuuuddddddxyzsxuusyuuszuu即可得流线方程某一液体质点在不

5、同时刻所流经的路线叫迹线。dcosddcosddcosdxyzuxsuuysuuzsu其方向余弦为dddyxzuuuxyzddddddxyzxutyutzutdddxyzxyzuuu根据定义有由此得到迹线微分方程式恒定流时，迹线和流线重合。可用下列微分方程式表示dxxuuxxdyyuuxxdzzuuxx12-4 液体微团运动的基本形式 在液体中取一个微分平行六面体，各边长 取一角点 ，令该点在各坐标轴上的分速度为 。由泰勒级数，Q角点速度为沿x方向沿y方向沿z方向同理可写出微分平行六面体每个角点的分速度。d ,d ,dxyz,xyzu u u( , , )P x y z 平行六面体的整个变化过

6、程可看作是由下列几种基本运动形式所组成：一、位置平移。二、线变形。三、边线偏转： (1)角变形；(2) 旋转运动。d dd dd dd dd dd dxxyyzzux tuxxx txuy tuyyy tyuz tuzzz tz方向方向方向ddxutzddzutx二、线变形三、角变形和旋转同理yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx212121yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx212121（1）角变形（2）旋转运动021021021yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx12-5 有旋流和无旋流 无旋流是液体质点没有绕自身轴旋转的运动，也就应满足下列条件：ddddxyzuxuyuz

7、流场中所有液体质点的旋转角速度都等于零，即 无旋流，则必有流速势函数存在，所以无旋流又称为势流（无涡流）。 有旋流（有涡流）可用旋转角速度的矢量来表征，引用所谓涡线、涡束等概念。 涡线是某一瞬时在涡流场的一条几何曲线，在这条曲线上各质点在同一瞬时的旋转角速度的矢量都与该曲线相切。涡线的作法与流线相似。dddxyzxyz 与流束相类似，任意取一微小面积，通过该面积各点作出一束涡线，称为微小涡束。 类似于流量，若微小的涡束的横断面积为 ，旋转角速度为 ，则 称为微小涡束的涡旋通量，或称为涡旋强度。dd 1limcoscos dcos( ,d )dnecususuuss 称为沿封闭周线C的速度环量。

8、(ddd )xyzcuxuyuz 速度环量可写成：d AAc 若液体的运动是无旋的，必有流速势函数存在 当流速势为单值时，沿无旋流空间画出的任意封闭周线的速度环量都等于零。0AAddd d d22xxuxxuy z txxddd d d22xxuxxuy z txx12-6 液体流动的连续性方程式现设想在流场中取一空间微分平行六面体取如图所示。经一微小时段 自左面流入的液体质量为：自右面流出的液体质量为dt()d d d d()d d d dyzuyx y x tyuzx y x tyz在 方向为在 方向为 时段内流进与流出六面体的液体质量之差：dt()()()d d d dyxzuuux y z txyz时间内流进与流出六面体总的液体质量的变化为dtd d d dx y z tt故经过 时段后六面体内质量总变化为 在同一时段内，流进与流出六面体总的液体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等。dt()