第八章二元一次方程组复习与小结

1、第八章第八章 二元一次方程组二元一次方程组实际问题实际问题数学问题数学问题（二元或三元一次方程组）（二元或三元一次方程组）实际问实际问题题的的答案答案 数数学问题学问题的解的解（二元或三元一次方程组的解）（二元或三元一次方程组的解）检验检验代入法代入法加减法加减法（消元）（消元）解解方方程程组组设未知数，列方程组设未知数，列方程组本章知识结构本章知识结构关于定义关于定义3 3. .二元一次方程组的两个方程左、右两边二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的值都相等的两个未知数的值，叫做二元二元一次方程组的解一次方程组的解1 1. .含有两个未知数，且未知项次数是含有两

2、个未知数，且未知项次数是1 1的方的方程，叫做程，叫做二元一次方程二元一次方程2 2. .含有两个未知数的两个一次方程所组成的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程一组方程, ,叫做叫做二元一次方程组二元一次方程组二元一次方程（组）二元一次方程（组）三个条件1.1.二元一次方程二元一次方程必须含有两个未知数必须含有两个未知数如如y+3=0+3=0，3 3x+5+5 y+2z = 0 +2z = 0 都不是二元一次方程都不是二元一次方程. .2.2.二元一次方程中二元一次方程中未知数的项的次数都是未知数的项的次数都是1 1. .如方程如方程 x y +2=0+2=0，虽然含有两个未知数，而

3、且未知数的次数，虽然含有两个未知数，而且未知数的次数都是都是“1”“1”，但整个，但整个 x y这一项是二次，所以它不是这一项是二次，所以它不是二元一次方程二元一次方程. .3.3.二元一次方程是二元一次方程是整式方程整式方程. .如方程如方程 就不是二元一次方程，因为就不是二元一次方程，因为 不是整式不是整式. .01yx01yx二元一次方程的一般形式：二元一次方程的一般形式：ax+ +by+ +c=0=0（a,b,c为常数，且为常数，且ab00）二元一次方程组的一般形式：二元一次方程组的一般形式：a1x+b1y+c1=0=0，a2x+b2y+c2=0,=0,其中其中a1b10,0,a2b2

4、0.0.三元一次方程的一般形式：三元一次方程的一般形式：ax+ +by+ +cz+d=0=0（a,b,c为常数，且为常数，且abc00）三元一次方程组的一般形式：三元一次方程组的一般形式：a1x+b1y+c1z+d1=0=0a2x+b2y+c2z+d2=0=0a3x+b3y+c3z+d3=0其中其中a1b1c10,0,a2b2c20, 0, a3b3c30.0.1 1下列是二元一次方程的是下列是二元一次方程的是 （ ）A.3A.3x-6=-6=x B.3 B.3x=2y=2yC.2C.2x+ D.2+ D.2x-3y=-3y=xy y13yB B2 2若方程若方程 是关于是关于x、y的二元一次

5、方程，则的二元一次方程，则m+n=m+n= . . 05332nmyx1 11312nm由由解得解得21nm3.3.下列各方程组中，属于二元一次下列各方程组中，属于二元一次 方程组的是方程组的是 （ ）A.A. B.B. C.C. D.D.5723xyyx212zxyx2432yxxy322135yxyx C C关于定义关于定义 适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，都叫做二元一次方程的一个解都叫做二元一次方程的一个解. .要注意二元一次方要注意二元一次方程的解是一组数程的解是一组数. . 32xy 这里要特别注意的是：这里要特别注意的是：x =-3=

6、-3不是方程不是方程 x+ +y=-5=-5的一个解；的一个解；y=-2 y=-2 也不是方程也不是方程 x+ +y =-5 =-5 的一个的一个解，只有把它们组合在一起，才是二元一次方解，只有把它们组合在一起，才是二元一次方程程 x+ +y=-5=-5的一个解的一个解. . 11yx10yx72yx01yx4.在在 中，是方程中，是方程 的的 解有解有 ；12 yx13 yx 是方程是方程 的的解有解有 ；、 方程组方程组 的的解是解是 13 yx12 yx10yx . .-2-2解：解：- -a=10=10由已知得：由已知得：解得：解得：a+5+5b=10=102+2+a=3=3bx=1=

7、1y=-1=-17.7.已知二元一次方程已知二元一次方程2 2x+3y =15+3y =15(1)(1)用含用含x x的代数式表示的代数式表示y;y;(2)(2)求出该方程的正整数解求出该方程的正整数解; ;y=y=3215x( (或写成或写成y=5- )y=5- )x32x=3=3y=3y=3x=6=6y=1y=18.8.四川雅安地震期间，为了紧急安置四川雅安地震期间，为了紧急安置6060名地震名地震灾民，需要搭建可容纳灾民，需要搭建可容纳6 6人或人或4 4人的帐篷，若所人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这6060名灾民，则不同的搭建方

8、案有（）名灾民，则不同的搭建方案有（） A A1 1种种 B B1111种种 C C6 6种种 D D9 9种种 C C 解二元一次方程组的解二元一次方程组的数学数学思想思想：解二元一次方程组的解二元一次方程组的方法方法 一元一次方程一元一次方程 代入消元法代入消元法加减消元法加减消元法消消 元元 关于解法关于解法3 3. .解二元一次方程组的步骤是什么？解二元一次方程组的步骤是什么？1 1. .解二元一次方程组你有几种方法？解二元一次方程组你有几种方法？两种：代入法和加减法两种：代入法和加减法消元：把二元一次方程转化为一元一次方程消元：把二元一次方程转化为一元一次方程2.2.代入法和加减法解

9、方程组，代入法和加减法解方程组，“代入代入”与与 “加减加减”的目的是什么？的目的是什么？代入消元法的步骤代入消元法的步骤将其中一个方程化为用含一个未知数的代数式将其中一个方程化为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，如：表示另一个未知数的形式，如：y=ax+b的形式的形式将将y=ax+b代入另一个方程，消去代入另一个方程，消去y,得到一个关得到一个关于于x的一元一次方程；的一元一次方程；解关于解关于x的一元一次方程；的一元一次方程；将将x的值代入的值代入y=ax+b中，求出中，求出y的值；的值；检验后写成方程组解的形式。检验后写成方程组解的形式。代入法解二元一次方程组代入法解二元一次

10、方程组x=3 解：由（解：由（1）得）得 x =10+7y (3) 将（将（3）代入（）代入（2）得）得3(10+7y)+y-8=0 22y=-22 y=-1 把把y=-1代入（代入（3）得）得 x =10+7(-1) x =3 x-7y=10 (1) 3x+y-8=0 (2)注意：注意：检验要使每个方程都成立，检验要使每个方程都成立，检验过程可以省略不写。检验过程可以省略不写。解法二：变形解法二：变形（2 2）也行，一般有也行，一般有一个方程的未知数系数为一个方程的未知数系数为1（或（或没有常数项）的方程组用代入法简没有常数项）的方程组用代入法简单。单。y=-1y=-1是原方程组的解是原方程

11、组的解加减消元法的步骤加减消元法的步骤 使相同未知数的系数相同或相反（若不同使相同未知数的系数相同或相反（若不同a a . .成倍数关系，成倍数关系，b b. .不成倍数关系，利用等式的基不成倍数关系，利用等式的基本性质使之变成相同或相反本性质使之变成相同或相反) )； 利用等式的基本性质将两个方程相加利用等式的基本性质将两个方程相加( (系数相系数相反反) )或相减或相减( (系数相同系数相同) )，消去一个未知数得到一，消去一个未知数得到一个一元一次方程；个一元一次方程； 解一元一次方程求出一个未知数的值；解一元一次方程求出一个未知数的值； 将这个未知数的值代入到一个二元一次方程解将这个未

12、知数的值代入到一个二元一次方程解出另一个未知数的值；出另一个未知数的值； 检验后写成方程组解的形式检验后写成方程组解的形式. .加减法解二元一次方程组加减法解二元一次方程组 解法二：解法二： (1)2 得6x+4y=8(3) (2)3 得6x-12y=48(4) (3)-(4) 得16y=-40 y=-2.5把y=-2.5代入(1)得 3x+2(-2.5)=4 3x=9 x=3解：解： (1)(1)2 2得得 6x+4y=8 (3) (3)+ (2)得得 8x=24 x=3把把x=3代入代入(1)得得 23-4y=16 -4y=10 y=-2.53x+2y=4 (1)2x-4y=16 (2)x

13、=3y=-2.5是原方程的解是原方程的解 x=3 y=-2.5是原方程的解是原方程的解下列方程组各选择哪种消元法来解比较简便下列方程组各选择哪种消元法来解比较简便? ?代入法代入法加减法加减法加减法加减法想一想：想一想：（2 2） 2 2x+3y=21+3y=21 2 2x-5y=5-5y=5（1 1） y=2y=2x 3x-4y=53x-4y=5（3 3） 9 9x-5y=1-5y=1 7y+97y+9x=2=253c2byxyax（1）在解方程组在解方程组时，小张正确的解时，小张正确的解了方程组中的了方程组中的C 得到方程组的解为得到方程组的解为试求方程组中的试求方程组中的a、b、c的值。

14、的值。探索与思考探索与思考,小李由于看错小李由于看错x=1=1y=2=2x=-3=-3y=1=1232004200520032200520042006xyxyxyxy（ ）若求:的值。解：由方程解：由方程- -得：得：- -x+y=-3+y=-3， 即即 x -y=3;-y=3; 由方程得：由方程得：40094009 x +4009y=4009, +4009y=4009, 即即 x +y=1;+y=1; 28313232yxyx方程组方程组 有相同的有相同的 解，求解，求a , b 的值。的值。23343953171yxyxbyaxbyax与31311738138171383823343953

15、:bababababyaxbyaxyxyxyxyx解这个方程组得得代入方程组把得由方程组解4. m , n 为何值时，为何值时， 是同类项。是同类项。5223252yxyxnnmnm的23,52322,:nmnmnnm得解这个方程组有根据同类项的定义解应用题应用题列方程组解应用题的一般步骤列方程组解应用题的一般步骤: :1.1.审审 2.2.设设 3.3.列列 4.4.解解 5.5.答答一一. .行程问题行程问题: :1.1.相遇问题相遇问题: :甲的路程甲的路程+ +乙的路程乙的路程= =总的路程总的路程 ( (环形跑道环形跑道):):甲的路程甲的路程+ +乙的路程乙的路程= =一圈长一圈长

16、2.2.追及问题追及问题: :快者的路程快者的路程- -慢者的路程慢者的路程= =原来相距路程原来相距路程 ( (环形跑道环形跑道): ): 快者的路程快者的路程- -慢者的路程慢者的路程= =一圈长一圈长3.3.顺逆问题顺逆问题: :顺速顺速= =静速静速+ +水水( (风风) )速速 逆速逆速= =静速静速- -水水( (风风) )速速1 1.A.A、B B两地相距两地相距3636千米千米. .甲从甲从A A地出发步行到地出发步行到B B地地, ,乙从乙从B B地出发步行到地出发步行到A A地地. .两人同时出发两人同时出发,4,4小时相遇小时相遇,6,6小时后小时后, ,甲所余路程为乙所

17、余路程的甲所余路程为乙所余路程的2 2倍倍, ,求两人的速度求两人的速度. .解解: :设甲、乙的速度分别为设甲、乙的速度分别为x千米千米/ /小时和小时和y y千米千米/ /小时小时. .依题意可得依题意可得: :)24(2243644yxxyyx解得解得54yx 答答: :甲、乙的速度分别为甲、乙的速度分别为4 4千米千米/ /小时和小时和5 5千米千米/ /小时小时. .2 2. .某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地, ,如果他如果他以每小时以每小时5050千米的速度行驶千米的速度行驶, ,就会迟到就会迟到2424分钟分钟, ,如果如果他以每小时他以每小

18、时7575千米的速度行驶千米的速度行驶, ,就会提前就会提前2424分钟分钟 到到达乙地达乙地, ,求甲、乙两地间的距离求甲、乙两地间的距离. .解解: :设规定时间为设规定时间为x小时，甲、乙两地间的距离为小时，甲、乙两地间的距离为y千米千米根据题意，得根据题意，得. .= = x+= = x- -解这个方程组，得解这个方程组，得. .x=2=2y=120=120 答答: :甲、乙甲、乙的两地间的距离为的两地间的距离为120120千米千米. .3 3. .甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步, ,如如果同时同地出发果同时同地出发, ,相向而行相向而行, ,

19、每隔每隔2 2分钟相遇一次分钟相遇一次；如果同向而行；如果同向而行, ,每隔每隔6 6分钟相遇一次分钟相遇一次. .已知甲比已知甲比乙跑得快乙跑得快, ,甲、乙每分钟各跑多少圈甲、乙每分钟各跑多少圈? ?解解: :设甲每分钟跑设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑圈，乙每分钟跑y y圈圈. .根据题意，得根据题意，得. .2 2x+2+2y=1=16 6x-6-6y=1=1解这个方程组，得解这个方程组，得. .x= =y= =答答: :甲甲每分钟每分钟跑跑 圈圈，乙每分钟，乙每分钟跑跑 圈圈. .4 4. .甲、乙两公共汽车站相向发车甲、乙两公共汽车站相向发车, ,一人在街上匀速前一人在街上匀速前进进,

20、 ,发现每隔发现每隔4 4分钟迎面开来一辆公交车分钟迎面开来一辆公交车, ,每隔每隔1212分钟分钟从背后开来一辆公交车从背后开来一辆公交车. .如果两车站发车的时间相同如果两车站发车的时间相同，各车的速度相同，求两车站发车的时间间隔，各车的速度相同，求两车站发车的时间间隔. .解：设两车站发车时间间隔为解：设两车站发车时间间隔为x分钟，公交车的速度分钟，公交车的速度 为为 a米米/ /分钟，人步行的速度为分钟，人步行的速度为b米米/ /分钟，相邻两分钟，相邻两 车相距车相距p米米. .根据题意，得根据题意，得. .4(4(a+ +b) )= = p12(12(a- -b) )= = p解这个

21、方程组，得解这个方程组，得. .2424a= = 4 4p又又 ax= = p即即 x= = =6=6答：两车站发车时间间隔为答：两车站发车时间间隔为6 6分钟分钟1.1.某学校现有甲种材料某学校现有甲种材料3535, ,乙种材料乙种材料2929, ,制作制作A.BA.B两种型号的工艺品两种型号的工艺品, ,用料情况如下表用料情况如下表: :二二. .图表问题图表问题需甲种材料需甲种材料需乙种材料需乙种材料1 1件件A A型工艺品型工艺品1 1件件B B型工艺品型工艺品0.9kg0.9kg0.4kg0.4kg0.3kg0.3kg1kg1kg（1 1）利用这些材料能制作）利用这些材料能制作A.B

22、A.B两种工艺品各多少件？两种工艺品各多少件？（2 2）若每公斤甲）若每公斤甲. .乙种材料分别为乙种材料分别为8 8元和元和1010元元, ,问制作问制作 A.BA.B两种型号的工艺品各需材料多少钱？两种型号的工艺品各需材料多少钱？解解: :（1 1）设利用这些材料能制作）设利用这些材料能制作A.BA.B两种工艺品分别两种工艺品分别 为为x 件和件和y y件件. .根据题意，得根据题意，得. .0.90.9x+0.4+0.4y=35=350.30.3x+ +y=29=29解这个方程组，得解这个方程组，得. .x=30=30y=20=20（2 2）制作）制作A A种工艺品材料钱为：种工艺品材料

23、钱为： 0.9 0.930308+308+300.30.310=30610=306元元 制作制作B B种工艺品材料钱为：种工艺品材料钱为： 0.4 0.420208+18+1202010=26410=264元元答：答：这些材料能制作这些材料能制作A A种种工艺工艺品品3030件件, , B B种种工艺工艺品品2020件，件，制制作作A A种种型号的工艺品各需材型号的工艺品各需材料钱料钱306306元，元，B B种种型型号的工艺品各需材号的工艺品各需材料钱料钱264264元元. .2.2.某种植大户计划安排某种植大户计划安排1010个劳动力来耕作个劳动力来耕作3030亩土亩土地，这些土地可以种蔬

24、菜也可以种水稻，种这些地，这些土地可以种蔬菜也可以种水稻，种这些作物所需劳动力及预计产值如下表：作物所需劳动力及预计产值如下表：（1 1）为了使所有土地种上作物，全部劳动力都有工作，）为了使所有土地种上作物，全部劳动力都有工作， 应安排种蔬菜的劳动力多少人？应安排种蔬菜的劳动力多少人？（2 2）这时预计产值是多少？）这时预计产值是多少？每亩所需劳动力（个）每亩所需劳动力（个）蔬菜蔬菜水稻水稻30003000700700每亩预计产值（元）每亩预计产值（元） 解：（解：（1 1）设种蔬菜）设种蔬菜x亩，种水稻亩，种水稻y亩亩. .根据题意，得根据题意，得x+y=30 +y=30 x+ + y =1

25、0 =10 x10 10 y20 20 解得解得应该安排种蔬菜的人数为应该安排种蔬菜的人数为 x=5=5，（2 2）预计产值为）预计产值为3000300010+70010+70020=4400020=44000（元）（元）答：应安排种蔬菜的劳动力答：应安排种蔬菜的劳动力5 5人，预计产值是人，预计产值是4400044000元元. .1.1.入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽车价入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求格大幅下降，有些型号的汽车供不应求. .某汽车生某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产

26、一批汽车，如果每天生产汽车，如果每天生产3535辆，则差辆，则差1010辆完成任务，如辆完成任务，如果每天生产果每天生产4040辆，则可提前半天完成任务，问订单辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？要多少辆汽车，规定日期是多少天？三三. .总量不变问题总量不变问题解：设订单要解：设订单要x辆汽车辆汽车，规定日期为，规定日期为y天天. .根据题意，得根据题意，得3535y= =x-10-104040（y-0.5-0.5 ）= = x解这个方程组，得解这个方程组，得. .x=220=220y=6=6答：答：订单订单要要220220辆辆汽车，规定日期汽车，规定日期是是6 6

27、天天. . 2.2.某校七年级组织学生去春游某校七年级组织学生去春游, ,原计划租用原计划租用4545座座车若干辆车若干辆, ,但有但有3030人没座人没座; ;若租用同样数量的若租用同样数量的6060座座客车客车, ,则多出一辆则多出一辆, ,且其余客车全部坐满且其余客车全部坐满, ,已知已知4545座座客车每日租金每辆客车每日租金每辆25002500元元,60,60座客车每日租金为每座客车每日租金为每辆辆35003500元，试问：元，试问：（1 1）七年级有多少人）七年级有多少人? ?原计划租用原计划租用4545座客车多少辆？座客车多少辆？（2 2）若租同一种车）若租同一种车, ,要使每位学生都有座位要使每位学生都有座位, , 租用租用 哪种车更合算？哪种车更合算？解：（解：（1 1）设七年级学生）设七年级学生x 人人，原计划租用，原计划租用4545座座 客车客车y辆辆. .根据题意，得根据题意，得4545y+30=30=x6060（y-1-1 ）= = x解这个方程组，得解这个方程组，得. .x=300=300y=6=6（2 2）若租）若租4545座客车，其费用为：座客车，其费用为： 2500 2500（6+16+1）=17500=17500元元 若租若租6060座客车，