重庆大学机械振动与噪声控制

1、机械振动与噪声控制机械振动与噪声控制 第一章第一章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 振动理论与应用振动理论与应用Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications单自由度系统单自由度系统的的典型的单自由度系统典型的单自由度系统: :弹簧弹簧- -质量系统质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧系统简化成弹

2、簧- -质量系统质量系统 返回首页Theory of Vibration with Applications2.1.1 自由振动方程自由振动方程 2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率 2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 2.1.4 扭转振动扭转振动 返回首页Theory of Vibration with Applications2.1.1 自由振动方程自由振动方程)(stxkmgxm 当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x x距离时，物块的距离时，物块的运动微分方程为运动微分方程为 kxxm 02 xpxn 其中mkpn 取物块的静平衡位置为坐标原点取物块的静平衡位置为坐标

3、原点O，x轴轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg 无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的静变形固有圆频率固有圆频率 返回首页Theory of Vibration with Applications其通解其通解为：为：tpCtpCxnnsincos2101xC txtxx00000sincos002xC其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，时， 可解可解00 xxxx ， 返回首页2.1.1

4、 自由振动方程自由振动方程Theory of Vibration with Applications)sin( tpAxn )(arctg)(002020 xxppxxAnn两种形式描述的物两种形式描述的物块振动，称为无阻块振动，称为无阻尼自由振动，简称尼自由振动，简称自由振动。自由振动。 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角 振 幅 返回首页2.1.1 自由振动方程自由振动方程Theory of Vibration with Applications2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期km

5、pTn22 系统振动的频率mkpTfn221 系统振动的圆频率为fpn2 圆频率 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、 只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固有频率，圆频率 称为固有圆频率。 npnpnp 返回首页Theory of Vibration with Applications用弹簧静变形量用弹簧静变形量 st表示固有圆频率的计算公式表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时stkmg mkpn 固有圆频率固有圆频率stgpn stmgk 返回首页2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率The

6、ory of Vibration with Applications2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数0eqeqqkqm 0kxxm 加的力或力矩。加的力或力矩。需要在这一坐标方向施需要在这一坐标方向施位移，位移，广义坐标方向产生单位广义坐标方向产生单位等效刚度：使系统在等效刚度：使系统在eqk向施加的力或力矩。向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方度，需要在这一坐标方加速加速广义坐标方向产生单位广义坐标方向产生单位等效质量：使系统在等效质量：使系统在eqm 返回首页Theory of Vibration with Applications例例 在图中，已知物块的质量为在图中，已知物块的质量

7、为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解解：（：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：）并联情况。弹簧并联的特征是：二二弹簧变形相等弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是，而弹性力分别是 st11kF st22kF 系统平衡方程是系统平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmg 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory

8、 of Vibration with Applications如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率mkkmkf212121 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory

9、 of Vibration with Applications（2）串联情况。串联弹簧的特征是：）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即 st = 1st + 2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于由于每根弹簧所受的拉力都等于重力重力mg，故它们的静变形分别为，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于的静变形等于kmgst 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Th

10、eory of Vibration with Applications如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(21212121kkmkkmkf 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications例例 质

11、量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为簧的弹簧刚度系数分别为k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物块的自，求物块的自由振动频率。由振动频率。 解解：将各弹簧的刚度系数按：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质静力等效的原则，折算到质量所在处。量所在处。 先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质换算至质量量m所在处所在处C的等效刚度系的等效刚度系数数k 。 返回首页Theory of Vibration with ApplicationsC2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数例例 一个质量为一个质量为m的物块从

12、的物块从 h 的高的高处自由落下，与一根抗弯刚度为处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。振幅和最大挠度。 st21gf 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications解解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果质量系统。如果知道系统的静变形知道系统的静变形 则求出系统的

13、固有频率则求出系统的固有频率 st由材料力学可知，简支梁受集由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为中载荷作用，其中点静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为求出系统的固有频率为34821mlEIf 中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为348lEIk 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications以梁承受重物时的静平衡位置为坐标以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点原点O，建立坐标系，并以撞击时刻，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则为零瞬时，则t=0时，有

14、时，有st0 xghx20自由振动的振幅为自由振动的振幅为st2st20202)(hpxxAn )9611 (48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大挠度梁的最大挠度 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Theory of Vibration with Applications2.1.4 扭转振动扭转振动内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。转中常常产生扭转振动，简称扭振。 扭振系统称为扭振系统称为扭摆扭摆。OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运

15、动规律时，假定在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，来决定，称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。圆盘产生单位扭角所需的力矩。 返回首页Theory of Vibration with Applications根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程nOkI 扭振的运动规律扭振的运动规律tpptpnnnsincos00 对于单自由度振

16、动系统来说，尽管前述直线振动和对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。动规律、特征是完全相同的。 02 np OnnIkp 固有圆频率固有圆频率 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动Theory of Vibration with Applications图图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两为两轴串联的情况；图轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效

17、刚度系数并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications当系统在平衡位置时，当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，速度为最大，势能为零，动能具有最大值动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 maxmax

18、VT用能量法计算固有频率的公式用能量法计算固有频率的公式 返回首页Theory of Vibration with Applications例例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆连同杆BD对于对于支点支点B的转动惯量为的转动惯量为IE ,求重物求重物P在铅直方向的振动频率。已知在铅直方向的振动频率。已知弹簧弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。 解解： 这是单自由度的振动系统。这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆系统的位置可由杆BD自水平的自水平的平衡位置量起的平衡位置量起的 角来决定。角来决定。221BI系统的动能系统的动能设系统作简

19、谐振动，则其运动方程设系统作简谐振动，则其运动方程)sin( tpn角速度为角速度为)cos(dd tpptnn22maxmax2121nBBpIIT 返回首页Theory of Vibration with Applications系统的最大动能为系统的最大动能为如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为长量为 。此时，弹性力。此时，弹性力Fst=k ,方向向上。方向向上。 0)(FBm0s PlbFt0s Plbkt该系统的势能该系统的势能)(21)(21st222st2stPlkbkbPlbkV2221kbV 222

20、max2max2121kbkbV22222121kbpInB BIkbp2n 返回首页Theory of Vibration with Applicationst st s 返回首页Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。应用瑞利法，首先应假

21、定系统的振动位形。2eqs21xmT等效质量等效质量 l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为 返回首页Theory of Vibration with Applications例例 在图示系统

22、中，弹簧长在图示系统中，弹簧长l，其质量，其质量ms。求弹簧的等效质量。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。及系统的固有频率。左端距离为左端距离为 的截面的位移为的截面的位移为 ，则则d 弹簧的动能为弹簧的动能为xl2sd21dxllmTsl d 假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解解：令：令x表示弹簧右端的位移，也是质表示弹簧右端的位移，也是质量量m的位移。的位移。 返回首页Theory of Vibration with Applica

23、tionsxcFc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。 返回首页Theory of Vibration with Applications运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置O为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxxcxm 022 xpxnxn 0222 npnrr 222221nnpnnrpnnr 返回首页Theory of Vibration with Applicationsmkpn

24、22ncmn衰减系数，单位1/秒(1/s) solution of the form rtex 2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnCCx nrr21)(e21tCCxnt022 xpxnxn 运动微分方程运动微分方程 222221nnpnnrpnnr 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页Theory of Vibration with Applications具有具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼

25、系临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。要求。2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统

26、的衰减振动 tntnCCx21-2-1ee1nnppr npn 11Otxnrr21)(e21tCCxnt 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 dnpprj （npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpCtpCxddnt 其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解00 xxxx ，dpxnxC002 C1=x0 返回首页Theory of Vibration with Applications2

27、.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 000220020tan)(nxxpxpnxxxAdd )sin(e tpAxdnt初相位角 振 幅阻尼振动振幅；ntAe 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于衰减速度取决于 p n，二者分二者分别为本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。 返回首页Theory of Vibration with Applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 221)(1122

28、 TpnppTndddT=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响欠阻尼自由振动的周期欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当=0.05时，Td=1.00125T，周期 Td 仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比 1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。 返回首页Theory of Vibration with Applications设衰减振动经过

29、一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即)(sine)sin(e)(1 didTtniidntiTtpAAtpAAdii两振幅之比为dnTiiAAe1称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以 =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 37. 1ednT 返回首页2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 阻尼对周期的影响Theory of Vibration with Applications振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率对数减缩率或对数减幅系数，以 表示l

30、n2例例 在欠阻尼（在欠阻尼（ 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应与，响应与激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。03、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左偏左处有峰值。通常将处有峰值。通常将 1，即，即 pn 称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，无论阻尼大小， 1时，总有，时，总有， /2 ,这也是共振的重要这也是共振的重要现象。现象。Theory of Vibra

31、tion with Applications2.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差、相位差 的讨论的讨论 例例 题题 例例 质量为质量为M的电机安装在弹性基础上。的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为偏心质量为m。转子以匀角速。转子以匀角速 转动如图转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为

32、正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。 返回首页Theory of Vibration with Applications根据达朗贝尔原理，有0sin)(2sttmexMxkMgxc tmekxxcxMsin2 )sin(222 teMmxpxnxn ,22McnMkpn ，= h2eMm 返回首页例例 题题 Theory of Vibration with Applications电机作受迫振动的运动方程为)sin(tBx22222222224)1 (4)1 (bMmeB212arctgbB222224)1 (Mmeb 当激振力的频

33、率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 返回首页例例 题题 Theory of Vibration with Applications阻尼比 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 Mme 返回首页例例 题题 Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications2.5.3受迫振动系统力矢量

34、的关系受迫振动系统力矢量的关系 tHFsinSxBtsin()cos()sin()xBtxBt 2已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为mxcxkxHtsin0现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。kBc BHmB、 、2应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力 返回首页Theory of Vibration with Applications（a）力多边形 (b) 1 (c) = 1 (d) 12.5.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 返回首页Theory of Vibration with Appl

35、ications对于无阻尼系统对于无阻尼系统(除共振情况外除共振情况外)相位差相位差 。因此，。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 0或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 xcFRTTRRttBcttxFW0220d)cos(d)(上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小

36、振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。2022d)(2cos1 21BcttBcT2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 返回首页Theory of Vibration with Applications3. 弹性力弹性力 做的功做的功FkxE 能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 TEEtxtFW0d)(WWHR在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量TttBtBk0d

37、)cos()sin(0d)(2sin202TttkB2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 返回首页Theory of Vibration with Applications2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘等效的原则是：粘性阻尼在一周期

38、内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即然是简谐振动，即xBtsin()非粘性阻尼在一个周期内做的功非粘性阻尼在一个周期内做的功txtFWNNd)(粘性阻尼在一周期内消耗的能量粘性阻尼在一周期内消耗的能量2BcWR相等相等2BcWeN2 BWcNe等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数 返回首页Theory of Vibration with Applications2222n)()(mcphBe2ncme2222222n)()()()(eecmkH

39、mcphB利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 返回首页Theory of Vibration with Applications库仑阻尼库仑阻尼阻尼力表示为阻尼力表示为NFFc一周期内库仑阻尼消耗的能量为一周期内库仑阻尼消耗的能量为 WF Bcc 42BcWRBFCce4等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 得到稳态振动的振幅表达式得到稳态振动的振幅表达式2n221)4(1pHFkHBcFbxq2求速度平方阻尼求速度平方阻尼等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数 相等相等2BcWec 2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 返回首页T

40、heory of Vibration with Applications2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应, ,系统系统的运动微分方程和初始条件写在一起为的运动微分方程和初始条件写在一起为 000)0( 0sinxxxxtFkxxm 通解是相应的齐次方程的通解与特解的和通解是相应的齐次方程的通解与特解的和, ,即即tkFtpCtpCtxsin11sin

41、cos)(20n2n1 返回首页Theory of Vibration with Applications, 0)0(, 0)0(xx2nn01sinsin)(tptpkFtx共振时的情况共振时的情况假设初始条件为假设初始条件为由共振的定义由共振的定义, , 时上式是时上式是 型型, ,利用洛必达法则算出共振时的利用洛必达法则算出共振时的响应为响应为 100tptpkFtptptpkFtptptpkFtxn2n0nnn0nnn10cos1)(2 )cos(sin22cossinlim)(tpn1arctan2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 sinsin

42、coscos)cos( 返回首页Theory of Vibration with Applications可见可见, ,当时当时 , ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大无阻尼系统的振幅随时间无限增大. .经过短暂时间经过短暂时间后后, ,共振响应可以表示为共振响应可以表示为np)2sin(2cos2)(nn0nn0tptkpFtptpkFtx此即共振时的受迫振动此即共振时的受迫振动. .反映出共反映出共振时的位移在相位上比激振力滞振时的位移在相位上比激振力滞后后 , ,且振幅与时间成正比地增大且振幅与时间成正比地增大 22.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

43、图 共振时的受迫振动 返回首页Theory of Vibration with Applications如果初始位移与初始速度都为零，则成为如果初始位移与初始速度都为零，则成为)sin(sin)cossin(cossine )(ntBtppptpBtxdddtpn可见过渡可见过渡阶段的响阶段的响应仍含有应仍含有自由伴随自由伴随振动。振动。 2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 过渡阶段的响应过渡阶段的响应 返回首页Theory of Vibration with Applications2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡

44、阶段 返回首页Theory of Vibration with Applications2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 返回首页Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications2.6.1积极隔振2.6.2消极隔振 返回首页Theory of Vibration with Applications 回转机械、锻压机械等在运转时会产生较大的振动，影响其周围的环境；有些精密机械、精密仪器又往往需要防止周围环境对它的影响。这两种情形都需要实行振动隔离

45、，简称隔振。 隔振可分为两类:一类是积极隔振，即用隔振器将振动着的机器与地基隔离开；另一类是消极隔振，即将需要保护的设备用隔振器与振动着的地基隔离开。 这里说的隔振器是由一根弹簧和一个阻尼器组成的模型系统。在实际应用中隔振器通常选用合适的弹性材料及阻尼材料，如木材、橡胶、充气轮胎、沙子等等组成。 返回首页Theory of Vibration with Applications2.6.1积极隔振振源是机器本身。积极隔振是将振源隔离，防止或减小传递到地基上的动压力，从而抑制振源对周围环境的影响。积极隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为HHTa 其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的

46、幅值。在采取隔振措施前，机器传递到地基的最大动压力Smax=H。机器与地基之间装上隔振器。系统的受迫振动方程为)sin( tBxtHSsin 激振力 返回首页Theory of Vibration with Applications2.6.1积极隔振此系统的受迫振动方程为)sin( tBx22)2()1 (1kHB)cos()sin(tcBtkBxckxRFFD此时，机器通过弹簧、阻尼器传到地基上的动压力即F和R是相同频率，在相位上相差 的简谐力。 2根据同频率振动合成的结果，得到传给地基的动压力的最大值22)()(cBkBHT2222)2()1 ()2(1 HHT2222)2()1 ()2(

47、1aHHTa 2)2(1 kB 返回首页Theory of Vibration with Applications2.6.2消极隔振 振源来自地基的运动。消极隔振是将需要防振的物体与振源隔离，防止或减小地基运动对物体的影响。 消极隔振的效果也用传递率表示，定义为bBa B为隔振后传到物体上的振动幅值b地基运动的振动幅值。 地基为简谐运动tbysin 2222)2()1 ()2(1 bB2222)2()1 ()2(1bBa隔振后系统稳态响应的振幅为 返回首页Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with App

48、lications 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。期激励的响应。 设粘性阻尼系统受到周期激振力设粘性阻尼系统受到周期激振力F tF tT( )()F taantbntnnn( )(cossin)01112谐波分析方法，得到谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为mxcxkxF

49、taantbntnnn( )(cossin)01112周期T21基频 返回首页Theory of Vibration with Applications由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应x takAntBntnnnnn( )cos()sin()01112n2nn12222222212tan)2()1 (1)2()1 (1mpcmkppnkbBkaAnnnnnnnnnnn， 返回首页Theory of Vibration with Applications 例例 弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系弹簧质量系统，受到周期性矩形

50、波的激励。试求系统的稳态响应。统的稳态响应。(其中其中 )n12pT 62n1pTF tff( ) 0020tt解：周期性矩形波的基频为解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数矩形波一个周期内函数,.3 , 110sin14)(ntnnftF将矩形波分解为将矩形波分解为固有频率固有频率 返回首页Theory of Vibration with Applications,.3 , 110sin14)(ntnnftFn120,.3 , 11,)1 (14sin)(pnknfBtnBtxnnnnn 可得稳态响应可得稳态响应将矩形波分解为将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响

51、应。对于从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。 画出系统的响应频谱图画出系统的响应频谱图奇数奇数 返回首页Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications2.8.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 2.8.3 单位脉冲响应函数的时单

52、位脉冲响应函数的时-频变换频变换2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 2.8.5 传递函数传递函数 返回首页Theory of Vibration with Applications如果取如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应t 0 x00 xvFm0tpmpFxnnsin初位移初位移初速度初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如果如果 作用在作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为的响应为Ft )(sinnntpmpFx2.8.1系统对

53、冲量的响应系统对冲量的响应 返回首页Theory of Vibration with Applications同理，如果在同理，如果在t = 0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应欠阻尼的情形，得其响应tpmpFxdntdsine)(sine)(tpmpFxdtnd如果如果 作用在作用在 的时刻，则物块的响应为的时刻，则物块的响应为Ft 2.8.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应用用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力函数表示作用在极短时间内冲击力 返回首页Theory of Vibration with Applications2.

54、8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 01d)(0)(ttttt表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数它对时间积分是有限数1。函数的定义是函数的定义是)( tFF从积分式可见，如果时间以秒计，从积分式可见，如果时间以秒计， (t)函数的单位是函数的单位是1/s。用用单位脉冲单位脉冲(unit impulse)函数函数 (t)表示表示冲击力冲击力冲量表示施加冲量的瞬时 返回首页Theory of Vibration with Applications)()(ttFF)(tF如果在如果在t =

55、0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力的瞬时施加冲量，则相应的冲击力 当 ，即施加单位冲量时，冲击力为F 1F是冲击力是冲击力, (t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。)(tkxxcxm 单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 返回首页Theory of Vibration with Applications)(tkxxcxm 单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块

56、上，作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，对欠阻尼的情形，F 1根据初始条件可确定根据初始条件可确定A和和 。最后得其响应。最后得其响应mxxttpAtxdnt1)0(, 0)0(, 0)sin(e)(tpmptxdntdsine1)(2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 返回首页Theory of Vibration with Applications为了应用方便，单位脉冲函数的响应用为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应h tmpp tnn( )sin1h tmpptnn(

57、)sin()1tpmpthdntdsine1)()(sine1)()(tpmpthdtnn有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数称为单自由度系统的时域响应函数 2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 返回首页Theory of Vibration with Applications000,sine1)() 1 (tttpmpthdntdtttpmpthdtnd0),(sine1)()2()(h(t)有以下特性不难发现不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系

58、统动特性在时域的一种表现形式。质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲是单位脉冲冲量的响应，其量纲为冲量的响应，其量纲为位移位移/冲量冲量。 2.8.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 返回首页Theory of Vibration with Applications2.8.3 单位脉冲响应函数的时单位脉冲响应函数的时-频变换频变换h(t)的傅里叶变换用的傅里叶变换用H( )来表示，称之为频域响应函数，它来表示，称之为频域响应函数，它是系统的动特性在频域的表现形式。运用欧拉公式得是系统的动特性在频域的表现形式。运用欧拉公式得 tpntpndtptpdntddddmp

59、mpth)j()j(jjee2j)ee (2je)(tmpthFHtptpntpnddddde ee 2j)()(j)j()j(0)()j(j221dddpnpnmptmptptpntpnddddde ee 2jj)jj()jj(0)j(1)j(12jdddpnpnmpnpnmd2j)(11222npm2j1122nnpnmd2j11222cmkj12n2n2j111ppk 返回首页Theory of Vibration with Applications2.8.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 mxcxkxF t( )作用有一任意激振力作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物块

60、的运动微分方程欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加将激振力看作是一系列元冲量的叠加t d)(FF 元冲量为元冲量为得到系统的响应得到系统的响应)(sined)(d)(tpmpFxdtnd 返回首页Theory of Vibration with Applications上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定定理，也称杜哈梅理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。积分。tnntpmpFtx0d)