第三章理论力学

1、一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力三维空间时，该力系称为空间力 系系二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间系、空间平行力系和空间 任意力系任意力系三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题平衡问题 第三章第三章 空间力系空间力系 注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本

2、概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握要掌握的内容设有标注，望大家掌握 1 1）直接投影法（一次投影法）直接投影法（一次投影法）1 1、空间单个力在直角坐标系中的分解、空间单个力在直角坐标系中的分解3-13-1 空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系: :空间力系中各分力的作用线分布情况空间力系中各分力的作用线分布情况 为均汇交于同一点为均汇交于同一点 若已知空间一力若已知空间一力F与与x、y、z z三轴之间的夹角为三轴之间的夹角为 ，则通，则通过一次投影即可得到过一次投影即可得到

3、F在在x、y、z z三根轴上的分量：三根轴上的分量：、大小大小 ， 如果只已知与一根轴的夹如果只已知与一根轴的夹角角 ，则通常的做法是：先将，则通常的做法是：先将该力向该力向z z 轴及其垂面分解（与轴及其垂面分解（与垂面的夹角为垂面的夹角为 ) )，而位于，而位于垂面内的分力，其平面几何关垂面内的分力，其平面几何关2 2）间接投影法（二次投影法）间接投影法（二次投影法）90方向：、号；方向：、号；cosFFxcosFFycosFFzsinxyFFsin cosxFFsin sinyFFcoszFF系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂

4、面内找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹角与此角互余），如角与此角互余），如 ，然后再通过二次投影，即得到所，然后再通过二次投影，即得到所有的分量：有的分量：2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件1 1）、空间汇交力系合成的几何法和解析法）、空间汇交力系合成的几何法和解析法 合成的几何法：力多边形法则；合成的几何法：力多边形法则； 合成的解析法：合力投影定理；合成的解析法：合力投影定理；iniiFFF1RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFFR合力矢量的确定：合力矢量的确定： 大小：大小：方向：

5、方向： 作用点：汇交力系的汇交点作用点：汇交力系的汇交点222R()()()xyzFFFFRR),cos(FFiFxRR),cos(FFjFyRR),cos(FFkFz2 2）、空间汇交力系平衡的几何法和解析法）、空间汇交力系平衡的几何法和解析法 平衡的几何条件：平衡的几何条件： 平衡的解析条件：平衡的解析条件： 平衡的解析条件为：平衡的解析条件为：0iF0222RzyxFFFF0ixF0iyF即：即： - - 平衡方程平衡方程 上述空间汇交力系平衡的解析条件，由于其等上述空间汇交力系平衡的解析条件，由于其等式左端包含的力分量有已知的主动力，也有未知的式左端包含的力分量有已知的主动力，也有未知

6、的约束反力，因此关系式中存在未知量，同时等式右约束反力，因此关系式中存在未知量，同时等式右端又等于零，因此是标准的数学方程式，故称为空端又等于零，因此是标准的数学方程式，故称为空间汇交力系的平衡方程间汇交力系的平衡方程. .0izF3-2 3-2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩 1 1、力对点的矩以矢量表示、力对点的矩以矢量表示-力矩矢力矩矢 一个力作用在物体上，可以使物体相对一个固定点一个力作用在物体上，可以使物体相对一个固定点 产生转动运动，这种力对物体的作用效果取决于力对点产生转动运动，这种力对物体的作用效果取决于力对点 的矩，它等于：的矩，它等于： 即：力矩等于力作用点的

7、矢径即：力矩等于力作用点的矢径 与力矢量与力矢量 的矢量积的矢量积. .( )OMFrFrF 力矩对物体的作用效果取决力矩对物体的作用效果取决于以下三要素：于以下三要素：大小大小: : ；方向方向: : 按右手螺旋法则确定；按右手螺旋法则确定；作用面：作用面： 、 共同组成的面共同组成的面. .rF),sin(FrFr2 2）力对点之矩的解析表达式：）力对点之矩的解析表达式： 将上述力矩的矢量表达式表示为解析形式：将上述力矩的矢量表达式表示为解析形式：()()()zyxzyxyFzF izFxFjxFyF kkFjFiFFzyxzyxFFFzyxkji 力矩的解析表达式为：力矩的解析表达式为：

8、 = =kzj yi xr( )OMFrF)(kzj yi x)(kFjFiFzyx则，力对点则，力对点 的矩在三个坐标轴上的投影为：的矩在三个坐标轴上的投影为：O()OzyxMFyFzF ()OxzyMFzFxF ()OyxzMFxFyF 2 2、力对轴的矩（、力对轴的矩（要求掌握要求掌握） 1 1）定义：力对轴的矩等于该力在垂）定义：力对轴的矩等于该力在垂直于该轴的平面内的投影对于该轴与垂直于该轴的平面内的投影对于该轴与垂面的交点的矩；即：面的交点的矩；即：xyxyxyzFrFMFM)()(0 xFyzoxyFhxyr 因此，力对轴的矩是一个代数量，其大小等于该力在垂因此，力对轴的矩是一个

9、代数量，其大小等于该力在垂直于该轴的平面上的投影大小与这个平面与该轴的交点到投直于该轴的平面上的投影大小与这个平面与该轴的交点到投影线垂直距离的乘积；方向由右手螺旋定则规定：逆时针转影线垂直距离的乘积；方向由右手螺旋定则规定：逆时针转向为正，顺时针转向为负向为正，顺时针转向为负. . 由此可见，平面力矩只是相当于空间力对轴的矩由此可见，平面力矩只是相当于空间力对轴的矩. .大小大小: : ；方向方向: : 按右手螺旋定则确定按右手螺旋定则确定-结果：与投影平面结果：与投影平面 垂直，且沿所取的轴线方向；由于指向只有垂直，且沿所取的轴线方向；由于指向只有 两种选择，因此可以用两种选择，因此可以用

10、 表示；其中表示；其中 规定：当按右手定则旋转时，拇指指向轴的规定：当按右手定则旋转时，拇指指向轴的 箭头正向为正，此时迎着箭头向内看，旋转箭头正向为正，此时迎着箭头向内看，旋转 方向为逆时针转向；反之为负方向为逆时针转向；反之为负. .xyrxyF作用面：作用面： 、 共同组成的面共同组成的面. .hFFrFrxyxyxyxyxy),sin(、号、号 3 3）力对轴之矩的解析表达式：）力对轴之矩的解析表达式： 将空间力向坐标轴分解，然后再将空间力向坐标轴分解，然后再对三根坐标轴分别计算其对轴之矩：对三根坐标轴分别计算其对轴之矩：0 xyF( )()()()xxxxyxzzyMFMFMFMFF

11、yFz( )()()()yyxyyyzxzMFMFMFMFFzFx 2 2）力对轴的矩为零的条件：）力对轴的矩为零的条件： （1 1） ：力：力 的大小为零或作用线与轴平行；的大小为零或作用线与轴平行； （2 2） ：即力的作用线与轴相交：即力的作用线与轴相交. . 反之，只有当力的大小不为零、反之，只有当力的大小不为零、且力的作用线既不与轴平行也不与轴且力的作用线既不与轴平行也不与轴相交时，力对轴的矩不为零相交时，力对轴的矩不为零. .F0hyFxFFMFMFMFMxyzzyzxzz)()()()( 3 3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 由此可见

12、：由此可见： ( )( )OzyxxMFyFzFMF ( )( )OxzyyMFzFxFMF ( )( )OyxzzMFxFyFMF 即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对 该轴的矩该轴的矩. .例例3-13-1已知：手柄已知：手柄ABCEABCE在平面在平面AxyAxy内，在内，在D D处作用一个力处作用一个力 ，它在垂直，它在垂直 于于y y轴的平面内，偏离铅直线的角度为轴的平面内，偏离铅直线的角度为 ，如果，如果 ， 杆杆BCBC平行于平行于x x轴，杆轴，杆CECE平行平行于于y y 轴，轴，ABAB和和BCBC的长度都等于

13、的长度都等于l . .求：力求：力 对对x x、y y、z z三轴的矩三轴的矩. .力力 在在x x、y y、z z轴上的投轴上的投影为：影为：F解：解：aCD FF,sinFFx, 0yFcosFFz力作用点力作用点D D的坐标为：的坐标为：, lx, aly0z由力对轴之矩的解析表达式得：由力对轴之矩的解析表达式得：cos)(0)cos)()(alFFalzFyFFMyzxcos)cos)(0)(FlFlxFzFFMzxysin)()sin)(0)(alFFalyFxFFMxyz3-33-3 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示力偶矩矢力偶矩矢空间力偶矩矢的三要素空间

14、力偶矩矢的三要素 大小：大小： ；BAr 定义：定义：BAMrF 方向：由右手螺旋法则确定；方向：由右手螺旋法则确定； 作用面：由作用面：由 共同组成的面共同组成的面. .FdM FrBA,2 2、对刚体，力偶的等效定理、对刚体，力偶的等效定理 定理：作用在同一刚体上的两个力偶，如果其力偶矩矢定理：作用在同一刚体上的两个力偶，如果其力偶矩矢 相等，则它们彼此等效相等，则它们彼此等效. . 由此可得推论：由此可得推论： 1 1）空间力偶可在它的作用面内任）空间力偶可在它的作用面内任 意移动，而不改变它对刚体的意移动，而不改变它对刚体的 作用效果作用效果 . 因此力偶对刚体的因此力偶对刚体的 作用

15、与力偶在其作用面内的位置无关作用与力偶在其作用面内的位置无关. 2 2）空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上）空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上 而不改变力偶对刚体的作用效果而不改变力偶对刚体的作用效果. . 故：对刚体，力偶矩矢是自由矢量（矢量大小故：对刚体，力偶矩矢是自由矢量（矢量大小和方向保持不变，但作用点可任意移动和方向保持不变，但作用点可任意移动-即矢量即矢量作用线即可滑移又可平移）作用线即可滑移又可平移）. . 3 3）同时改变力与力偶臂的大小，只要力偶矩矢的大小、）同时改变力与力偶臂的大小，只要力偶矩矢的大小、 方向不变，其对刚体的作用效果就不会发生变化方向不变

16、，其对刚体的作用效果就不会发生变化. .3 3、力偶系的合成与平衡条件、力偶系的合成与平衡条件 1 1）力偶系的合成）力偶系的合成 几何法：几何法：111222,.,nnnMrF MrFMrF= = =iMM即：任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力即：任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力 偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和. .222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向：合力偶矩矢的大小和方向：,xxyyzzMMMMMM-空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程. .000 xyzMMM2 2）力偶系的平衡）力偶系的平衡cosxMMcosy

17、MMcoszMM解析法：解析法：222()()()xyzMMMM03-43-4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩主矢和主矩iiFF()iOiMMF2 2、空间任意力系向一点的简化、空间任意力系向一点的简化 1 1）取简化中心：）取简化中心：O O点；点； 2 2）通过力的平移定理对平面任意力系进行简化：）通过力的平移定理对平面任意力系进行简化： 即，空间任意力系等效为两个简单力系：空间汇交力系即，空间任意力系等效为两个简单力系：空间汇交力系和空间力偶系和空间力偶系. . 1 1、空间任意力系：当力系中各力的作用线分布于三维空间内，、空间任意力系：当力系中各力的作用线

18、分布于三维空间内， 并且各力既不完全汇交于同一点、也不完全并且各力既不完全汇交于同一点、也不完全 互相平行时，这种力系称为空间任意力系互相平行时，这种力系称为空间任意力系. .RixyzFFF iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF主矢主矢3 3）通过力的多边形法则和合力偶矩定理对上述空间）通过力的多边形法则和合力偶矩定理对上述空间 汇交力系和空间力偶系进行合成：汇交力系和空间力偶系进行合成： 2 2、空间任意力系的简化、合成结果分析、空间任意力系的简化、合成结果分析（1 1）简化合成为一个合力偶：简化合成为一个合力偶：R0,0OFM R0,0OFM （2 2）简化合成为一个合力：简化合

19、成为一个合力： 1 1） 2 2）RR0,0,OOFMFMRF大小大小方向方向RF作用线：作用线： ，合力作用线在，合力作用线在 作用线的哪一作用线的哪一 侧，需根据主矢和主矩的方向确定侧，需根据主矢和主矩的方向确定RFOOMFMF/, 0, 0RR（3 3）简化简化合成合成为一个力螺旋：为一个力螺旋： 1 1） ，此时主矢和主矩不能再，此时主矢和主矩不能再 合成，形成一个力螺旋合成，形成一个力螺旋 RFMdO2 2）RR0,0,OOFMFM 既不平行也不垂直：此时主矩可既不平行也不垂直：此时主矩可以分解为与主矢垂直和平行的两个分量，其中垂直分量以分解为与主矢垂直和平行的两个分量，其中垂直分量

20、可以与主矢进一步再合成，但平行分量不可再合成，因可以与主矢进一步再合成，但平行分量不可再合成，因此最后形成一个力螺旋此最后形成一个力螺旋RsinFMdO（4 4）平衡：）平衡：3-53-5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程1 1、空间任意力系平衡的几何条件：、空间任意力系平衡的几何条件：0RF0OM2 2、空间任意力系平衡的解析条件：、空间任意力系平衡的解析条件：在解析坐标系中，上述矢量的大小可以表示为：在解析坐标系中，上述矢量的大小可以表示为：222222222R)()()()()()()()()(zyxzoyoxoOzyxMMMMMMMFFFF0RF0OM因此，其平衡的解析条件

21、为：因此，其平衡的解析条件为： - - 平衡方程平衡方程共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力000 xyzFFF000 xyzMMM3 3、空间任意力系的两种特殊情况：、空间任意力系的两种特殊情况：1 1）空间平行力系的平衡方程）空间平行力系的平衡方程2 2）空间汇交力系的平衡方程）空间汇交力系的平衡方程000 xyzFFF 0zF 0 xM 0yM例例3-23-2已知：已知：2000N,F ,212FF ,60,30各尺寸如图；各尺寸如图；求：求：21,FF及及A、B处约束力处约束力1 1、取受力体：曲轴；、取受力体：曲轴；3 3、列平衡方程：、列平衡方程：0 xF 060sin30sin21BxAxFFFF 0yF00 解：解：2 2、分析受力、画受力图如图；、分析受力、画受力图如图； 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BzFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz