补充 第二章 货币时间价值

1、资金的时间价值原理资金的时间价值原理 今天一元钱比未来一元钱更值钱今天一元钱比未来一元钱更值钱引言：引言： 在商业活动中，资金的时间价值至关重要。在商业活动中，资金的时间价值至关重要。 Sidney Sidney HomerHomer在利率的历史一书中举例说：假如将在利率的历史一书中举例说：假如将 1000 1000美元美元按按 8 8的利率投资，的利率投资，400400年后，这笔钱将变成年后，这笔钱将变成 23 23 10 10的的2424方次美元。这个简单的计算直观地显示了资金的时间价方次美元。这个简单的计算直观地显示了资金的时间价值的威力。值的威力。 资金时间价值的威力还可以在资金时间价

2、值的威力还可以在 Andrew TobiasAndrew Tobias的的“ “ Money Angles ”Money Angles ”一书中得到证明。书中讲述了这样一书中得到证明。书中讲述了这样一个故事：一个故事： 一个农民在国王举办的象棋比赛中获胜，国王问他想要一个农民在国王举办的象棋比赛中获胜，国王问他想要什么奖品，农民回答说想要一些谷子。国王问他要多少？什么奖品，农民回答说想要一些谷子。国王问他要多少？农民回答说，在象棋棋盘的第农民回答说，在象棋棋盘的第1 1个格中放入一粒谷子，第个格中放入一粒谷子，第2 2格中放两粒，第格中放两粒，第3 3格中放四粒，第格中放四粒，第4 4格中放八

3、粒，以此类推格中放八粒，以此类推，装满整个棋盘即可。国王认为这很容易办到，一口答应，装满整个棋盘即可。国王认为这很容易办到，一口答应下来。但不幸的是，若要将总共下来。但不幸的是，若要将总共6464个方格都装满的话，需个方格都装满的话，需要要 1 185851010的的1818方次粒谷子方次粒谷子谷粒在谷粒在 64 64个方格中以个方格中以 100100的复利增长。如果一粒谷粒有的复利增长。如果一粒谷粒有1 14 4英寸长的话，那么英寸长的话，那么所有这些谷粒一粒接一粒排列起来后，可以从地球到太阳所有这些谷粒一粒接一粒排列起来后，可以从地球到太阳来回来回391 320391 320次。次。 补充

4、知识： 第二章 货币的时间价值Q：今天的一元钱与一年后的一元钱相等吗？ 如果一年后的1元变为1.1元 这0.1元代表的是什么货币时间价值是指货币随着时间的推移而形成的增值 1.实质：是资金周转使用后的增值额 2.资金时间价值产生的前提 商品经济的高度发展和借贷关系的普遍存在 3.表现形式：利息额（绝对数）、利息率(相对数)现金流量图0 1 2 3 4 5 6 7 1.横轴表示一个从零开始到第n个时间序列，轴上每一刻度表示一个时间单位，通常以年表示（也可以是半年、季度、月份） 2.零点表示时间序列的起点，即第一年初的时间点 3.横轴上方的箭头（箭头向上）表示该年流入的现金量；横轴下面的箭头（箭头

5、向下）表示该年流出的现金量 相关概念 现值(P)：又称本金，是指一定量货币的现在价值 终值(F)：又称本利和，是指一定量货币在若干期限以后的总价值 利率(i)：又称贴现率或折现率，是指计算现值或终值时所采用的利息率或复利率。 期数(n)：是指计算现值或终值时的期间数。（一）单利终值和现值 （三）年金终值和现值 （二）复利终值和现值（一）单利 只是本金计算利息，所生利息均不加入本金计算利息的一种计息方法。单利的计算包括计算单利利息、单利终值和单利现值 (1)单利利息的计算 IP i n (2)单利终值的计算 FP + P i n = P(1+in) (3)单利现值的计算 P F / (1+in)

6、 I 利息 i 利率 n 期数 F 终值（Future Value） P 现值（或本金）（Present Value） 补充知识：货币时间价值（二）复利 在规定期限内，每经过一个计息期，都要将所生利息计入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。 复利的计算包括复利终值、复利现值、复利利息。 1复利终值 复利终值是按复利计息方式，经过若干个计息期后包括本金和利息在内的未来价值。 复利终值公式: F=P （1+i）n 注注: :（1+i）n复利终值系数复利终值系数或或1 1元复利终值，用元复利终值，用符号符号（F/P，i，n）表示，可通过表示，可通过“复利终值系数表复利终值系数表”查查得其数值。得

7、其数值。 2复利现值 复利现值是指未来一定时期的资金按复利计算的现在价值，是复利终值的逆运算，也叫贴现。 P =F （1+i）-n复利现值公式: 注注: : （1+i）-n称为称为复利现值系数复利现值系数或或1 1元复利现值，用元复利现值，用符号符号（P/F，i，n）表示，可通过查表示，可通过查“复利现值系数表复利现值系数表”得知其数值得知其数值. . 例:某人存入银行1000元，年利率为6%，4年期 满后此人应得的本利和为 F=P(1+i)n=1000 (1+ 6%)4 = 1000（F/P , 6%,4)= 10001.2625=1262.5 例：某人拟在5年后获得本利和10000元，假设

8、投资报酬率为10%，他现在应投入多少元 P F （1 + i ）-n =10000 （P/F , 10%,5) = 100000.621=6210元 3复利利息 复利利息是在复利计息方式下所产生的资金时间价值，即复利终值与复利现值的差额。 I=FP 复利利息公式: （三）年金 年金是指一定时期内等额、定期的系列收付款项。例如租金、利息、养老金、分期付款赊购、分期偿还贷款等通常都采取年金的形式。 年金按发生的时点不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金。 1.普通年金 又称后付年金，是指发生在每期期末的等额收付款项。 (1) 普通年金终值 是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之

9、和A=100, i=6%, n=4100（16%）0 =1001=100100（16%）11001.06=106 100（16%）21001.1236=112.36 100（16%）31001.191=119.10 1004.3746=437.46 100 10001234 100 100AAAAAA(1+i)0A(1+i)1A(1+i)2A(1+i)n-2A(1+i)n-112n-1n普通年金终值计算示意图普通年金终值公式推导过程： F=A（1+i)0+A（1+i)1+ +A（1+i)n-2 +A（1+i)n-1等式两端同乘以(1+i) :(1+i)F=A(1+i)+A(1+i)2 + +A

10、(1+i)n-1+A(1+i)n上述两式相减 : iF=A(1+i)n -AF=Aiin1)1 (-+普通年金终值公式 :F=Aiin1)1 (-+ 注： 称为普通年金终值系数或1元年金终值，它反映的是1元年金在利率为i时，经过n期的复利终值，用符号（F/A，i，n）表示，可查“年金终值系数表”得知其数值。 iin1)1 (-+某人在某人在5 5年中每年年底存入银行年中每年年底存入银行10001000元元，年存款利率为，年存款利率为8%8%，复利计息，则第，复利计息，则第5 5年年年末年金终值为：年末年金终值为： =1000 =1000 5.867=5867 例题例题(,8%,5)FAFA 例

11、，某人将自有房屋出租，月租金为2000元，租期为2年半，假设银行年利率6%，计算该房屋这段时间所取得租金的总价值。 解： F=2000 =200032.28=64560元（1+0.5%）3010.5%已知终值反求年金的计算 A=F （F/A，i，n）例，某人贷款购置了一套房屋，贷款期10年，10年后本息总额为15万元，若银行贷款年利率为6%, 每年末等额偿还额应为多少?解：A = F（F/A，6%，10） = 1513.181= 1.138 (万元)注：1/（F/A，i，n） 基金年存系数 也可表示为： （ A/F ，i，n）（2）普通年金现值 是指一定时期内每期期末等额系列收付款项的复利现值

12、之和346.51 100（16%）-383.96100（16%）-479.21100（16%）-194.3401234100（16%）-289AAAAAA(1+i)-1A(1+i)-2A(1+i)-(n-2)A(1+i)-(n-1)A(1+i)-n12n-1n普通年金现值计算示意图普通年金现值公式推导过程： P=A(1+i)-1+A(1+i)-2+ +A(1+i)-(n-1)+A(1+i)-n等式两端同乘以(1+i) :(1+i)P=A+A(1+i)-1 + +A(1+i)-(n-2)+A(1+i)-(n-1)上述两式相减 : iP=A-A(1+i)-nP=Aiin-+-)1(1P=A iin

13、-+-)1(1 注： 称为年金现值系数或1元年金现值，它表示1元年金在利率为i时，经过n期复利的现值，记为（P/A，i，n），可通过“普通年金现值系数表”查得其数值。 iin-+-)1(1普通年金现值公式 : 0 1 2 3 100000.9091100000.8264100000.7513例：某人出国3年，请你代付房租，每年租金10000元，设银行存款利率10%，他应当现在给你在银行存入多少钱?P=10000(110%)110000(110%)2 10000(110%)3=10000(0.90910.82640.7513)=100002.4868=24868(元) 或者 P=10000（P/

14、A，10%，3） =100002.4869 =24869(元) 例：某公司急需一台设备，当前市场价格为15000元，可用10年；若租赁同样设备,需每年付2000元租金。其余条件均相同,设年利率为6%,问何种方式较优? 解：租赁的租金现值为： P= 2000(P/A, 6%, 10) =14720.2(元) 15000元 因此，租赁设备更为合算已知现值反求年金的计算 A= P（P/A，i，n） 例：某项投资需当前一次性投入10万元,该项投资要求在4年内全部收回，如投资报酬率为8%，问每年要收回多少投资? 解：A = P（P/A，8%，4） = 103.3121 = 3.019 (万元) 注： 1

15、/（P/A，i，n）投资回收系数 也可表示为： （ A/P ，i，n）2.预付年金 是指发生在每期期初的等额收付款项，又称即付年金或先付年金 (1) 预付年金终值 是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和100（16%）=1001.06=106 100（16%）21001.1236=112.36 100（16%）31001.191=119.10 100（16%）41001.2625=126.25 1004.6371=463.7101234100100100100AAAAAA(1+i)1A(1+i)2A(1+i)n-2A(1+i)n-1A(1+i)n12n-1n预付年金终值计算示意图2.

16、预付年金 (1) 预付年金终值 F=A(1+i) 1 + A(1+i)2+ A(1+i)3+ A(1+i)n F=A 为预付年金终值系数， F/A ,i,（n+1)-1 预付年金终值系数，是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数减1求得的或者：F=A（F/A，i，n）(1+i)1111nii+-1111nii+-(2) 预付年金现值 预付年金现值是指一定时期内每期期初收付款项的复利现值之和。AAAAAA(1+i)0A(1+i)-1A(1+i)-2A(1+i)-(n-2)A(1+i)-(n-1)12n-1n计算示意图 (2) 预付年金现值 P=A+ A(1+i) -1 +A(1+i)-2 +

17、A(1+i)-3+A(1+i)-(n-1) P=A 为预付年金现值系数， P/A ,i,（n-1)+1 预付年金现值系数，是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数加1求得的或者：P=A（P/A，i，n）(1+i)(1)111nii-+(1)111nii-+3.递延年金 递延年金是等额系列收付款项发生在第一期以后的年金，即最初若干期没有收付款项。没有收付款项的若干期称为递延期。 (1) 递延年金终值 递延年金终值大小与递延期无关，计算方法与普通年金终值相同 F=A（F/A ,i,n)0 1 2 m m+1 m+n 0 1 n 例： 已知： m=3 m=3 i=10% i=10% n=4n=4

18、 0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7 100 100 100 100 F=A (F/A, i, n) =100(F/A,10%,4) =1004.641 =464.1(元) 3.递延年金 (2) 递延年金现值 第一种方法:把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值，然后再将此现值调整到第一期初 P=A（P/A ,i,n) （P/F ,i,m) 第二种方法：假设递延期也进行支付，先求出(m+n)期的年金现值，然后，扣除实际并未支付的递延期(m)的年金现值，即可得出最终结果。 P=A (P/A,i,m+n) - A (P/A,i,m) 0 1 2 m m+1 m+n

19、0 1 n 承接上例 第一种方法： P=A (P/A,i,n) (P/F,i,m) =100(P/A,10%,4) (P/F,10%,3) =1003.1700.7513 =238.16 (元) 第二种方法： P=A (P/A,i,m+n) - A (P/A,i,m) Pmn=100(P/A,10%,34) =1004.868 =486.8(元) Pm=100(P/A,10%,3) =1002.487 =248.7(元) Pn=PmnPm=486.8248.7 =238.1(元)4.永续年金 无限期定额支付的年金，称为永续年金，永续年金没有终止时间，也就没有终值，其现值可通过普通年金现值的计算公式导出 当n时，(1+i) -n的极限为零，故上式可写成：1(1)niPAi-+1PAi 拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10000元奖金。若利率为10%，现在应存入多少钱? P=A/i =1000010% =100000(元) 如果一股